"Параллельность прямых в пространстве" (разработка урока по геометрии)

ИНТЕРАКТИВНЫЕ 3D ЧЕРТЕЖИ

(ИНТЕРАКТИВНАЯ ДОСКА)

Теорема. Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

Теорема. Транзитивность параллельности. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Другими словами, если и , то .

ИНТЕРАКТИВНЫЕ 3D ЗАДАЧИ-ПЯТИМИНУТКИ

Задача №1. Даны скрещивающиеся прямые ,  и точка . Провести через точку прямую, пересекающую прямые и .

Решение. Если точка лежит на одной из прямых или , то задача тривиальна и имеет бесконечное множество решений. Пусть, например, . Выберем на прямой произвольную точку и проведем искомую прямую .

Рассмотрим случай, когда точка T не лежит ни на одной из прямых , . Проведем плоскость через прямую и точку . Пусть (если , решений не существует). Проводим прямую . Если , то прямая – искомая. Если , решений не существует.

Задача №2. В планиметрии справедлива теорема: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Справедлива ли эта теорема в стереометрии?

Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед . и , но прямые и не параллельны (это скрещивающиеся прямые).

Ответ: нет.

Задача №3. Прямые и скрещивающиеся. Провести прямую, пересекающую и параллельную прямой .

Решение. На прямой возьмем произвольную точку . Проведем плоскость через прямую и точку . В плоскости через точку проводим прямую . Прямая – искомая.

Задача №4. Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости.

Решение. Если данная точка лежит на данной плоскости α, то задача не имеет решения. Пусть . Проведем в плоскости любую прямую . Через прямую и точку проведем плоскость . В плоскости проведем через точку прямую , параллельную прямой . Прямая параллельна плоскости по признаку параллельности прямой и плоскости.

Задача №5. На ребрах AB,  и куба взяты соответственно точки , , . Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки , , .

Решение. Если пересечением многогранника и плоскости является многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника. Поскольку точки , лежат в плоскости , то вся прямая лежит в этой плоскости. Отрезок – это след секущей плоскости на грани куба . Также легко установить, что – след секущей плоскости на грани . Легко заметить, что прямая параллельна плоскости . По теореме о следе секущая плоскость оставляет на грани след, параллельный . Проводим отрезок . Трапеция – искомое сечение.

Задача №6. Две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях. Доказать, что эта па-ра плоскостей определяется единственным образом.

Решение. Пусть прямые и скрещивающиеся. Выберем на прямой произвольную точку и проведем через нее прямую . На прямой выберем произвольную точку и проведем через нее прямую . Прямые и определяют плоскость ; прямые и определяют плоскость . Плоскости и параллельны по признаку параллельности плоскостей. Эта пара плоскостей единственна, так как она не зависит от выбора точек и .

Лекция №3

Тема: Параллельность прямых, прямой и плоскости

План:

1. Параллельные прямые в пространстве

2. Параллельность трёх прямых

3. Параллельность прямой и плоскости

1. Параллельные прямые в пространстве

Введем понятие параллельных прямых в пространстве.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пере­секаются.

Параллельность прямых и обозначается так: . На рисунке прямые и параллельны, а прямые и , и не параллельны.

Докажем теорему о параллельных прямых.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Рассмотрим прямую и точку , не лежащую на этой прямой (смотреть рисунок).

Через прямую и точку проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость буквой . Прямая, проходящая через точку парал­лельно прямой , должна лежать в одной плоскости с точкой и прямой , то есть должна лежать в плоскости . Но в плоскости , как известно из курса планиметрии, через точку проходит прямая, параллельная прямой , и притом только одна. На рисунке эта прямая обозначена буквой . Итак, – един­ственная прямая, проходящая через точку параллельно пря­мой . Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность двух лучей. На рисун­ке отрезки и параллельны , а отрезки и не параллельны, отрезок параллелен прямой .

1. Параллельность трёх прямых

Докажем лемму о пересече­нии плоскости параллельными прямыми, необходимую для даль­нейшего изложения.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые и , одна из которых – прямая – пересекает плоскость в точ­ке (смотреть рисунок).

Докажем, что прямая также пересекает плоскость , то есть имеет с ней только одну общую точку.

Обозначим буквой плоскость, в которой лежат параллель­ные прямые и . Так как две различные плоскости и имеют общую точку , то по аксиоме 3 они пересекаются по некоторой прямой (смотреть рисунок ниже). Эта прямая лежит в плоскости и пере­секает прямую (в точке ), поэтому она пересекает парал­лельную ей прямую в некоторой точке . Прямая лежит также в плоскости , поэтому – точка плоскости . Следовательно, – общая точка прямой и плоскости .

Докажем теперь, что прямая не имеет других общих точек с плоскостью , кроме точки . Это и будет означать, что пря­мая пересекает плоскость . Действительно, если бы прямая имела еще одну точку с плоскостью , то она целиком лежала бы в плоскости и, значит, была бы общей прямой плоскос­тей и , то есть совпадала бы с прямой . Но это невозможно, так как по условию , а прямые и пересекаются. Лемма до­казана.

Из курса планиметрии известно, что если три прямые лежат в одной плос­кости и две из них параллельны треть­ей прямой, то эти две прямые парал­лельны. Докажем аналогичное утверж­дение для трех прямых в пространстве.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство. Пусть и . Докажем, что . Для этого нужно доказать, что прямые и : 1) лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются.

1. Отметим какую-нибудь точку на прямой и обозначим буквой плоскость, проходящую через прямую и точку (смотреть рисунок).

Докажем, что прямая лежит в этой плоскости. Дей­ствительно, если допустить, что прямая пересекает плоскость , то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая также пересекает плоскость . Но так как , то и прямая пересекает плоскость , что невозможно, ибо прямая лежит в плоскости .

2. Прямые и не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые ( и ), параллельные прямой , что невозможно. Теорема доказана.

1. Параллельность прямой и плоскости

Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме 2 вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаим­ного расположения прямой и плоскости в пространстве:

а) прямая лежит в плоскости;

б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то есть пересекаются;

в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение. Прямая и плоскость называются парал­лельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой и плоскости обозначается так: . Наглядное представление о прямой, параллельной плос­кости, дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода – они параллельны плоскости земли. Другой пример дает линия пересечения стены и потолка – эта линия параллельна плоскости пола.

Заметим, что в плоскости пола имеется прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, линия пересечения пола с той же самой стеной. На рисунке указанные прямые обозначены буквами и . Оказывается, что если в плоскости имеется прямая , параллельная прямой , не лежащей в плоскости , то прямая и плоскость парал­лельны (смотреть рисунок ниже). Другими словами, наличие в плоскости прямой , параллельной прямой , является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой и плоскос­ти . Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим плоскость и две парал­лельные прямые и , расположенные так, что прямая лежит в плоскости , а прямая не лежит в этой плоскости. Докажем, что . Допустим, что это не так. Тогда прямая пересекает плоскость , а значит, по лемме о пересечении плоскос­ти параллельными прямыми прямая также пересекает плос­кость . Но это невозможно, так как прямая лежит в плоскости . Итак, прямая не пересекает плоскость , поэтому она парал­лельна этой плоскости. Теорема доказана.

Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач.

. Если плоскость проходит через данную прямую, парал­лельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пусть через данную прямую , параллельную плоскости , проходит плоскость , пересекающая плоскость по прямой .

Докажем, что . Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости ) и не пересекаются: ведь в против­ном случае прямая пересекала бы плоскость , что невозможно, поскольку по условию .

. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

В самом деле, пусть и – параллельные прямые, причем прямая параллельна плоскости . Тогда прямая не пере­секает плоскость , и, следовательно, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая также не пере­секает плоскость . Поэтому прямая либо параллельна плос­кости , либо лежит в этой плоскости.

Вопросы на закрепление темы

1. Какие две прямые в пространстве называются параллельными?

2. Сформулируйте и докажите теорему о параллельных прямых.

3. Сформулируйте лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми.

4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они …? Докажите.

5. Прямая и плоскость называются параллельными, если …?

6. Сформулируйте и докажите теорему о параллельности прямой и плоскости.

ТАШКЕНТСКИЙ ВОЕННО-ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЙ АКАДЕМИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ

Технологическая карта учебного занятия