О ФОРМУЛЕ СУММЫ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИ

Вывод формулы суммы п первых членов гео¬метрической прогрессии в учебнике «Алгеб¬ра 9» сложен. Предлагаю другой вариант до¬казательства этой формулы. Вывод формулы основан на существовании старинной легенды о том, что индийский раджа, познакомившись с игрой в шахматы, решил наградить изобретателя этой игры и предложил тому награду. Однако выполнить приказ раджи оказалось невозможно.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«О ФОРМУЛЕ СУММЫ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИ»

О формуле суммы членов геометрической прогрессии

Вывод формулы суммы п первых членов геометрической прогрессии в учебнике «Алгебра 9» сложен. Предлагаю другой вариант доказательства этой формулы.

Рассмотрим пример с числом зерен пшеницы.

S= 1+ 2+2²+2³+...+2⁶²+2⁶³,

S= 1+2•(1+2+ 2²+…+2⁶²).

Сумма в скобках в последнем равенстве меньше S на величину последнего слагаемого 2, т. е. , откуда S=.

Также легко можно получить формулу в общем виде для суммы п первых членов геометрической прогрессии:

S = b₁ + q(S - b₁q^n-1),

откуда

Рассмотрим примеры .

1. Найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , в которой

откуда

Отмечу, что применение формулы в общем виде не дает выигрыша в вычислениях. Кроме того, с момента применения формулы учащиеся перестают думать, а только напрягают память, чтобы вспомнить формулу.

2. Найти сумму

S = 1 – 2(S + 512), 3 S = -1023, S = -341.

3. Найти сумму

4. Найти сумму

5 . Найти сумму

Перейдем теперь к понятию суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q|

Чтобы глубже понять смысл этой записи, вычислим сумму первых п слагаемых.

При неограниченном увеличении разность становится сколь угодно близкой к числу , т.е. , отсюда запись

Затем полезно рассмотреть с учащимися, что происходит с суммами в примерах 3, 4 и 5 при неограниченном увеличении n.

Сделав соответствующие преобразования и дав определение суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q|

Можно пользоваться приемом, который мы проиллюстрирую на примерах.

Найти сумму

Так как сумма бесконечна, то в скобках снова стоит исходное выражение, т.е.

Найти сумму

Выполняя такие упражнения, необходимо помнить, что имеет смысл говорить о сумме лишь бесконечно убывающей геометрической прогрессии , т.е. при |q|

Например, применяя только рассмотренный прием для вычисления суммы 1 + 2 + 4 + 8 + 16=… .

(см. пример 5 ), получим

S=1+2(1+2+4+8+…), S=1+2S , S=-1.

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 9 класс

Скачать
О ФОРМУЛЕ СУММЫ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИ

Автор: Разинова Татьяна Леонидовна

Дата: 30.12.2015

Номер свидетельства: 271453

Похожие файлы

Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении задач

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(111) "Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении задач "
    ["seo_title"] => string(74) "arifmietichieskaia-i-ghieomietrichieskaia-proghriessii-v-rieshienii-zadach"
    ["file_id"] => string(6) "182892"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1425638471"
  }
}

Сумма п первых членов геометрической прогрессии

object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(89) "Сумма п первых членов геометрической прогрессии"
    ["seo_title"] => string(117) "urok_matiematiki_v_probliemno_evristichieskom_stilie_tiema_summa_p_piervykh_chlienov_ghieomietrichieskoi_proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "342984"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1473431520"
  }
}

Конспект урока математики в 9 классе на тему"Сумма n-членов геометрической прогрессии"

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(158) "Конспект урока математики в 9 классе на тему"Сумма n-членов геометрической прогрессии" "
    ["seo_title"] => string(98) "konspiekt-uroka-matiematiki-v-9-klassie-na-tiemu-summa-n-chlienov-ghieomietrichieskoi-proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "170585"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1423572720"
  }
}

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии.

object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(105) "Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии. "
    ["seo_title"] => string(66) "formula-summy-n-piervykh-chlienov-ghieomietrichieskoi-proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "101900"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402465640"
  }
}

Урок по теме "Сумма n первых членов геометрической прогрессии"

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(113) "Урок по теме "Сумма n первых членов геометрической прогрессии""
    ["seo_title"] => string(73) "urok_po_tiemie_summa_n_piervykh_chlienov_ghieomietrichieskoi_proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "370468"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1481918862"
  }
}

О ФОРМУЛЕ СУММЫ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИ

Просмотр содержимого документа «О ФОРМУЛЕ СУММЫ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИ»

Похожие файлы

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«О ФОРМУЛЕ СУММЫ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИ»