Сабақтың тақырыбы: Нақты сандар туралы жалпы түсінік.
Сабақтың мақсаты:
Білімділік: Нақты сандар туралы жалпы түсінік беру. Анықтамасын беру.
Дамытушық: есте сақтау, зейін қою, өзіндік ойлау қабілеттерін дамыту
Тәрбиешілік: жауапкершілік, белсенділік, білімге талпыну қасиеттерін бойында тереңдету
Сабақтың түрі: Жаңа тақырып
Сабақтың барысы:
І Мотивациялық кезең
Сәлемдесу
Оқушыларды түгендеу
Оқушылардың үй жұмыстарын тексеру.
ІІ Мағынаны ашу:
Еске түсіру!
Натурал сан, бүтін сан, рационал сан, иррационал сан, координаталық түзу, координаталық түзудегі оң және теріс бағыттар, санақ басы, координаталық түзудегі нүктенің координатасы, кесінді, кесіндіні өлшеу, кесіндінің өлшем бірлігі, ондық бөлшек, шексіз периодты емес ондық бөлшек, қысқартылмайтын бөлшек, бөлшекті екінші дәрежеге шығару, бірлік шаршы, шаршы, шаршы диагоналі, шаршы ауданы.
Тақырыпты оқу барысында нені үйренесіңдер?
Бұл тақырыпты игере отырып, нақты сандар туралы түсініктеріңді жалпылайсыңдар; нақты сандардың құрылымын, нақты сандар жиынының геометриялық мағынасын, сонымен қатар нақты сандар мен координаталық осьтегі нүктелер арасындағы “бір мәнді сәйкестік” ұғымының мағынасын білетін боласыңдар.
болатын екі тең емес және кесінділері берілсін
(1-сурет). Өлшем бірлігі ретінде кіші кесіндіні алайық. А нүктесінен бастап АВ кесіндісін CD кесіндісі арқылы өлшейміз. Өлшеу CD кесіндісінен кіші РВ кесіндісі қалдық боп қалғанша жүргізіледі.
Нәтижесінде, тең емес екі CD және РВ ( РВ кесінділерін аламыз. Өлшеуді жалғастыру үшін CD кесіндісін бірдей 10 бөлікке бөліп, оның оннан бір бөлігін РВ кесіндісінде өлшейік.
Өлшеу CD кесіндісінің бөлігінен кіші кесіндісі қалдық болып қалғанша жүргізіледі. 1- сурет бойынша кесіндісі CD кесіндісінің бөлігін бес рет өлшегенде шығады. Жаңа кесіндісін CD кесіндісінің бөлігінен кіші кесіндісі қалдық болып қалғанға дейін CD кесіндісінің бөлігімен өлшейміз және өлшеуді осылай жалғастыра беруге болады. Мұндай өлшеу нәтижесінің үш жағдайы бар.
1-жағдай. Өлшеу қандай да бір қадамда аяқталып, нәтижесінде рационал сан шығады.
2-жағдай. Өлшеу шексіз жалғасады және нәтижесінде шексіз периодты ондық бөлшек шығады.
3-жағдай. Өлшеу шексіз жалғасады және нәтижесінде шексіз периодты емес ондық бөлшек шығады.
3-жағдайға сәйкес шаршы диагоналінің ұзындығын өлшеу есебін қарастырайық.
Қабырғасы ОА бірлік кесіндіге тең болатын ОАВС шаршы берілсін (2.1-сурет). Шаршы диагоналінің ұзындығын анықтайық.
Есепті шығару үшін ОАВС бірлік шаршының (ОА=1) диагоналіне жаңа OMNB шаршысын саламыз (2.2-сурет).
2.2-суреттен OMNB шаршының ауданы ОАВС шаршының ауданынан 2 есе артық екенін көруге болады. Демек, OMNB шаршысының ауданы 2-ге тең. Координаталық сәуледе ОВ кесіндісіне тең болатын ОD кесіндісін өлшеп салайық. ОD кесіндісі ұзындығының квадраты 2 санына тең.
Есептің шарты бойынша, бірлік кесінді ретінде ОА қабырғасын алып, ОВ диагоналінің ұзындығын, яғни ОDкесіндісінің ұзындығын ОА=1 бірлік кесінді көмегімен өлшеу керек. Ол үшін ОD кесіндісінің бойына О нүктесінен бастап бір рет ОА кесіндісін өлшеп саламыз. Сонда АD кесіндісі қалдық болып қалады. Одан кейін ОА бірлік кесіндісін бірдей 10 бөлікке бөліп, оның бөлігіне тең кесіндіні А нүктесінен бастап АD кесіндісіне өлшеп саламыз. Мысалы, үш рет өлшегеннен кейін болатын Е нүктесі шықсын. Әрі қарай ОА кесіндісінің , ,
және т.с.с. бөліктерін қолдану арқылы өлшеуді жалғастырамыз.
Сонымен, ОD кесіндісінің ұзындығын өлшеу нәтижесінде периодты емес шексіз ондық бөлшек шығады.
Бұл - рационал сандардың арасында квадраты 2-ге тең сан болмайды дегенді білдіреді.
1-мысал. Рационал сандардың арасында квадраты 2-ге тең санның болмайтынын дәлелдейік.
Дәлелдеуі. Дәлелдеуді қарсы жору арқылы жүргіземіз. Рационал сандар арасында квадраты 2-ге тең болатын сан бар деп жориық. Ол санды (мұндағы m – бүтін сан, n – натурал сан) қысқармайтын бөлшек түрінде жазуға болады. Бұл рационал санды екінші дәрежеге шығарайық. Сонда немесе аламыз. – жұп сан, демек, оған тең саны да жұп. Ендеше, m санының өзі де жұп болғаны (өйткені, егер m тақ сан болса, онда m2саны да тақ болар еді). Ал m жұп санын m=2k (мұндағы k – бүтін сан) түрінде жазуға болады. Енді осы мәнді теңдігіне қойсақ, немесе немесе аламыз. саны жұп сан, ендеше саны да жұп. Нәтижесінде, бөлшегінің алымы және бөлімі жұп сандар болады, яғни бөлшек қысқартылады. Бұл бөлшегінің қысқартылмайтын бөлшек екеніне қайшы. Демек, квадраты 2-ге тең рационал сан бар деген жорамал қате.
Тура осылай “квадраты 3,5,7,6,10,11 болатын рационал сан болмайды” деген тұжырым айта аламыз. Қажет жағдайда квадраты осы сандарға тең болатын сандардың әрқайсысы шексіз периодты емес ондық бөлшек екенін көрсетуге болады.
Анықтама.Кез келген шексіз периодты емес ондық бөлшекиррационал сандеп аталады.
Иррационал сандар жиыны жоғарыда аталған сандармен шектелмейді.
Мысалы, бірлік кесінді ретінде диаметрдің ұзындығын алып, кез келген шеңбердің ұзындығын өлшесек, өлшеу нәтижесінде шексіз периодты емес бөлшек аламыз. Демек, кез келген шеңбер ұзындығының диаметрге қатынасын беретін саны да иррационал сан.
Анықтама.Барлық рационал және иррационал сандарнақты сандаржиынын құрайды.
Сонымен, “х нақты сан” дегенде, х саны рационал немесе иррационал екенін есте ұстау керек.
Координаталық түзуде кез келген нақты санға бір ғана нүкте сәйкес келеді және керісінше координаталық түзуде кез келген нүктеге бір ғана
нақты сан сәйкес (осы нүктеден санақ басына дейінгі
арақашықтықты тауып, нүктенің санақ басынан оң жақта немесе сол жақта орналасуына байланысты табылған санның алдына “+” немесе “-” таңбасын қойған жеткілікті).
Нақты сандар жиынын сан түзуі деп атайды. Координаталық түзу- сан түзуінің геометриялық моделі. Нақты сандардың геометриялық кескінін көрсету үшін түзу жүргізіліп, ол түзуде: 1) оң бағыт;
2) санақ басы; 3) бірлік кесінді алынады. Осылайша салынған түзу сан осі деп аталады.
Мысалы, 3.1-суретте санақ басы О нүктесі, бірлік кесінді ОЕ болатын сан осі берілген.
Сан осінде алынған кез келген нүкте, мысалы, М нүктесіне бір ғана нақты санын қоюға болады. Осы санның модулі ОМ кесіндісінің ұзындығын өрнектейді. Егер М нүктесі санақ басының оң жағында орналасса, онда 0 (3.2-сурет), ал егер М нүктесі санақ басының сол жағында орналасса, онда О нүктесіне нөл саны сәйкес келеді.Кері тұжырым да дұрыс, яғни Ох осіндегі кез келген нақты санына бір ғана М нүктесі сәйкес келеді. Егер 0 болса, онда М нүктесі О нүктесінің сол жағында орналасқан.Сонымен нақты сандар мен сан осіндегі нүктелер арасындағы сәйкестік – бірмәнді. Ох осін нақты сандар осі немесе сан түзуі деп айтады. Натурал, бүтін, рационал және нақты сандар арасындағы қатынас 4- суретте диаграммамен берілген. Бұл диаграмма Эйлер-Венн диаграммасы деп аталады.
Периодты ондық бөлшекті жай бөлшек түріне келтіру формуласы:
Мағынаны ашу a,b(cd)=a
R – Нақты сандар жиыны
Q – Рационал сандар жиыны
Z - Бүтін сандар жиыны
N – Натурал сандар жиыны
Мыс: 0,1(3)==
1,08 және 1,0(8)
19,(27) және 19,27(7)
-1,(31) және -1,3(13)
ІІІ Бекіту кезеңі:
Тақтада: №№2, 4, 6, 8, 11
Ауызша есептер:№1, 5, 7
Рефлексия
Нақты сандар д.н?
Эйлер-Венн диограмасында нақты сандар жиынын жаз?
Үйге тапсырма беру: №5
Бағалау: Оқушылардың белсенділіген байланысты бағалау
