Практическое занятие "Вычисление обратной матрицы"

Материал предназначен для студентов СПО 2 курса, обучающихся по программма ППССЗ по дисциплине ЕН.01 Математика. Материал содержит различные способы нахождения обратной матрицы. Можно использовать для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Практическое занятие "Вычисление обратной матрицы"»

Практическое занятие

Тема: «Вычисление обратной матрицы»

Цель: научиться вычислять обратную матрицу с помощью элементарных преобразований матрицы и методом алгебраических дополнений.

Содержание работы

Элементарные преобразования матриц.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).
Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.
Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Примеры на элементарные преобразования матрицы

Пример 1.

Используя элементарные преобразования строк преобразовать матрицу A в верхнюю треугольную матрицу, где

A =	4	2	0
	1	3	2
	-1	3	10

Решение: поменяем первую и вторую строку местами

4	2	0	~	1	3	2	~
1	3	2		4	2	0
-1	3	10		-1	3	10

ко 2-рой строке прибавим 1-вую, умноженную на -4; к третей строке прибавим первую

~	1	3	2	~	1	3	2	~
	4 + (-4)·1	2 + (-4)·3	0 + (-4)·2		0	-10	-8
	-1 + 1	3 + 3	10 + 2		0	6	12

2-рую строку поделим на -2, третью строку делим на 6

~	1	3	2	~	1	3	2	~
	0	-10/(-2)	-8/(-2)		0	5	4
	0	6/6	12/6		0	1	2

поменяем вторую и третью строку местами

~	1	3	2	~
	0	1	2
	0	5	4

к 3-тей строке прибавим 2-рую, умноженную на -5

~	1	3	2	~	1	3	2
	0	1	2		0	1	2
	0	5 + (-5)·1	4 + (-5)·2		0	0	-6

Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Замечание.

Обратная матрица существует только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю.

Методы вычисления обратной матрицы Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица, полученная из единичной, будет обратной матрицей к исходной.

Пример 2. Найти обратную матрицу матрицы A

A =	2	4	1
	0	2	1
	2	1	1

Решение: Приписываем к матрице A справа единичную матрицу третьего порядка:

A\|E =	2	4	1	1	0	0	~
	0	2	1	0	1	0
	2	1	1	0	0	1

Преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную. Для этого от 3-ей строки отнимем 1-ую строку:

	2		4		1		1	0		0	~
	0		2		1		0	1		0
	2 - 2		1 - 4		1 - 1		0 - 1	0 - 0		1 - 0
~	2	4		1	1	0	0		~
	0	2		1	0	1	0
	0	-3		0	-1	0	1

Третью строку поделим на (-3) и поменяем местами со второй строкой:

~	2	4	1	1	0	0	~
	0	2	1	0	1	0
	0	1	0	1/3	0	-1/3
~	2	4	1	1	0	0	~
	0	1	0	1/3	0	-1/3
	0	2	1	0	1	0

Отнимем он 1-ой строки 2-ую умноженную на 4; от 3-тей строки 2-ую умноженную на 2:

~	2 - 4·0		4 - 4·1			1 - 4·0			1 - 4·(1/3)		0 - 4·0	0 - 4·(-1/3)	~
	0		1			0			1/3		0	-1/3
	0 - 2·0		2 - 2·1			1 - 2·0			0 - 2·1/3		1 - 2·0	0 - 2·(-1/3)
~	2	0		1	-1/3		0	4/3		~
	0	1		0	1/3		0	-1/3
	0	0		1	-2/3		1	2/3

Отнимем он 1-ой строки 3-ую строку:

~	2 - 0		0 - 0		1 - 1			-1/3 - (-2/3)	0 - 1	4/3 - 2/3	~
	0		1		0			1/3	0	-1/3
	0		0		1			-2/3	1	2/3
~	2	0		0	1/3	-1	2/3		~
	0	1		0	1/3	0	-1/3
	0	0		1	-2/3	1	2/3

Разделим 1-ую строку на 2:

~	1	0	0	1/6	-1/2	1/3
	0	1	0	1/3	0	-1/3
	0	0	1	-2/3	1	2/3
Ответ: A^-1 =			1/6	-1/2	1/3
			1/3	0	-1/3
			-2/3	1	2/3

Вычисление обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Определение. Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.

A^-1 =	1	Ã^T
	det(A)

Пример 3. Найти обратную матрицу матрицы A

A =	2	4	1
	0	2	1
	2	1	1

Решение: Найдем определитель матрицы A:

det(A) =	2	4	1	=
	0	2	1
	2	1	1

= 2·2·1 + 4·1·2 + 1·0·1 - 1·2·2 - 2·1·1 - 4·0·1 = 4 + 8 + 0 - 4 - 2 - 0 = 6

Найдем алгебраические дополнения матрицы A:

A₁₁ = (-1)^1 + 1·	2	1	= 2·1 - 1·1 = 1
	1	1
A₁₂ = (-1)^1 + 2·	0	1	= -(0·1 - 1·2) = 2
	2	1
A₁₃ = (-1)^1 + 3·	0	2	= 0·1 - 2·2 = -4
	2	1
A₂₁ = (-1)^2 + 1·	4	1	= -(4·1 - 1·1) = -3
	1	1
A₂₂ = (-1)^2 + 2·	2	1	= 2·1 - 1·2 = 0
	2	1
A₂₃ = (-1)^2 + 3·	2	4	= -(2·1 - 4·2) = 6
	2	1
A₃₁ = (-1)^3 + 1·	4	1	= 4·1 - 1·2 = 2
	2	1
A₃₂ = (-1)^3 + 2·	2	1	= -(2·1 - 1·0) = -2
	0	1
A₃₃ = (-1)^3 + 3·	2	4	= 2·2 - 4·0 = 4
	0	2

Запишем союзную матрицу:

Ã =	1	2	-4
	-3	0	6
	2	-2	4

Найдем обратную матрицу:

A^-1 =	1	Ã^T	=	1
	det(A)			6

1	-3	2
2	0	-2
-4	6	4

1/6	-1/2	1/3
1/3	0	-1/3
-2/3	1	2/3

Ответ: A^-1 =

1/6

-1/2

1/3

-1/3

-2/3

2/3

Контрольные вопросы:

Перечислите элементарные преобразования, которые можно выполнять над матрицами.
Что называется минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка?
Что называется алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка?
Какая матрица называется союзной?
Какая матрица называется транспонированной?
Запишите формулу для нахождения обратной матрицы.
Всегда ли можно найти обратную матрицу?