Практическое занятие "Вычисление обратной матрицы"

Практическое занятие

Тема: «Вычисление обратной матрицы»

Цель: научиться вычислять обратную матрицу с помощью элементарных преобразований матрицы и методом алгебраических дополнений.

Содержание работы

Элементарные преобразования матриц.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

1. Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).

2. Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.

3. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Примеры на элементарные преобразования матрицы

Пример 1.

 Используя элементарные преобразования строк преобразовать матрицу A в верхнюю треугольную матрицу, где

A =		4	2	0
		1	3	2
		-1	3	10

Решение: поменяем первую и вторую строку местами

	4	2	0		~		1	3	2		~
	1	3	2				4	2	0
	-1	3	10				-1	3	10

ко 2-рой строке прибавим 1-вую, умноженную на -4; к третей строке прибавим первую

~		1	3	2		~		1	3	2		~
		4 + (-4)·1	2 + (-4)·3	0 + (-4)·2				0	-10	-8
		-1 + 1	3 + 3	10 + 2				0	6	12

2-рую строку поделим на -2, третью строку делим на 6

~		1	3	2		~		1	3	2		~
		0	-10/(-2)	-8/(-2)				0	5	4
		0	6/6	12/6				0	1	2

поменяем вторую и третью строку местами

~		1	3	2		~
		0	1	2
		0	5	4

к 3-тей строке прибавим 2-рую, умноженную на -5

~		1	3	2		~		1	3	2
		0	1	2				0	1	2
		0	5 + (-5)·1	4 + (-5)·2				0	0	-6

 Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Замечание.

 Обратная матрица существует только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю.

Методы вычисления обратной матрицы Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

 Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица, полученная из единичной, будет обратной матрицей к исходной.

Пример 2.  Найти обратную матрицу матрицы A

A =		2	4	1
		0	2	1
		2	1	1

Решение: Приписываем к матрице A справа единичную матрицу третьего порядка:

A|E =		2	4	1	1	0	0		~
		0	2	1	0	1	0
		2	1	1	0	0	1

Преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную. Для этого от 3-ей строки отнимем 1-ую строку:

		2		4		1		1		0		0		~
		0		2		1		0		1		0
		2 - 2		1 - 4		1 - 1		0 - 1		0 - 0		1 - 0
~		2	4		1	1	0	0			~
		0	2		1	0	1	0
		0	-3		0	-1	0	1

Третью строку поделим на (-3) и поменяем местами со второй строкой:

~		2	4	1	1	0	0		~
		0	2	1	0	1	0
		0	1	0	1/3	0	-1/3
~		2	4	1	1	0	0		~
		0	1	0	1/3	0	-1/3
		0	2	1	0	1	0

Отнимем он 1-ой строки 2-ую умноженную на 4; от 3-тей строки 2-ую умноженную на 2:

~		2 - 4·0		4 - 4·1			1 - 4·0			1 - 4·(1/3)			0 - 4·0		0 - 4·(-1/3)			~
		0		1			0			1/3			0		-1/3
		0 - 2·0		2 - 2·1			1 - 2·0			0 - 2·1/3			1 - 2·0		0 - 2·(-1/3)
~		2	0		1	-1/3		0	4/3			~
		0	1		0	1/3		0	-1/3
		0	0		1	-2/3		1	2/3

Отнимем он 1-ой строки 3-ую строку:

~		2 - 0		0 - 0		1 - 1			-1/3 - (-2/3)		0 - 1	4/3 - 2/3		~
		0		1		0			1/3		0	-1/3
		0		0		1			-2/3		1	2/3
~		2	0		0	1/3	-1	2/3			~
		0	1		0	1/3	0	-1/3
		0	0		1	-2/3	1	2/3

Разделим 1-ую строку на 2:

~		1	0	0	1/6	-1/2	1/3
		0	1	0	1/3	0	-1/3
		0	0	1	-2/3	1	2/3
Ответ: A-1 =				1/6	-1/2	1/3
				1/3	0	-1/3
				-2/3	1	2/3

Вычисление обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Определение.  Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.

A-1 =	1	ÃT
	det(A)

Пример 3.  Найти обратную матрицу матрицы A

A =		2	4	1
		0	2	1
		2	1	1

Решение: Найдем определитель матрицы A:

det(A) =	2	4	1	=
	0	2	1
	2	1	1

= 2·2·1 + 4·1·2 + 1·0·1 - 1·2·2 - 2·1·1 - 4·0·1 = 4 + 8 + 0 - 4 - 2 - 0 = 6

Найдем алгебраические дополнения матрицы A:

A11 = (-1)1 + 1·	2	1	= 2·1 - 1·1 = 1
	1	1
A12 = (-1)1 + 2·	0	1	= -(0·1 - 1·2) = 2
	2	1
A13 = (-1)1 + 3·	0	2	= 0·1 - 2·2 = -4
	2	1
A21 = (-1)2 + 1·	4	1	= -(4·1 - 1·1) = -3
	1	1
A22 = (-1)2 + 2·	2	1	= 2·1 - 1·2 = 0
	2	1
A23 = (-1)2 + 3·	2	4	= -(2·1 - 4·2) = 6
	2	1
A31 = (-1)3 + 1·	4	1	= 4·1 - 1·2 = 2
	2	1
A32 = (-1)3 + 2·	2	1	= -(2·1 - 1·0) = -2
	0	1
A33 = (-1)3 + 3·	2	4	= 2·2 - 4·0 = 4
	0	2

Запишем союзную матрицу:

à =		1	2	-4
		-3	0	6
		2	-2	4

Найдем обратную матрицу:

A-1 =  1 ÃT  =  1 det(A) 6				1 -3 2 2 0 -2 -4 6 4					=	1/6 -1/2 1/3 1/3 0 -1/3 -2/3 1 2/3
	Ответ: A-1 =		1/6		-1/2	1/3
			1/3		0	-1/3
			-2/3		1	2/3

Контрольные вопросы:

1. Перечислите элементарные преобразования, которые можно выполнять над матрицами.

2. Что называется минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка?

3. Что называется алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка?

4. Какая матрица называется союзной?

5. Какая матрица называется транспонированной?

6. Запишите формулу для нахождения обратной матрицы.

7. Всегда ли можно найти обратную матрицу?

Задания для самостоятельного выполнения

Задание №1. Для матрицы А найдите обратную матрицу двумя способами:

а) методом алгебраических дополнений по формуле: ;

б) с помощью элементарных преобразований матрицы.

Выполните проверку по формуле:

1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

Задание №2^*. Для матрицы В найдите обратную матрицу (любым способом)

1		2
3		4
5		6

Ответы

Задание №1.

1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

Задание №2^*.

1		2
3		4
5		6