Разработка урока "Теорема о трех перпендикулярах"

ГБОУ СПО «КППТ»

Методическая разработка по

геометрии

по теме:

«Теорема о трех перпендикулярах, ее применение при решении задач »

Номинация конкурса «Лучшая методическая разработка урока с использованием современных средств обучения».

Автор: Штейникова Ирина Васильевна,

учитель математики и физики первой квалификационной категории.

г. Кудымкар

Урок геометрии в 10 классе.

Тема урока: «Теорема о трех перпендикулярах».

«Есть истины, как страны,

наиболее удобный путь к

которым становится известным

лишь после того, как мы

испробуем все пути.… На пути к

истине мы почти всегда

обречены совершать ошибки»

Дени Дидро.

Тип урока: урок закрепления нового материала.

Цель урока:

обучающая:

• Закрепить изученный теоретический материал на практике, обосновать необходимость теоремы о трех перпендикулярах;

• Сформировать видение изученной закономерности в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или задач, требующих найти численное (буквенное) значение, какого – либо элемента;

• Учить умению читать чертеж;

• Учить умению объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде цельного связного рассказа.

развивающая:

• Способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания;

• Развивать навыки исследовательской деятельности (выдвижение гипотез, анализ и обобщение полученных результатов).

воспитательная:

• Развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства);

• Способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

План урока

№ п/п	Структурные элементы.	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Временная реализация
1.	Организационный момент	Учитель приветствует учащихся, объявляет цель урока, план, зачитывается эпиграф к уроку, используя презентационное сопровождение урока.	Обсуждение	1 минута
2	Проверка теоретических знаний, используемых при выполнении домашнего задания.	Учитель объясняет метод теоретического опроса. Подает вопросы по теории на слайдах презентации. Демонстрирует после ответа учащегося соответствующие элементы опорного конспекта. При появлении вопросов учитель может возвратиться как к задаваемым вопросам, так и к соответствующим элементам опорного конспекта	Учащиеся отвечают на теоретические вопросы устно. После демонстрации элементов опорного конспекта ими проводится самооценка своего устного ответа	3 минуты
3.	Проверка творческого домашнего задания.	Учитель предлагает посмотреть, какие способы доказательства теоремы о трех перпендикулярах подготовили группы.	Выступает представитель от каждой группы со своим способом доказательства теоремы. Учащиеся задают вопросы, выступают оппонентами. Обсуждают ответы. Фиксируют в своих рабочих тетрадях все способы доказательства теоремы.	13 минут
4.	Применение теории на практике	Учитель демонстрирует опорные задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах.	Учащиеся устно решают задачи, комментируя ход решения.	5 минут
5.	Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий.	Задание 1.Учитель демонстрирует задание. Следит за ходом рассуждений учащихся. Если возникают трудности при решении, делает подсказки различных уровней. Задание 2.Учитель предлагает решить более сложные задачи (демонстрирует на экране), где решение не лежит на поверхности. Используется прием разбиения задачи на отдельные задания	Учащиеся работают в динамических группах, обсуждают решение. Представители групп оглашают принятое решение. Учащиеся решают задачи.	6 минут 25минут
6.	Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя.	Учитель демонстрирует тестовые задания. Для проверки результатов ответов на экран выводится таблица.	Учащиеся самостоятельно отвечают на вопросы. Для проверки обмениваются тетрадями в статических группах.	5 минут
7.	Самостоятельное решение задач.	Учитель предлагает применить полученные знания при выполнении заданий дифференцированного характера.	Учащиеся работают самостоятельно, выбрав один из уровней сложности.	15 минут
8.	Подведение итогов урока	Учитель предлагает обобщить учащимся весь теоретический материал, используемый на уроке и решить задачу для демонстрации успехов в изучении теоремы о трех перпендикулярах.	Учащиеся отвечают, решают задачу.	5 минут
9.	Домашнее задание	Учитель выводит на экран обязательную и необязательную части домашнего задания. Делает соответствующие пояснения о том, что результаты их работы будут необходимы и на последующих уроках.	Учащиеся записывают задание.	2 минуты

Ход урока

1. Организационный момент – 1 минута.

Учитель приветствует учащихся и объявляет цель урока и план, используя презентационное сопровождение. Зачитывает эпиграф к уроку.

Учитель. (Слайды 1-4) Сегодня на уроке мы закрепим теорему о трех перпендикулярах, научимся применять теорему о трех перпендикулярах при решении разнообразных задач, вы убедитесь, насколько удобна теорема в использовании и насколько упрощается решение задачи с ее помощью. Эпиграфом к уроку служат слова французского философа-материалиста атеиста Дени Дидро (1713 – 1784) – современника Декарта, Лейбница, личного библиотекаря Екатерины Великой

«Есть истины, как страны, наиболее удобный путь, к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути.… На пути к истине мы почти всегда обречены, совершать ошибки» Дени Дидро.

1. Проверка домашнего задания – 16 минут.

Учитель. Дома вы должны были выучить доказательство теоремы о трех перпендикулярах, рассмотренное на прошлом уроке, и, разбившись на группы, подготовить и презентовать другие способы доказательства теоремы. А начнем мы с проверки теоретических знаний, используемых при подготовке домашнего задания. (Слайд 5 - 6)

Учитель. Ответьте на вопросы и проведите самооценку своего устного ответа, сопоставив его с выводимыми на экран элементами опорного конспекта.

Учитель объясняет метод теоретического опроса. Подает вопросы по теории на слайдах презентации. Демонстрирует после ответов учащихся соответствующие элементы опорного конспекта.

Учащиеся отвечают на теоретические вопросы устно. После демонстрации правильных ответов ими проводится самооценка своего устного ответа.

Вопросы:

1. Угол между прямыми равен 90º. Как называются такие прямые?

/перпендикулярные/

1. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»?

/да/

1. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

/Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости./

1. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

/как длина перпендикуляра, поведенного из точки к данной прямой./

1. По рисунку 1 назовите: перпендикуляр, основание перпендикуляра, наклонную к плоскости α, основание наклонной, проекцию наклонной на плоскость α.

/ PD- перпендикуляр, точка D- основание перпендикуляра,PK- наклонная, точка K – основание наклонной, KD – проекция./

1. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах. (Слайд 7 - 8)

Теорема.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к е проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратно: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Доказательство:

Шаг 1.Проводим плоскость β через наклонную и ее проекцию.

Шаг 2.Прямое утверждение: Если a ┴ МН, то a ┴ β (почему?), а значит a ┴АМ.

Обратное утверждение

Если a ┴ АМ, то a ┴ β, а значит

a ┴МН.

Учитель: Сейчас при доказательстве теоремы о трех перпендикулярах мы пользовались определением перпендикулярности прямой и плоскости, признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Однако ТТП можно доказать и многими другими способами, в чем вы сами убедились, готовясь к уроку. Какие же способы мы сегодня рассмотрим.

1 группа подготовила презентацию доказательства теоремы от противного;

2 группа – доказательства с помощью свойств равнобедренного треугольника;

3 группа – доказательства с использованием теоремы Пифагора;

4 группа – векторный способ.

(Слайд 9 - 12)

Представители групп выступают с презентациями доказательств. Идет обсуждение каждого способа, его преимущества и недостатки. Каждое доказательство учащиеся записывают в тетрадь.

I способ (доказательство от противного)

Пусть t ┴ ОА. Допустим, что SA не перпендикулярна прямой t. Проведем SB ┴ t, тогда SA SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB: = - ,

= - Получаем: ОАOB. Между тем ОА OB, так как ОА ┴ t по условию. К данному противоречию нас привело предположение, что SA не перпендикулярна прямой t. Значит, SA┴ t.

(свойства равнобедренного треугольника)

O

От точки А отложим равные отрезки: АМ= АN. Точки М и N соединим с точками O и S. В ОА есть одновременно высота и медиана, этот треугольник равнобедренный: ОМ = ОN. Прямоугольные треугольники OSM и OSN равны (по двум катетам). Из их равенства следует, что SM= SN и SA- медиана равнобедренного треугольника MSN. Значит, SA одновременно и высота этого треугольника, т. е. SA┴MN.

IIIспособ (теорема Пифагора)

На прямой t возьмем произвольную точку В и соединим ее с точками О и S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA и AOB: = SO²+ OB², SA² = SO²+ OA², OB²- - OA²= AB². Вычтя из первого равенства второе, получим:SB² – SA² = OB² – OA². Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB² – SA² = AB², SB² = SA² +AB². Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, SA┴AB, т. е. t┴SA.

Учитель: Ребята, а является ли обязательным требование прохождения прямой, лежащей в плоскости, через основание наклонной?

IV способ (векторный)

Дано: SO ┴ α, SA-наклонная, ОА – проекция SA, MN ┴ ОА.

Доказать: MN┴ SA.

А

Доказательство:

Зададим векторы ,

= + .

Умножим обе части на :

· =· + ·

Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно 0:

· = 0, но и не нулевые векторы, значит, ┴ , прямая оказалась перпендикулярной наклонной, что и требовалось доказать.

1. Применение теории на практике.

Учитель: На экране представлена следующая задача:

Задача 1. (Слайд 13)

Дано: МВ ┴ АВСК, АВСК – прямоугольник.

Доказать: .

Задача 2. (Слайд 14)

Дано: , = 90º, AD ┴ (АВС).

Доказать: CBD – прямоугольный.

1. Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий.

Учитель: А теперь посмотрим на чертеже, всем хорошо известного, куба АВСDA₁B₁C₁D_1, как применяется теорема о трех перпендикулярах при решении задач следующего типа: (Слайд 15)

Как определить вид диагонального сечения куба, проведенного через диагонали параллельных граней?

Ответ: Диагональ А₁В – есть наклонная к плоскости АВСD, отрезок АВ – есть проекция этой наклонной, отрезок ВС перпендикулярен наклонной, значит, плоскость сечения А₁ВСD₁ является прямоугольником.

Задача 2. На изображении куба построить несколько прямых, перпендикулярных диагонали куба. (Слайд 16)

Учитель: Перейдем к решению более сложных задач. Не надо бояться пойти по ложному пути, вспомните девиз нашего урока: «Наиболее удобный путь становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути».

Решение задачи подразделяется на следующие задания: усвоение условия, продумывание плана, идеи решения, коллективное обсуждение идеи решения, оформление решения. Эти задания у доски выполняет не один человек, а несколько учащихся.

Задача №154 (Слайд 17)

Дано: BD ┴ (ABC), BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см.

Найти: а) расстояние от точки D до АС; б) S.

Решение:

а) 1. DB – перпендикуляр, АС и DA – наклонные, так как ВА = ВС – проекции, то DA=DC.

2. равнобедренный, DK – высота, медиана и биссектриса, DK – расстояние от точки D до АС.

3. , , ВК =, ВК = = = 12 (см).

4. DBK,, DK = , DK = = = 15 (см).

б) S = ·AC·DK, S = ·10·15= 75 (см²).

Ответ: 15 см, 75 см².

Задача №158 (Слайд 18)

Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ перпендикулярно к его плоскости. Найти расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см;

D = 60º; ВМ = 12,5 см.

Решение:

Проведем ВК ┴ AD. ВК – проекция наклонной МК на плоскость ромба; AD ┴ ВК, то AD ┴ МК (по теореме о трех перпендикулярах). Длина МК – расстояние от точки М до прямой AD . МЕ – расстояние от точки М до прямой DC.

Из треугольника АВК: ВК = АВsin60º = .

МВК – прямоугольный ( = 90º), так как МВ ┴ (АВС); МК = = 25 (см).

ВК = ВЕ (как высоты ромба); (по двум катетам, как прямоугольные); МЕ = МК = 25 (см).

Расстояние от точки М до прямых АВ и ВС равны длине перпендикуляра МВ, то есть 12,5 см.

Ответ: 25 см; 25 см; 12,5 см; 12,5 см.

Задача №161 (Слайд 19)

Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажите, что если

, причем ,то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса CBD.

Решение:

1). Пусть АЕ ┴ (CBD). В плоскости (АВС) проведем перпендикуляр АМ к прямой ВС, а в плоскости (АВD) перпендикуляр АК к прямой BD.

Так как ,то точка М лежит на луче ВС (а не на продолжении этого луча). Аналогично, так как ABD BD. Так как ВС ┴ АМ, то ВС┴ ЕМ (по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах).

Аналогично доказывается, что BD ┴ ЕК.

2). = по гипотенузе (АВ – общая сторона) и острому углу (ABD), то ВМ = ВК;

3). по гипотенузе (ВЕ – общая сторона) и катету (ВМ = ВК), то ЕМ = ЕК;

4). Точка Е равноудалена от сторон D, значит, она лежит на биссектрисе этого угла, то есть луч ВЕ – биссектриса D.

1. Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя.

1). Учитель демонстрирует тестовые задания, зачитывает условие с экрана. Учащиеся самостоятельно отвечают на вопросы. Для проверки обмениваются тетрадями в статических группах.

Учитель: Ребята, сейчас отвечая на вопросы тестовых заданий, вы должны установить истинность или ложность утверждения, тем самым отметив на таблице соответственно знаками «+» и «-», после чего произведите взаимопроверку, сверяя ответы с образцом. (Слайд 20 -21)

1. Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости параллельны)?

2. Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?

3. Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?

4. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?

5. Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей, параллельны)?

6. Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой (прямая а и плоскость α, перпендикулярные к одной прямой с)?

7. Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?

(Слайд 22)

	1	2	3	4	5	6	7
I вариант	-	+	-	-	+	-	+
IIвариант	+	-	-	-	-	-	+

Критерии оценок:

7 правильных ответов – «5»,

6 правильных ответов – «4»,

5 правильных ответов – «3».

2). Самостоятельное решение задач (Слайд 23)

Каждому учащемуся раздается карточка с разноуровневыми задачами. Задача 3 уровня на оценку «5», 2уровня – на «4», 1 уровня – на «3». Каждый выбирает себе уровень сложности и решает задачу, по истечении времени работы сдаются на проверку.

I уровень.

Дано:, АС ┴ ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см –медиана.

Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости (АВС).

Решение:

1. Прямая SM, М – середина гипотенузы АВ, перпендикулярна к плоскости (АВС) SM ┴ (АВС).

2. SM = = = =5 (см).

3. Ответ: 5 (см).

II уровень

Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см.

Найти: расстояние от точки К до (АВС).

Решение:

1. Длина АК – расстояние от К до (АВС) по определению.

2. Так как DC ┴ AD, AD проекция KD, то по ТТП KD┴DC, значит, в KDC . KC² = KD² + DC², DC = = = 3 (см).

3. СВ┴КВ по ТТП; СВ = ; СВ = 4 (см).

4. Из ADC см).

5. ИЗ КСА A = 90º, KA = , KA =2 (см).

Ответ: 2 см.

III уровень.

Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС),

АМ = 20 см.

Найти: МЕ.

Решение:

1.В АВС против меньшей стороны лежит меньший угол (по теореме синусов). Проведем АЕ ┴ ВС, АЕ ┴ МЕ. По теореме о трех перпендикулярах МЕ ┴ ВС.

2. По формуле Герона:

S = , S =BC·AE.

P = = 20, S = = 60.

AE = 15 (см).

По теореме Пифагора: МЕ = , МЕ = 25 (см).

Ответ: 25 см.

1. Подведение итогов урока.

1). Учитель предлагает обобщить учащимся весь теоретический материал, используемый на уроке и решить задачу, которая продемонстрирует успех изучения теоремы о трех перпендикулярах. Выставляются оценки за урок.

Задача.

Дано: AD ┴ (ABC), BAC = 62º, ACB = 28º.

Каково взаимное расположение прямых СВ и BD ? Ответ обоснуйте.

(Слайд 24)

2). Учитель выводит на экран обязательную и необязательную части домашнего задания. (Слайд 25). Учащиеся записывают задание.

ДЗ: №145, №143, №140, п.19,20.

Дополнительная задача:

Через сторону АD ромба ABCD проведена плоскость α. Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости α, если S ромба = 80 см², высота равна 8 см, а угол между проекцией стороны CD и прямой AD равен 45º.

Список используемой литературы.

1. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С, Б. Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 2004.

2. Геометрия. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Шарыгин И. Ф.- М. Дрофа, 2001.

3. А. П. Ершова, В. В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса. – М.: Илекса, 2003

4. Лоповок Л. М. Факультативные задания по геометрии для 7-11 классов: Пособие для учителя. - К.: Рад. Шк., 1990.

5. Единый государственный экзамен: Математика: Контрол. измерит. Материалы/Л.О. Денищева, Е.М. Бойченко и др.

19