Признак перпендикулярности прямой и плоскости

утверждаю

Дата: 26.12.2013 геометрия 10 рус 1 смена

тема урока: «Признак перпендикулярности прямой и плоскости».

Цель урока: доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости; формировать навык применения признака перпендикулярности прямой и плоскости к решению задач.

Задачи урока:

- развитие внимания, пространственного мышления, речи.

- воспитание самостоятельности, аккуратности, активности.

Структура урока:

1.Организационный момент(1 мин)

2.Актуализация знаний(15 мин)

3.Изучение нового материала(15мин).

4.Закрепление темы(10мин).

5.Д/з: п. 17, №126(2мин).

6.Итог, оценивание(2 мин).

Ход урока.

1. Организационный момент(1 мин)

2.Актуализация знаний(15 мин)

1. Проверка домашнего задания: №116,118.

2. Повторение ранее изученного.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

1. Устная работа. Дано: AB┴α, CD┴α.

а) Определить вид четырёхугольника ABCD.

б) Дано: ABCD-параллелограмм. AB┴α, AC=8. Найти: BC.

в) Дано: ABCD – параллелограмм, BD ┴ α, АB = 6

Найти: P_ABCD.

г) Дано: ОА ┴ (ОСВ), ОА = ОD

Доказать: AB = DB

3.Изучение нового материала(15мин).

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: а р, а q, p α, q α, pq = O

Доказать: а α.

Доказательство: выберем в α произвольную прямую т.

1) Пусть О а. Проведем прямую l || m через точку О (если т проходит через О, то в качестве прямой l возьмем саму прямую т). На прямой а возьмем точки А и В, так что О – середина АВ. Проведем прямую, пересекающую р, q и l соответственно в точках P, Q и L. р и q – серединные перпендикуляры к АВ АР = ВР, AQ = BQ ∆APQ = ∆BPQ ( по III признаку) APQ = BPQ. ∆APL = ∆BPL по I признаку (AP = BP, PL – общая, APL = BPL) AL = BL. Значит, ∆АBL - равнобедренный, в котором медиана LО является высотой, т.е. l а. Таким образом, l || m, l а m а (по лемме о перпендикулярности прямых). Но т – произвольная прямая плоскости α, значит, а α.

2) Пусть а не проходит через точку О. Проведем прямую а₁ через О, причем а₁ || а. По лемме а₁ р а₁ q. Значит, по 1) случаю а₁ || α а α (по теореме о перпендикулярности прямой и плоскости). Теорема доказана.

4.Закрепление темы(10мин).

Задача №124.

Дано: PQ||α, a┴α, b┴α, a∩α=Pᵢ, b∩α=Qᵢ. Доказать: PQ= PᵢQᵢ.

P Q

a b

Доказательство. PPᵢ┴α, QQᵢ┴α. → PPᵢ‖ QQᵢ. PQ‖α→ PQ‖ PᵢQᵢ. Значит, PQQᵢPᵢ - параллелограмм.→ PQ= PᵢQᵢ.

Задача № 125.

Дано ABCD – параллелограмм. AM=MC, BM=MD.

Доказать: MO┴(ABC). Доказательство. AMC- равнобедренный. MO - медиана. → MO┴AC.

BMD – равнобедренный. MO - медиана. → MO┴BD.

MO┴AC, MO┴BD, AC∩ BD, → MO┴(ABC).

5.Д/з: п. 17, №126(2мин).

6.Итог, оценивание(2 мин).

2