Признаки и свойства параллельных прямых

С

А

в

М

90 °

70̊

130 °

32 °

N 1

N 2

N 3

а) 1 и 3 – вертикальные;

б) 5 и 1 – одностороннии;

в) 7 и 6 - соответственные;

г) 5 и 3 –накрест лежащие;

д) 2 и 4 –смежные;

е) 7 и 1 накрест лежащие;

ж) 3 и 7 – односторонние.

3

• 1. смежные
• 2. накрест лежащие
• 3. соответственные
• 4. односторонние

.

1. пересекаются

2. параллельны

3. перпендикулярны

Если а ┴ с и в ┴ с, то

а

в

с

• 1. а пересекает в
• 2. а перпендикулярна в
• 3. а параллельна в

Через точку М, не лежащую на прямой а можно провести

1) две прямых, параллельных а

2) бесконечное множество прямых,

параллельных а

3) одну прямую, параллельную а

Если а // в и с // в, то

1) а пересекает с

2) а перпендикулярна с

3) а // с

а) 1 и 3 – вертикальные;

б) 5 и 1 – одностороннии;

в) 7 и 6 - соответственные;

г) 5 и 3 –накрест лежащие;

д) 2 и 4 –смежные;

е) 7 и 1 накрест лежащие;

ж) 3 и 7 – односторонние.

А

2

К

1

3

В

С

4

60 °

• 30 °

2) 60 °

3) 120 °

М

а

2

1

в

• 88 °

2) 110 °

3) 92 °

92 °

Евклид ( III век до н . э . ) Древнегреческий математик, автор первого трактата по геометрии «Начала» (в 13 книгах).

• В основе всей геометрии греческого математика Евклида лежало несколько простых первоначальных утверждений ( аксиом ), которые принимались за истинные без доказательств. Из аксиом путем доказательств выводились более сложные утверждения, из тех выводились еще более сложные.
• Особый интерес математиков всегда вызывала пятая аксиома о параллельных прямых. В отличие от остальных аксиом элементарной геометрии, аксиома параллельных не обладает свойством непосредственной очевидности . Поэтому на всем протяжении истории геометрии имели место попытки доказать аксиому параллельных, то есть вывести ее из остальных аксиом геометрии.

«Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида?»

Евклидова аксиома

о параллельных:

Аксиома

Лобачевского

о параллельных:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её.

через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

ВЫВОД: Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства.

Николай Иванович Лобачевский (1792 – 1856 гг.)

Все! Перечеркнуты “Начала”.

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир

Иной имеет вид...

Практические способы построения параллельных прямых

b

а

a||b

Практические способы построения параллельных прямых

c

b

b II c

А

Способ построения параллельных прямых с помощью

рейсшины .

Этим способом пользуются в чертежной практике.

Практическая работа

1) Постройте с помощью линейки и треугольника три параллельные прямые : а,в,с

2)Постройте треугольник АВС и проведите прямую ВМ, проходящую через вершину В, параллельно прямой АС.

а) 1 и 3 – вертикальные;

б) 5 и 1 – одностороннии;

в) 7 и 6 - соответственные;

г) 5 и 3 –накрест лежащие;

д) 2 и 4 –смежные;

е) 7 и 1 накрест лежащие;

ж) 3 и 7 – односторонние.

23

В

АК-биссектриса ∆ АВС, АМ=МК, АК=КС,

∟ АСВ=37 °

∟ ВМК

К

М

С

А

Доказательство : АВС – равнобедрений =

CDE – равнобедрений =

• = 3 ; 3= 4; - вертикальные, тогда 1 = 4 = накрест лежащие, тогда АВ ED .

28

Параллельные прямые а и в пересечены секущей с. Известно, что сумма трех углов (из данных четырех) равна 340 ° . Найдите каждый угол.

с

а

1

2

4

в

3

29

По данным рисунка найти угол 1

а

1

65 °

121 °

в

2

3

115 °

d

с

ВС //AD 3. KE//AD,BC//AD =KE//BC C B E K F D A" width="640"

Дано: CE=ED, BE=EF, KE // AD

Доказать: KE // BC

Доказательство:

1. ∆ BCE= ∆ DEF, т.к.

BE=EF,CE=ED,

∟ BEC= ∟DEF.

2.∟B=∟F ,(накрест лежащие)= ВС //AD

3. KE//AD,BC//AD =KE//BC

C

B

E

K

F

D

A

AB= В C, AE=ED

C=80, DAC=40 .

ED AC.

ABC- равнобедренный

(т.к. АВ=ВС по условию),

значит, А= С=80 (углы при основании равнобедренного треугольника) значит, ЕА D =80 – 40 = 40

AED – равнобедренный (т.к. АЕ= ED по условию)

Значит, EDA= EAD=40 ,тогда EDA= D АС =40 ( накрест лежащие) . Следовательно , ED AC.

ABC- равнобедренный (т.к. АВ=ВС по условию),

Значит, А= С=80 (углы при основании равнобедренного треугольника)

Значит, ЕА D =80 – 40=40 .

AED – равнобедренный (т.к. АЕ= ED по условию)

Значит, EDA= EAD=40 ,тогда

EDA= D АС =40 ( накрест лежащие)

Следовательно , ED AC.

32

Самостоятельная работа

с

с

а

а

1

2

1

в

в

2

Вариант 1 Вариант2

На рисунке прямые На рисунке прямые

а и в параллельны, а и в параллельны,

∟ 2 в 2 раза больше ∟1. ∟1 в 3 раза больше ∟2.

Найдите ∟1 и ∟2 Найдите ∟1 и ∟2