Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Предмет

Алгебра и начала математического анализа

Класс

10

Авторы УМК

С. М. Никольский и др. для 10 класса

Тема учебного занятия

Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Тип учебного занятия

(с указанием формы)

комбинированный – объяснение нового материала

Урок систематизации и обобщения получаемых знаний и умений (практикум решения задач)

Цели урока:

Образовательные:

Развивающие:

Воспитательные:

- ввести понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса;

-рассмотреть знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса;

-рассмотреть зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же аргумента;

- сформировать умения и навыки нахождения значений выражений, содержащих синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы углов.

- формировать умения обобщать, систематизировать;

- развивать самостоятельность в мышлении и учебной деятельности.

- развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных  ситуациях;
- находить решения в различных проблемных ситуациях;
- развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки.

- воспитывать у учащихся аккуратность;
- умение слушать;
- культуру поведения.

Планируемые образовательные результаты (цели)

Предметные

Метапредметные

Личностные

уметь в процессе реальной ситуации использовать термины, понятия и умения решать основные типы задач.

уметь воспроизводить смысл различных математических понятий; уметь обрабатывать информацию; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности

умение работать индивидуально и в коллективе, слушать собеседника и умение четко, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи

Технологии обучения или элементы технологий

Традиционные активные методы обучения, коллективная деятельность обучения, личностно-ориентированное и проблемное обучение

Методы обучения

Репродуктивно - поисковый, частично-поисковый, проблемный

Средства обучения, дидактическое обеспечение урока

доска, экран, компьютер, мультимедийный проектор, , раздаточный материал, листы самоконтроля. (В ходе урока используется презентация «Параллельные прямые в пространстве»)

Структура урока (Этапы урока, время)

Работа учителя (задания, средства, ресурсы)

Функционал учеников

Формируемые УУД

Форма организации

Форма контроля результата

1.Организационный этап(1-2 мин)

Включаются в деловой ритм урока.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Регулятивные: организация своей учебной деятельности

Личностные: мотивация на обучение

фронтальная

2.Объяснение нового материала.(3-5 мин)

Учитель:»Сегодня мы поднимемся на следующую ступеньку наших знаний «Тригонометрия».

Вы узнаете определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, научитесь решать простейшие тригонометрические уравнения

Участвуют в работе:

1. в беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы.

Познавательные: структурирование собственных знаний.

Коммуникативные: организация и планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Личностные: оценивание усваиваемого материала.

1. фронтальный опрос

2. Мини опрос

3.Работа в парах

1.Устный опрос

3.Взаимопроверка (в парах)

3.Изучение нового материала(7-10 мин)

Рассмотрим окружность радиуса, равного 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют Единичной или тригонометрической.

Рисунок 1 – точка Р на единичной окружности

Точка Р (1; 0) при повороте вокруг начала координат на угол   переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты. (рис. 2).

Определения.

Синусом угла  называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается

Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол  .

Обозначается 

Угол   может выражаться и в градусах и в радианах

Записывают дату в тетрадь, определяют тему, цель, задачи урока.

Познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме.

Личностные: самоопределение.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса.

фронтальная

Устный опрос

4.Закрепление нового материала Решение задач.(21-23 мин)

Пример 1.

Точка А(1; 0) при повороте на угол 90  (рис. 1)

Ордината точки В равна 1, значит  или

Абсцисса точки В равна 0, значит 

Пример 2.

Точка А(1; 0) при повороте на угол   переместилась в точку  ( рис. 1)

Найдите   и 

Ответ:  = 0; 

Пример 3.

Точка А(1; 0) при повороте на угол   переместилась в точку   (рис. 1)

Найдите   и 

Ответ:  = 1 = 0

Рассмотрим ещё два понятия.

Определение. Тангенсом угла   называется отношение синуса угла к его косинусу.

Обозначается tg

tg , 

Пример 4.

Найти tg 0. Вычислим по формуле tg   =  = 0.

Определение. Котангенсом угла   называется отношение косинуса угла к его синусу.

Обозначается сtg

сtg

Пример 5.

Найти сtg  .

Вычислим по формуле сtg   = 

2. Меру угла (в радианах) можно рассматривать как действительное число, поэтому   и   – это числовые выражения. А так как каждая точка единичной окружности имеет координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1 ≤ х ≤ 1; -1 ≤ у ≤ 1,то синус и косинус не могут превышать значения, больше  .

Чтобы решить уравнения  = а,   нужно считать х неизвестным, число а – заданным.

Пример 6.

Решить уравнение   = 1.

Найдем точку с ординатой 1 и запишем, каким числам х она соответствует. На окружности мы видим эту точку: В (0; 1). Она соответствуют числу   и всем числам вида 

Решением уравнения   = 1 являются х = .

3. Полезно знать синусы, косинусы, тангенсы некоторых углов. Для этого рассмотрим дугу единичной окружности в I четверти координатной плоскости (рис. 3).

Рисунок 2 – 1 четверть единичной окружности

Точки А (1; 0) и В (0; 1) нам знакомы. Рассмотрим ещё несколько точек на окружности и найдем их координаты. Точка С является серединой дуги АВ, значит угол АОС равен половине прямого угла, 45  или  . Ордината точки С равна её абсциссе. Их значения нетрудно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ОСF, оно равно   А значит, 

,

tg 45

Дуга АМ составляет третью часть прямого угла,  . Ордината точки М равна  , значит

, tg30 .

Дуга АNсоставляет   прямого угла,  . Абсцисса точки N равна  , поэтому

,   tg 60 .

Чтобы легче запомнить эти значения, придумали мнемоническое правило- правило на ладони (рис. 4).

Рисунок 3 - мнемоническое правило- правило на ладони

Расположим ладонь так, как на рисунке, пусть мизинцу соответствует угол 0 , следующим пальцам– 30 , 45, 60  и 90 . Так же присвоим им номера: мизинец №0, следующие №1, №2, №3, №4. Чтобы найти синус, используем формулу:  = . А для косинуса нумерацию будем вести от большого пальца, выполняя вычисления по той же формуле.  = .

Например,  = ,  =  =  .

А тангенс можно вычислить по формуле: tg  = 

Повторяют определения.

Выполняют задания.

Познавательные: формирование интереса к данной теме.

Коммуникативные:

Умение самостоятельно выполнять задание

Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата.

Групповая и и ндивидуальная работа

Устный опрос

5.Рефлексия (подведение итогов урока) (2-3мин)

Подводит итоги работы.

1.Организует работу по эмоциональной окраске

2. Организует работу по закреплению нового материала, запоминанию определений

Учащиеся анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения и обсуждают правильность решения задач.

Оценивают свою работу.

Личностные: формирование позитивной самооценки

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли

Регулятивные: Использование полученных знаний в нестандартных ситуациях, оценивание собственной деятельности на уроке

Индивидуальная работа

6.Информация о домашнем задании(2-3мин)

Дает комментарий к домашнему заданию.

Записывают домашнее задание: Глава 8,§3, №958,961