Множества и способы их задания

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2 МНОЖЕСТВА И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Цель работы: определить понятие множества, познакомиться со способами задания множеств, научиться выполнять операции над множествами.

Краткая теория и методические рекомендации

Множество – это любая определенная совокупность объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Обычно множество обозначают: А, В, С …, а его элементы: a, b, c … Множество, не содержащее элементов, называется пустым. Пустое множество обозначают . Универсальным множеством называется множество U, которое содержит все всевозможные элементы. Мощностью множества называется количество элементов в нем.

Перечислим способы задания множеств:

1. Перечислением элементов, если множество конечное, например {a, b, c }.

2. Заданием характеристического свойства, например {х| х-блондины}.

Пример. Задайте множество А={x | х – целое неотрицательное и х+2=5} другим способом.

Решение: корень уравнения х+2=5 равен 3. Это число целое неотрицательное, следовательно, является элементом данного множества.

Ответ: А={3};

Отношения между множествами

Равенство множеств А и В.

Множества А и В называют равными, если каждый элемент одного из них является элементом другого и обозначаются А=В.

Включение множеств.

Говорят, что множество А включается в множество В, если каждый элемент множества А является элементом множества В и обозначают АВ. Множество А называют подмножеством множества В, а множество В называют надмножеством множества А.

Если А подмножество В и АВ, то А называют собственным подмножеством множества В. Свойства:

А.

АА.

Если АВ и ВС, то АС.

Если АВ и ВА, то А=В.

Пример 1. Выясните, равны ли множества:

a) А={1, 2, 3}; В={2, 3, 1}.

b) А – множество всех равносторонних треугольников; В – множество всех равноугольных треугольников.

c) А={1, 5, 8}; В={2, 8}.

d) А={0, 1}; В={{0, 1}}.

Решение.

1. А={1, 2, 3}; В={2, 3, 1}. Множества состоят из одних и тех же элементов, следовательно, А=В.

2. А – множество всех равносторонних треугольников; В – множество всех равноугольных треугольников. Т.к. в равностороннем треугольнике все углы равны, то А=В.

3. А={1, 5, 8}; В={2, 8}. АВ, т.к. в этих множествах различное количество элементов.

4. А={0, 1}; В={{0, 1}}. АВ, так как первое – двухэлементное, а второе - одноэлементное.

5. Пример 2. Даны множества N, Z, R. Укажите, какие из них являются подмножествами. Решение: NZ, где N-множество натуральных чисел, а Z- целых чисел.

Z R, где R- множество действительных чисел.

Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество, которое состоит из тех и только тех элементов, которые содержатся хотя бы в одном их множеств А или В. Объединение множеств обозначают АВ.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые содержатся как во множестве А, так и во множестве В. Пересечение множеств обозначают АВ.

Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из элементов, которые содержатся в множестве А и не содержатся в множестве В. Разность множеств А и В обозначают как А\В.

Симметрической разностью множеств А и В называют множество, состоящее из элементов, которые содержатся в одном из этих множеств и не содержатся в другом. Симметрическую разность обозначают АВ. Из определения симметрической разности множеств следует, что А∆В=(А\В)  (В\А) и А∆В=(АВ) \ (АВ).

Дополнением множества А называется универсальное множество, не включающее элементы исходного множества. Дополнение множества А обозначают Ā. По определению Ā=U\А.

Пример 1. Заданы два множества. Выполните над ними все известные операции. А=x| xR и 1x3, B=x| xR и 2x4.

Решение: AB=x|xR и 1x4; AB=x|xR и 2x3; A\B=x|xR и 1x; A∆B=x|xR и 1x4; Ā=x|xR и x и x3;

Пример 2. Пусть А – множество всех женщин, универсальное множество U – множество всех людей. Тогда Ā – это множество всех мужчин.

Основные свойства операций

Теорема: для любых множеств А, В, С выполняются следующие равенства:

1. АА=А; АА=А;

2. АВ=ВА; АВ=ВА;

3. А(ВС)=(АВ)С; А(ВС)=(АВ)С;

4. А(ВС)=(АВ)(АС); А(ВС)=(АВ)(АС);

5. А(АВ)=А; А(АВ)=А;

6. А=А; А=;

7. АU=U; AU=A;

8. А ^А =U; A ^А =;

9. ^А =А;

10.

А  В ₌ А  В _;

^{А  В} = ^{А  В} – законы де Моргана.

Прямое произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется совокупность всех упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит А, а второй принадлежит В. Обозначают АВ.

Говоря об упорядоченной паре, имеют ввиду, что два объекта расположены в определенном порядке. Один из них считается первым, другой – вторым.

Декартово произведение множества само на себя (случай когда А=В) обозначают А². В общем случае, АВВА. Но если А=В или одно из множеств пусто, то АВ=ВА.

Декартовым (прямым) произведением множеств А, В, С называется совокупность всех упорядоченных троек, первый элемент которых берется из А, второй из В, третий из С.

То есть АВС=(a,b,c)|aA, bB, cC.

Можно определить декартово произведение любого числа множеств: А₁А₂…А_n=(х₁,х₂,…,х_n)| х_iA_i, i=1,2,…,n.

Рассмотрим множество действительных чисел R. Известно, что точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат. Тогда декартово произведение RR=R² определяет плоскость координат. Если А и В подмножества множества R (т. е. АR и ВR), то АВ можно изобразить на плоскости.

Примеры.

1. Даны множества А=1, 2; В=a, b. Найдите АВ, ВА.

Решение: АВ=(1,a), (1,b), (2,a), (2,b).

ВА=(a,1), (b,1), (a,2), (b,2).

1. Изобразить на плоскости декартово произведение множеств А и В. А=xR| x[1,2]; В=yR| y[2,3].

Решение:

АВ=(x,y)R²| xA, yB

Рис. 2

Рис. 1

1. Даны числовые множества:

А=[0,1], В=[0,1], С=[0,1]. Изобразите декартово произведение АВС.

Решение: АВ=(x,y,z)R³|xA,yB,zC .

Любую тройку можно представить точкой пространства.

Задания практической работы

Задание 1. Сколько элементов в множестве {1,{1},2,{1,{2,3}},}?

Задание 2. Перечислите элементы следующих множеств:

А={x | хZ и 10х17}; C={x | хZ и 6х²+x-1=0}; B={x | хZи х²

D={x | хR и 4х²+11x-3=0}.

Задание 3. Даны три множества А={0, 1}, B={{0,1} , С={{{0,1}, 2}, 3}. Верно ли, что: АВ, BC, но АС?

Задание 4. Пусть А₁ – множество четных натуральных чисел; А₂ – множество, состоящее из числа 10 и всех нечетных натуральных чисел, не делящихся на 5; А₃ – множество натуральных чисел, делящихся на 5. Найдите: А₁А₂А₃.

Задание 5. Пусть А={x | х – целое четное число и 1х12}; В={x | х – целое число, кратное 3 и

1х12}. Убедитесь, что

A  B  A  B _.

Задание 6. Дано два множества А={x,y} и В={1,2,3}. Найдите декартовы произведения: АВ, ВА, ВВ, АА, ВАВ, АВА.

Задание 7. Изобразите на плоскости декартовы произведения множеств: АВ, ВА, ВВ.

a) А={x | x[0;1]}; B={y | y(-1;1)};

b) A={ x | xR и x21}; B={y | yR и y[1; ^{ } )}.

Задание 8. Постройте множество А², если:

a) А= {0, 1};

b) A={x, y, z};

c) A={0, 2, 4, 6, 8};

d) A={1, 3, 5, 7};

1. A={день, ночь};

2. A={a, b, c, d}.