Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

(Лекция ДО)

Цели урока:

Образовательные: ознокомить студентов с понятием неопределенного интеграла иего свойствами.

Развивающие: развивать навыки самостоятельной деятельности, активизировать мыслительную деятельность, математическую речь.

Воспитательные: воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы; формировать ответственность за конечный результат.

Тип урока: сообщения новых знаний

Тема сегодняшнего занятия «Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства».

Знания по данной теме нами будут использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур.

Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла.

Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:

Производная функции f(х)=х⁹,мы знаем что f′(х)=9х⁸.Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.

Допустим дана производная f′(х)=6х⁵. Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f(х)=х⁶. Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.

(Запись в тетради)

Определение 1: Функция F(x)называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство = f(x)

Пример 1: Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)=х⁵-5х является первообразной для функции f(х)=5х⁴-5.

Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции

= ( х⁵-5х)′=( х⁵)′-(5х)′=5х⁴-5.

Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием. Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.

Основное свойство первообразной.

Теорема: Если F(x)- одна из первообразных для функцииf(х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G(x)=F(x)+C, где С действительное число.

Т еперь дадим геометрическую интерпретацию первообразной.

Пусть постоянная С из формулы у = F(х) + С будет равна нулю. Тогда получим функцию вида у = F(х) и построим ее график. Остальные первообразные отличаются от полученной функции только на постоянную С. Поэтому их графики можно получить параллельным переносом вдоль оси Оу на С единиц графика функции у = F(х). Таким образом, геометрическим смыслом первообразной является совокупность параллельных кривых (Рис)

Таблица первообразных (Формулы выучить!)

Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F + G – есть первообразная для f + g.

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.

(kF)’ = kF’ = kf

Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные ( ), то функция

- первообразная для f(kx+b).

Определение 2: Выражение F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом

Из определения имеем:

(1)

Неопределенный интеграл функции f(x), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f(x).

В равенстве (1) функциюf(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx– подынтегральным выражением, переменную x – переменной интегрирования, слагаемое C - постоянной интегрирования.

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Свойства неопределенного интеграла.

Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть если = f(x), то

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a = const, то

Таблица простейших интегралов

1. ,(n -1) 2.

3. 4.

5. 6.

Закрепление.

Найти неопределенный интеграл

1) + С 2) + С = + С

3) + С 4) = -5 ctgх + С

Домашнее задание: §1. Найдите первообразные следующих функций:

№1

1) f(x) = 3x; 2) f(x) = 4x² + x – 2; 3) f(x) = + 1; 4) f(x) =

№2.

1. f(x) = 2sinx; 2) f(x) = 5cosx; 3) f(x) = 3cosx - 4sinx; 4)f(x) = 5sinx + 2 cosx;

5) f(x) = x² + ; 6) f(x) = x³ - ; 7) f(x) = sin(3x + ); 8) f(x) = cos(2x + ).