Пифогор теоремасы

ПИФАГОР ТЕОРЕМАСЫ

Ұлы ғалым Пифагор б.э.д.570 жылы Самос аралында дүниеге келген.Оның әкесі қымбат тастардан мүсін оятын кісі Мнесарх,шешесінің аты белгісіз.Ескі аңыздардың айтуы бойынша ол өте сұлу болып туады,және қабілеті ерте оянған.Жас Пифагордың ұстаздары ретінде ертедегі Гермодамантпен Сиросскийді атайды (шындығында бұлардың бірінші ұстаз болғандығы жөнінде мәлімет жоқ).Күн ұзағына Пифагор ұстазы Гермодаманттың жанынан шықпаған,Кифараның үнімен Гомердың гекзаметрде ойнаған.Музықаға беріліп,ұлы Гомердің поэзиясын өмір бойы сақтаған.Өзін келешек данышпан ретінде оқушыларына таныта білген.Пифагор күнін Гомердың өлеңін айтудан бастаған.

Ферекид – философ, италиян философиялық мектебінің негізін қалаған.Гермодамант жас Пифагорды музықаға баулыса,басқаша айтқанда муза қылса (шабыттандырушы) Ферекид оның ойын логосқа аудартты. Ферекид Пифагордың көнілін,назарын табиғатқа аударды,оны бірінші ұстазы ретінде қабылдауды үйретті.Пифагордың асып-тасып жатқан ақыл-ойына кішкентай Самос тарлық етті,сондықтан ол Милетке аттанды.Мұнда бұл басқа оқымысты – Фалеспен кездесті.Фалес оған Египетке барып білімін көтеруге кеңес берді.Б.э.д 548 жылы Пифагор Самостың отары Навкратиске келді. Египеттіктердің тілі мен дінін оқи отырып,басына баспана іздеп Мемфиске келеді.Фараонның тапсырма хатына қарамастан айлакер оқымыстылар оған өздерінің құпияларын тез аша қоймады.Өзінің қызығушылығымен Пифагорға барлық қиындықтарды жеңуге тура келді.Оған қиын тапсырмалар бере отырып ,египет ғалымдары тек құрастырмалы геометриямен айналысатындықтан оған теориялық жақтан көп нәрсе бере алмады.Олардан қаша отырып Элладағы қайтып келді. Жолдың біраз бөлігін құрғақшылықпен жүрген оны Камбизде Вавилон патшасы тұтқынға алды.Пифагордың Вавилондағы өмірін драмаға айналдырудың керегі жоқ,ұлы билеуші Кир барлық тұтқынға төзімділікпен қарады.Вавилон математикасы сөз жоқ жоғарғы деңгейде болды.Бұған мысал ондық жүйемен есептудің өзі осыны білдіреді.Пифагорға көңіл аударатын жағдайлар бар еді.Б.э.д 530 жылы Кир Орта Азия тайпаларына қарсы жорыққа аттанды.Осы қарбаласты пайдаланып өзінің отанына қайтып келді.Самосты осы кезде қатал тиран Поликрат басқарды.Пифагор жартылай құлдықта өмір сүретін билік маңынан қашып,Самос жаңындағы үнгірде өмір сүрді.Поликраттың көңіл аударуымен Пифагор Кротонға келіп қоныстанды.Кротонда діни туысқандық,діни этикалық топтық және монахтық ордасың, («пифагорлықтар»)құрды,оның мүшелері Пифагорлық өмір салтын ұстанды.Бұл бір жағынан діни одақ,саяси клуб және ғылыми орта болды.Пифагордың уағыздары қызық көрінді. Арада 20 жыл өтті.Туысқандық одақ дүние жүзіне жайылды. Өте бай және қатал Килон Пифагорға келіп одаққа кіргізгісі келеді.Оған рұқсат бермеген Пифагорға Килон қарсы шыға бастайды,оның үйін өртейді.Пифагорлықтар оның өмірін аман алып қалады .Уайымға батқан ол өзін-өзі өлтіреді.

Пифагордың атын Пифагор теоремасымен байланыстырмайтын адамды табу қиын.Тіпті өз өмірінде математикамен қоштасқандар да, «Пифагор шалбары» жөнінде еске алып-гипатенузадағы квадрат катеттердегі екі квадратпен тең шамалы дейді.Пифагор теоремасының көпшілікке белгілі болу үш мәнге байланысты:қарапайымдылығы-сұлулығы -маңыздылығы.Шындығында теорема қарапайым,бірақ көзге көрінбейді.Екі қарама қайшылықтың қисыны өте тартымды күшпен сұлулыққа бастайды.Мұнымен қоса Пифагор теоремасы әрбір қадамда қолданыс табады.Және 500-ден астам дәлелдерінің болуы (геометриялық,алгебралық және механикалық) оны шын өмірге байланыстырудың көп жолы еді.Пифагор теоремасының ашылуы,Прокл жөніндегі өмірмен аңыздық еді.Евклид бастауының алғашқы кітабына Прокл былай деп жазды: «Егер ертедегі аңызды жақсы көретіндерді тындасақ,мұның шыны Пифагор теоремасына бағытталған,осы жаңалығына «өгіз сойған» бұдан көрі де жақсы айтатындар бір гекатомбаны толтырып шапағатын жүзге жеткізген.Тіпті Цицеронда Кантогу «Пифагор теоремасына жат болса да,аңыз пифогорлық орден екі мың жыл бойы өзімен бірге өмір сүрді.Болжамшыл Михаил Ломоносов (1711-1765) жазуында «Пифогордың бір ғана геометриялық ережесі-Зевске жүз өгізді құрбандыққа шалды» ?деген еді.

Генрих Гейне (1797-1856) уақиғаның дамуын басқаша түсіндірді «Кім біледі! Кім біледі!Пифагордың жаны теореманы дәлелдей алмайтын кандидаттың жадына көшіп және емтиханнан құласа,одан емтихан алушының жанына құрбан болған өгіздер мекендейді,сөйтіп Пифагор өзінің жаңалығымен өлмейтін құдайларға құрбандық шалды.Бүгін Пифагор теоремасы жеке есептерде және сызбаларда:Египет үшбұрышында фараон Аменемхет уақытындағы папирустарда (б.э.д 200 жылдардағы) және Вавилон сына жазуындағы Хаммурапи патшаның (ХVIII ғ. , б.э.д) және ертедегі индияның геометрия трактаттырында б.э.д. VII-V ғ.ғ.. «Сульва сутра »кездеседі.Ертедегі қытай трактаттырында «Чжоу-би Суань Цзинь» уақытты осы уақытқа дейін анықталмаған еңбекті көрсетілген яғни біздің эрамізға дейінгі XII ғасырда қытайлықтар Египет үшбұрышының қасиеттері жөнінде білген , б.э.д.VI ғасырда –теоремасының жалпы түрін анықталған. Осынының барлығына қарамастан Пифагор теоремасы Пифагордың атымен жымдасып кете барды,бұл сөзді бұру қиынға түседі және бұл құрбандыққа сойылған өгіздер жөніндегі аңызбен бірге жасап келеді. Ескі аңыздарды тарихи скaльпельмен енді тазалағанда да Пифагор теоремасын дәлелдеген ең алғашқы адам Пифагор болып қалады.

II.Негізгі бөлім

1)Пифагор теоремасын дәлелдеу тісілдері.

A)«Тік бұрышта үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат,оның катеттеріне салынған квадратпен тең шамалы».

Осындағы АВС тік бұрышты ∆-ың алсақ,бұл тең қабырғалы тік бұрышты ∆.Осының АС қабырғасына салынған ∆-тың саны төртеу.АВ мен ВС-ға ∆-тың салынған саны да төртеу.Ендеше теорема дәлелденді.

Ә)Ертедегі Қытай дәлелдемесі 2-суретте қытайдың ертедегі математиқалық трактаттары б.э.д.XII ғасырда жеткен.Б.э.д.213жылы Ши-Хуан-Ди қытай императоры,барлық кітаптарды өртеп жіберуге бұйрық берген.Б.э.д.XII ғасырда Қытайда қағаз шығарылады да , кітап басу қайта жанданды.Сол арқылы “Тоғыз кітап” тематикасы пайда болды –“Математика” кітабында сақталған математика астрономиялық шығармалардың бастысы 2-суретте бейнеленген бұл Пифагор теоремасын дәлелдейді.Бұл дәлелдеудің кілтін табу қиын емес.Ежелгі Қытай суреттерінде төрт тең тік төрт бұрышты үшбұрыш берілген.Оның катеттері а мен в,с гепатенузасы сыртқы контур с қабырғасында (2,б сурет).Егер с қабырғасы бар квадратты кесіп тастасақ,қалған 4 тушталған үшбұрышты екі тікбұрышқа құрсақ(2,в) сурет онда ашық кеңістік с² ол басқа жағынан –а²+в² яғни с² =а²+в².

Теорема дәлелденді.

Б)Ертедегі Қытай дәлелдемесі 2-суретте қытайдың ертедегі математиқалық трактаттары б.э.д.XII ғасырда жеткен.Б.э.д.213жылы Ши-Хуан-Ди қытай императоры,барлық кітаптарды өртеп жіберуге бұйрық берген.Б.э.д.XII ғасырда Қытайда қағаз шығарылады да , кітап басу қайта жанданды.Сол арқылы “Тоғыз кітап” тематикасы пайда болды –“Математика” кітабында сақталған математика астрономиялық шығармалардың бастысы 2-суретте бейнеленген бұл Пифагор теоремасын дәлелдейді.Бұл дәлелдеудің кілтін табу қиын емес.Ежелгі Қытай суреттерінде төрт тең тік төрт бұрышты үшбұрыш берілген.Оның катеттері а мен в,с гипотенузасы сыртқы контур с қабырғасында (2,б сурет).Егер с қабырғасы бар квадратты кесіп тастасақ,қалған 4 тушталған үшбұрышты екі тікбұрышқа құрсақ(2,в) сурет онда ашық кеңістік с² ол басқа жағынан –а²+в² яғни с² =а²+в².

Теорема дәлелденді.Мұндай дәлелдеуді ежелгі қытайлықтар ішкі квадратта гипоненузаға (2,а сурет) қолданбаған.Сондықтан қытай математектерінің басқа дәлелдеуі де болған сияқты.Егер қабырғасы с болатын екі штрихталған үшбұрыш (2,б сурет) кесіп басқа екі гипотенузаға салсақ, (2,г сурет),онда алынған фигура ,оны қалыңдықтың орындығы деуге болады,яғни екі квадратан құралған а және б яғни

с² =а²+в².

3-суретте «Чжоу-би...» трактаттынан алынған.Мұнда Пифагор теоремасы,екі египет үшбұрышына арналған 3,4 катеттарымен 5 гипотенузасымен шығатын квадрат көрсетілген.Гипотенузадағы квадрат 25 тордан тұрады,оған кіріктірілген кішігірім катетті квадрат 16 тордан тұрады.Қалған бөлік 9 тордан тұратына белгілі.Бұл кіші катеттегі квадрат.Яғни 25=16+9

В)Ежелгі Индия дәлелдемесі Пифагор теоремасын дәлелдеу үшін кытай сызбасының ішкі бөліктерін пайдалану жеткілікті деген.Пальманын жапырақтарына жазылған трактатта «Сиддханта широмани»(«Білім тармағы») XII ғасырдағы индия математиктің Бхасқарада сызба (4сурет) дәлелдемелерін сипатты «Қара»деген сөз түзілген.Көріп отырғандай,тік бұрышты үшбұрышының гипотенузасына с² квадраты салынған «қалындық төсегіне» а²-в² жапсырылған (4 б).Пифагор теоремасының дәлелдеуінің жеке жагдайында (квадраты орналастыру принципі)ежелгі индия трактатта «Сульва сутра» кездеседі(VII-Vб.э.д.)

Г)Евклид дәлелдемесі «Бастау» кітабынын 47сөздігінде келтірілген.Гипотенуза мен катеттеріне үшбұрыш АВС сәйкес квадраттарын орналастырған (5сурет) және дәлелдеуінде,ВJLD тік төртбұрыш ABFH квадратымен тең шамалы.Ал ICEL тік төртбұрышқа АС КС квадратымен тең шамалы.Сонда катеттердегі квадраттарының қосындысын гипотенузадағы квадраттарының қосындысына тең.Шын мәніде суреттегі қара түсті үшбұрыштар АВD мен BFC екі қабырғасы бойынша және бір бұрышы бойынша тең үшбұрыштар FB=AB,BC=BD және FBC=d+ABC=ABD.Бірақта S_ABD=1/2 S_BJDL ,өйткені ∆ АВD және тік төртбұрыш ВJLD пен іргелес ортақ қабырғасы BD және ортақ биіктігі DВ осыған ұқсас S_FBC=1/2 S_ABFH (BF ортақ қабырға,АВ ортақ биіктік).Осыларды есептей отырып S_ABD= S_FBC,белгілі S_BJDL = S_ABFH.Осыған ұқсас,үшбұрыштарының ВСК және АСЕ теңдігін пайдаланып S_JCEL= S_ACKG.Яғни S_ABFH + S_ACKG=S_BJDL+ S_JCEL дәлелдеуге тиісімізде осы еді.Ежелгі индияның және қытайлық әдіспен Евклид теоремасының дәлелдеу өте күрделі.Сондықтан мұны кейде «жүрдім бардым» және «ойдан құрылған» деп атаған.Мұндай пікір тереңделмеген.1-кітаптағы «бастамада» Евклид теоремасының дәлелдеуі соңғы қорытынды.Мұны ойдан құрастыру үшін,дәлелдеудің әрбір қадамы негіздеу үшін Евклидке осы жолды таңдауға тұра келді.Ертеден-ақ «Пифагор» деген бас қатыру есебінің ойлап табылған.Шындығында да жеті бас қатыру есебінің негізінде тең бүйірлі тікбұрышты және квадраттар онаң катеттеріне салынған,сондықтан 16 бірдей тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыштар және салынған квадраттардан тұрады.Осындай әрекеттер болғандықтан кіші әрекеттері,антикалық математиканының маржандары болып табылады- бұл Пифагор теоремасы.

Ғ) Пифагор теоремасының дәлелдемері.Т тікбұрышты үшбұрыш болсын,оның катеттері а,в және гипотенузасы с (6 сурет). с² =а²+в² тең екенін дәлелдейік.

а+в қабырғасымен Q квадратын сызайық (6 б сурет). Q квадраттын қабырғаларында А,В,С,D нүктелерін алып АВ, ВС, СD, DA кесінділер Q тікбұрышты үшбұрыш Т₁ ,Т₂ ,Т₃ ,Т₄ және а , в катеттерімен .Тік төртбұрыш АВСD Р әрібен белгілійк.Р квадрат с қабырғасымен екенін көрсетийк.

Т₁ ,Т₂ ,Т₃ ,Т₄ үшбұрыштар Т-ға тең (екі катеттері бойыеша).Соңдықтан олардың гипотенузалар Т үшбұрыштын гипотенузаларына тең,яғни с кесіндісіне тең.Осы төртбұрыштардың барлық бұрыштары тең екенің дәлелдиік.

α мен β Т үшбұрыштын сүйір бұрыштары болсын,онда α + β=90◦ болады.А төбесіндегі Р төртбұрыштағы α мен β бұрышпен қоса жазық бұрышты құрайды.Сондықтан α + β=180◦.Егер α + β=90◦,онда 90◦ Р төртбұрыштың қалған бұрыштарынының тік екенін осылай дәлелдейді.Олай болса Р тік төртбұрыштық квадрат.

Q квадратының а +в қабырғасы Р квадратына с қабырғасынан құралады және төрт тік төртбұрышты үшбұрыштан,Т тікбұрышты ∆-қа тең.Сондықтан ауданы үшін S(Q)=S(P)+4S(T).

S(Q)=(а+в)² сондықтан S(P)=c² және S(T)=1/2(ab),орнына қоя отырып S(Q)=S(P)+4S(T) теңдігің алайық.

(а+в)² = c² + 4*1/2(ab) теңдеуін былай жазуға болады.a²+b²+2ab=c²+2ab.Бұған с² =а²+в² дәлелдемеуіміз керек болған.

Д)Косинус бұрышынан анықтамасы бойынша с бұрышы=90◦, CD┴AB

α β

Бұдан АВ*АD=AC²

AB*BD=BC²

Теңдіктері мүшелеп қоссақ.

AD+DB=AB Екенін көреміз

AC²+BC²=AB(AD+DB)=AB²

Пифагор теоремасына кері теорема. Үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасының квадраттарының қосындысына тең болса, онда үшбұрыш тік бұрышты болады.

Дәлелдеу: АВС үшбұрышында АВ²=АС²+ВС² болсын. АВ қабырғасына қарсы жаткан С бұрышы тік болатынын дәлелдейк.

А₁С₁ және В₁С₁ қабырғалары берілген АВС үшбұрышының сәйкес АС,ВС қабырғаларына тең С₁ бұрышы тік болатын А₁В₁С₁ тік бұрышты үшбұрышын аламыз. Пифагор теоремасы бойынша А₁В₁² = А₁С₁² + В₁С₁² , сондықтан

А₁В₁² =АС²+ВС². Бірақ теореманың шарты бойынша АС²+ВС²= АВ². Демек,

А₁В₁²= АВ², бұдан А₁В₁= АВ. Сөйтіп, А₁С₁=АС, В₁С₁ =ВС, А₁В₁= АВ алдық, яғни үш қабырғасы бойынша АВС мен А₁В₁С₁ үшбұрыштары тең. Олай болса, _1, яғни С тік бұрышы бар АВС ұшбұрышы тік бұрышты болады.

Пифагор теоремасына кері теорема бойынша қабырғалары 3,4,5 болатын үшбұрыш тік бұрышты: 5²=3²+4². Қабырғалары 5,12,13; 8,15,17; 6,8,10; 7,24,25 болатын үшбұрыштар да тік бұрышты болып келеді.

Қабырғаларының ұзындықтары бүтін сандарымен өрнектелетін тік бұрышты үшбұрыштарды Пифагор үшбұрыштары дейді. Мұндай үшбұрыштардын a, b катеттері мен с гипотенузасы а=2mn, b=m²-n², c=m²+n² формулаларымен өрнектелетінің дәлелдеуге болады, мұндағы m және n саны mn болатындай кез келген натурал сандар. 3,4,5 қабырғалары бар үшбұрышты египет ( мысыр) үшбұрышы дейді, ойткені ол сонау ежелгі мысырлықтарға белгілі болған. Тік бұрыштарды мысырлықтар былай салған: жіпке оны тең 12 бөлікке бөлетіндей етіп түйін жасаған. Содан кейін ұштарын біріктіріп, жерге қадалармен керіп қабырғалары 3,4,5 болатындай етіп үшбұрыш жасаған. Сонда 3 және 4-ке тең қабырғаларының арасындағы бұрыш тік болған.

III.Қорытынды

Теорема дәлелдеулерін қорындылай келе бұл дәлелдемелердің өте маңызды екенін айтуға болады.Олардың мәні мынада,олардың көмегімен геометрия-ның басқа теоремаларын дәлелдеуге есепті оңай шығаруға болады .Шын-дығында да осылардың ішіндегі ең сұлу,ең дұрыс дәлелдеме мынау деп кесіп айтуға болмайды,әр дәлелдеудің өз құндылығы бар.Сондықтан қазірдін өзінде және болашақта да Пифагор теоремасы маңызы арта бермек.