kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Методическая разработка открытого занятия

Нажмите, чтобы узнать подробности

Методическая разработка открытого занятия. Для преподавателей математики и студентов учебных заведений среднего профессионального образования

Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка открытого занятия»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГПОУ «ГОРЛОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА»











МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

открытого занятия

«ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ.

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ»


по дисциплине ОДП.01 Математика (алгебра

и начала математического анализа, геометрия)


специальность 08.02.08 Монтаж и эксплуатация оборудования

и систем газоснабжения














Горловка, 2020

Методическая разработка открытого занятия по дисциплине ОДП.01 Математика (алгебра и начала математического анализа, геометрия).

Подготовила Лебединская Л.М. – специалист высшей категории, «старший преподаватель», преподаватель ГПОУ «Горловский колледж городского хозяйства» – 2020.




Изложена методика проведения открытого занятия по дисциплине ОДП.01 Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия с использованием интерактивных методов обучения, направленная на получение знаний и умений по теме: «Перпендикуляр и наклонные. Расстояние от точки до плоскости».




Для преподавателей математики и студентов учебных заведений среднего профессионального образования



Рецензенты:

Старченко Е.А. - преподаватель территориального базового ГПОУ «Горловский техникум» ГОУ ВПО «ДОННУ», специалист высшей категории.

Коренюк Г. А. - председатель цикловой комиссии преподавателей дисциплин математической и естественнонаучной подготовки, преподаватель квалификационной категории «специалист высшей категории» ГПОУ «Горловского колледжа городского хозяйства».





Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой комиссии преподавателей математической и естественнонаучной подготовки

Протокол №___ от «____»______2020г.

Председатель цикловой комиссии___________Г. А. Коренюк






СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………. 3

1.План открытого занятия 4

2.1. Ход занятия 6

2.1.1. Организационный момент 6

2.1.2. Проверка домашнего задания 6

2.1.3. Объявление темы и плана занятия. Мотивация учебной

деятельности 6

2.2. Актуализация опорных знаний 6

2.3. Изложение нового материала 6

2.4. Закрепление изученного 9

2.5. Подведение итогов 13

2.6 Домашнее задание 13

Заключение 14

Список использованной литературы 15

Приложение 1. Вопросы для актуализации знаний 16

Приложение 2. Кроссворд 17

Приложение 3. Бланк тестов 18
























ВВЕДЕНИЕ

Система математического образования на разных этапах обучения должна быть:
- составляющей целостной системы формирования личности на основе

достижений математики, психолого-педагогической науки, педагогического опыта в образовательных организациях;

- базироваться на принципах гуманитаризации учебно-воспитательного процесса и гуманитаризации его содержания.

Обучение математике на всех этапах должно быть направлено на развитие интеллекта, алгоритмической культуры, математической интуиции, умения учиться и применять полученные знания для решения практических и прикладных задач.

В организации учебного процесса целесообразно отдавать приоритет методам активного обучения и его современным технологиям.

При составлении этой методразработки были учтены эти исходные положения, а также попытка достичь главной цели и заданий обучения математике, как сформулировано в образовательном стандарте:

- овладение обучающимися системой математических знаний, навыков и умений;

- формирование у обучающихся научного мировоззрения, представлений о методах математики;

- интеллектуальное развитие обучающихся (логическое мышление, пространственное представление, алгоритмическая культура, память, внимание, интуиция).










3

1. ПЛАН ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ


Дисциплина: ОДП.01 Математика (алгебра и начала математического анализа, геометрия)

Дата проведения: 11.12.2020.

Группа: ТГ - 1А

Количество студентов: 17

Тема занятия: Перпендикуляр и наклонные. Расстояние от точки до плоскости

Тип занятия: урок формирования новых знаний;

Вид занятия: комбинированное (беседа в сочетании с практической деятельностью учащихся);

Цели занятия:

Учебная: Сформировать понятие перпендикуляра и наклонной, проекции наклонной, расстояния между точкой и плоскостью, установить взаимосвязь между длинами наклонных и длинами их проекций на плоскость, формирование умения применять теоретический материал при решении задач.

Методическая: совершенствование методики проведения занятия по усвоению новых знаний с организацией фронтальной, групповой и индивидуальной работы обучающихся на занятии

Развивающая: Развивать конструктивный навык нахождения расстояния от точки до плоскости. Развивать логическое и алгоритмическое мышление, зрительную память; навыки исследовательской деятельности (умение анализировать и аргументировать, обобщать), грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; навыки учебного труда; умение применять преемственность в изучении отдельных тем.

Воспитательная: Воспитывать интерес к дисциплине через содержание учебного материала; познавательную активность; настойчивость в достижении цели, умение преодолевать трудности при выполнении заданий, уверенность в себе; аккуратность; развивать коммуникативные компетенции.

4

Мотивация: Ни для кого не секрет, что вся элементарная геометрия пришла к нам в основном из Египта и Греции. В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии да не войдет сюда». Геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы. В далекие и древние времена геометрия использовалась как наука для измерения земельных участков, а также при строительстве. Все теоремы и аксиомы выводили и доказывали, чтобы облегчить измерительные или строительные работы.

Тема нашего занятия очень важна для людей любого времени, так как перпендикуляр и наклонная - основные ориентиры при практической деятельности человека. 

Методы обучения: фронтальный, частично-поисковой, объяснительный, самостоятельная работа, дифференцированный, сочетание репродуктивного метода с проблемным.

Материальное обеспечение урока: Геометрия 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни/ Л.С. Атанасян и др. – М.: Просвещение, 2011., чертёжные инструменты, учебная доска, телевизор, ноутбук, Приложение 1 (вопросы к фронтальному опросу), Приложение 2 (кроссворд для определения начального уровня знаний), Приложение 3 (бланк для тестов), презентация (слайдовая).

Межпредметные связи: обеспечивающие: ОДП.01 Математика (алгебра и начала математического анализа, геометрия). обеспечиваемые: ОДП.01 Математика (алгебра и начала математического анализа, геометрия), ЕН.01 Математика, ОП.01 Инженерная графика


Последовательность этапов урока. (80 минут)

1. Организационный момент (3мин.)

2. Актуализация опорных знаний (15 мин.)

3. Изложение нового материала (15мин. )

4. Закрепление теоретического материала (15 мин. )

5. Решение задач ( 25 мин. )

6. Подведение итогов. ( 5 мин. )

7. Домашнее задание ( 2мин. )

5

2. ХОД ЗАНЯТИЯ

2.1. Организационный момент.

2.1.1 Приветствие. Отметить отсутствующих на занятии.

2.1.2 Проверка домашнего задания

2.1.3 Оглашение темы занятия, ознакомление обучающихся с целью и задачами занятия, мотивация. Слайд 1, Слайд 2, Слайд 3

2.2. Актуализация опорных знаний

2.2.1 Фронтальный опрос по теории. (Приложение 1)

1) Дать определение двум перпендикулярным прямым

2) Дать определение прямой, перпендикулярной плоскости

3) Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости

4) Верно ли утверждение: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к прямой, принадлежащей плоскости?

5) Верно ли утверждение: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости

6) Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника?

7) Могут ли быть перпендикулярны к плоскости две стороны треугольника одновременно?

8) Три луча ОМ, ОN, ОК попарно перпендикулярны. Как расположен луч ОК по отношению к плоскости, определенной остальными двумя лучами?

9) Закончите предложение: если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то…………………..

10) Две прямые, перпендикулярные одной плоскости ………………

11) Что можно сказать о трех прямых, перпендикулярных одной плоскости?

о четырех?

2.3. Изучение нового материала

2.3.1 Вводятся определения перпендикуляра, наклонной и ее проекции Слайд 4


6

А



В

С

АВ - перпендикуляр


АС - наклонная

ВС - проекция


Рассмотрим плоскость и точку А, не принадлежащую ей.

АВ – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости

В – основание перпендикуляра.

АС – наклонная, проведенная из точки А к плоскости ,

С – основание наклонной.

СВ – проекция наклонной на плоскость

Наклонная, ее проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник и длины этих отрезков по теореме Пифагора связаны соотношением АС2 = АВ2 + СВ2

Слайд 5. Примеры материальных моделей перпендикуляров к плоскости: Столб, телевизионная вышка перпендикулярны плоскости горизонта

Перпендикулярно этой плоскости забивают сваи, бурят скважины, проходят шахтные стволы, запускают космические корабли, так как только набрав нужную высоту, ракета отклоняется в нужном направлении.

2.3.2 Свойства перпендикуляра и наклонных, проведенных из одной точки к плоскости: Слайд 6

Если из одной и той же точки, взятой вне плоскости, проведены к этой

плоскости перпендикуляр и несколько наклонных, то:





7

А







В

E D

C























1) Перпендикуляр короче любой наклонной.



АВ АD

2) Если наклонные равны, то равны и их проекции, и наоборот.

AE = AD BE = BD;

3) Большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

AC AЕ ⇔ ВС BЕ.


На доске обучающийся делает чертеж, все делают чертеж в тетради и записывают доказательство сформулированных свойств.

1. Рассмотрим треугольник АВD. Треугольник прямоугольный, так как АВ ⊥ плоскости , ВD ⇒ АВ ⊥ ВD. AВ – катет, ВD – гипотенуза, а катет короче гипотенузы ⇒ АВ АD.

2. Рассмотрим △ АВE и △ АВD. Треугольники прямоугольные. У них общий катет АВ, гипотенузы равны по условию AE = AD. По признаку

8

равенства прямоугольных треугольников △АВE = △АВD ⇒ BE = BD.

3. Рассмотрим △ АВС и △ АВЕ. Треугольники прямоугольные. В △ АВЕ угол ВЕА - острый, а смежный с ним угол АЕС - тупой, а значит является самым большим в △ АЕС. А это значит, что сторона АС является наибольшей по длине из всех сторон △ АЕС ⇒ AC AЕ.

2.3.3 Ввести понятие расстояния от точки до плоскости Слайд 7.

Расстоянием от точки А до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Расстояние от точки А до плоскости является наименьшим расстоянием от точки А до точек этой плоскости.

В тетрадях сделать чертеж и записать: АА1 , АА1 - расстояние от точки до плоскости.

2 .4. Закрепление изученного материала

2.4.1 Определение начального уровня усвоения новых знаний. Слайд 8

КРОССВОРД. (Приложение 2)

Обучающиеся заполняют строчки на листах Приложения 2

1. Кратчайшее расстояние от точки до плоскости

2. Длина наклонной это….

3.Треугольник это геометрическая …

4. Конец перпендикуляра, лежащий в плоскости ….

5. Одна из сторон прямоугольного треугольника

6. Отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, но не перпендикуляр

7. Отрезок, соединяющий концы перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки

Ключевое слово: ПИФАГОР Слайд 9

2.4.2 Тест: Бланк для тестов (Приложение 3)

Обучающиеся заполняют последнюю графу (ОТВЕТ), записывая только букву с правильным ответом. В 6 и 7 пункте задание представлено на

Слайде 10.


9

п/п


ВОПРОС

ВАРИАНТЫ

ОТВЕТа


ОТВЕТ


1


Как называется линия, пересекающая плоскость не перпендикуляно ей.

а) луч;

б) наклонная;

в) проекция;

г) расстояние.



2

Как называется линия, соединяющая основания перпендикуляра и наклонной?

а) отрезок;

б) угол;

в) проекция;

г) расстояние.



3

Расстояние от точки до прямой равно длине…

а) наклонной;

б) медианы;

в) проекции; г)перпендикуляра




4

Из двух наклонных, исходящих из одной точки, не лежащей на данной плоскости, больше та, у которой…

а)перпендикуляр больше;

б) проекция меньше; в) проекция больше; г) перпендикуляр

меньше.



5

Точка А не лежит на плоскости. Сколько наклонных одной длины можно провести из этой точки к данной плоскости

а) одну;

б) две;

в) несколько;

г) бесконечное множество.



6

Задача 1 Слайд 10

а) да; б) нет.


7

Задача 2 Слайд 10

записать ответ




8

Точка А не лежит в плоскости, а точка Е принадлежит этой плоскости. АЕ = 13, проекция этого отрезка на плоскость равна 5. Каково расстояние от точки А до данной плоскости?

а) 144;

б) 8;

в) 18;

г) 12.




Бланки тестов собрать на проверку.



10

2.4.3 Задача «ПРОБЛЕМА»

Слайд 11

«Проблему» перевести на математический язык: Слайд 12

На доске сделать чертеж прямоугольной трапеции и записать решение

С





В М





А D

СD = 30м; АВ = 15м; АD = 20м, Найти ВС

Решение: проведем ВМ АD; АD ⊥ СD ⇒ ВМ ⊥ СD ⇒ треугольник ВСМ- прямоугольный. СМ = СD - DМ = 30 - 15 = 15м)

По теореме Пифагора ВС2 = ВМ2 + СМ2; ВС2 = 202 + 152 = 400+ 225 = 625

ВС = = 25(м). Длина сетевого кабеля равна 25 + 2 = 27 (м)

2.4.4 Решение задач: Слайд 13

Слайд 14 Задача 1. Задачу решить устно. Найдите длину наклонной, если длина перпендикуляра равна 6 см, а проекция наклонной на плоскость - 8см.

Дано: АВ ⊥ , АВ = 6см, АС – наклонная, ВС – проекция, ВС = 8 см

Решение: треугольник АВС- прямоугольный.

По теореме Пифагора АС2 =АВ2 + ВС2;

АС2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

АС = = 10(м).

Слайд 15 Задача 2 Из вершины С квадрата АВСD проведен перпендикуляр СМ к его плоскости. Найдите расстояние АМ, если СМ равно 6см, а сторона квадрата равна 4 .

М


D C


А В

11

Дано: АВСD – квадрат, СМ ⊥ (АВСD ), СМ = 6 см, АВ = 4 см

Найти АМ

Решение: СМ ⊥ (АВСD ), АС (АВСD ) ⇒ СМ ⊥ АС ⇒ треугольник АСМ - прямоугольный. По теореме Пифагора АМ2 =АС2 + СМ2;

Треугольник АВС - прямоугольный. По теореме Пифагора

АС2 = АВ2 + ВС2,

АС2 = (4 2 + (4 )2 = 32 + 32 = 64,

АС = = 8 (см )

АМ2 = 64 + 36 = 100,

АМ = = 10 (см)

Слайд 16 Задача 3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см, а их проекции относятся как 2:5. Найдите расстояние от данной точки до плоскости.

A



О С

В




Дано: АВ, АС – наклонные, АВ = 17 см, АС = 10 см, СО : ВО = 2 : 5, АО ⊥ .

Найти: АО

Решение: АО ⊥ ВО, СО ⇒ △ ВОА и △ СОА - прямоугольные.

Пусть СО = 2х см, ВО = 5х см. По теореме Пифагора

Из △ АОВ АО2 = АВ2 – ВО2

Из △ АОС АО2 = АС2 – СО2

Приравняв правые части, имеем равенство:

АВ2 – ВО2 = АС2 – СО2

172 - (5х)2 = 102 - (2х)2

289 – 25х2 = 100 - 4х2

21х2 = 189

12

х2 = 9 ⇒ х = 3

СО = 2 = 6 см ⇒ АО2 = 102 – 62 = 100 - 36 = 64 ⇒ СО = = 8(см)

2.5. Подведение итогов.

Собрать тетради на проверку, подвести итог урока, объявить оценки за работу на уроке.

2.6. Домащнее задание Слайд 17


Стр. 40 п,19, №140, №142.

Закончить урок. Слайд 18
























13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Методической целью занятия было совершенствование методики проведения занятия по усвоению новых знаний с организацией фронтальной, групповой и индивидуальной работы обучающихся на занятии

Если мы рассмотрим принципы проектной деятельности, они прекрасно согласуются с принципами современного образования, такими как принцип обучения деятельности; принцип управляемого перехода от деятельности в учебной ситуации к деятельности в жизненной ситуации. Метод проектов предполагает наличие самостоятельных действий учащихся с обязательной презентацией результатов. Самостоятельная деятельность обучающихся и творческий подход предполагается на каждом этапе проекта – начиная от выбора темы до получения результата. При работе над проектом должен быть получен осязаемый результат: конкретное решение проблемы или продукт, готовый к применению. Технология работы по методу проектов это совокупность исследовательских, поисковых, проблемных и творческих методов.

Если мы рассмотрим принципы проектной деятельности, они прекрасно согласуются с принципами современного образования, такими как принцип обучения деятельности; принцип управляемого перехода от деятельности в учебной ситуации к деятельности в жизненной ситуации.

Одна из главных задач преподавателя – заинтересовать студента и сохранить этот интерес на протяжении изучения дисциплины.Многие виды деятельности проходят через диалог и беседу: нужно дать положительный заряд на урок при помощи психологического настроя, чтобы обучающиеся вели себя непринужденно, активно, не боялись замечаний и критики, отвечали на вопросы. Для успешного достижения поставленных целей на уроке просто необходимо использование интерактивного оборудования, что обеспечивает единство теоретических и практических знаний, обеспечивает продуманность их использования, что способствует улучшению процессов преподавания и обучения.

14

Конечной целью применение всех доступных методов является достижение целей, поставленных в начале занятия: развивать логическое и алгоритмическое мышление, зрительную память, навыки исследовательской деятельности (умение анализировать и аргументировать, обобщать), грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, навыки учебного труда, умение применять преемственность в изучении отдельных тем.

ЛИТЕРАТУРА

Нормативно-правовые источники:

1. Закон Донецкой Народной Республики «Об образовании» (Постановление № I -233П-НС).

2. Временное положение о проведении аттестации педработников организаций осуществляющих образовательную деятельность, утвержденное приказом МОН ДНР № 330 от 20.07.2015.

3. Приказ МОН ДНР № 249 от 23.03.2016 «О внесении изменений во Временное положение о проведении аттестации педработников организаций осуществляющих образовательную деятельность».

4. Методические рекомендации МОН ДНР по аттестации педагогических работников организаций осуществляющих образовательную деятельность.

Основные источники:

  1. Геометрия 10-11.Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. М: Просвещение. 2008 год.

  2. Геометрия. Стереометрия. 10 – 11 классы, А.П.Киселев, Н.А. Рыбкин, Дрофа 1999г.

Дополнительные источники:

1. Поурочные разработки по геометрии. Дифференцированный подход.

10 класс. В.А. Яровенко. М: «ВАКО» 2015 год.

2. Инновационные педагогические технологии. Под ред. Е.В.Иванова,

Л.И.Косовой, Т.Ю.Аветовой –СПб.: ООО «Полиграф-С». 2004 год

Интернет-ресурсы:

1. http://nsportal.ru/

2. http://mathprofi.ru/formula_simpsona_metod_trapecij.html 

3. http://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/konspiekt-uroka-ispol-zovaniie-kieis-tiekhnologhii-na-urokakh-ghieomietrii


15

Приложение 1

1) Дать определение двум перпендикулярным прямым

2) Дать определение прямой, перпендикулярной плоскости

3) Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости

4) Верно ли утверждение: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к прямой, принадлежащей плоскости?

5) Верно ли утверждение: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости

6) Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника?

7) Могут ли быть перпендикулярны к плоскости две стороны треугольника одновременно?

8) Три луча ОМ, ОN, ОК попарно перпендикулярны. Как расположен луч ОК по отношению к плоскости, определенной остальными двумя лучами?

9) Закончите предложение: если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то…………………..

10) Две прямые, перпендикулярные одной плоскости ………………

11) Что можно сказать о трех прямых, перпендикулярных одной плоскости?

о четырех?

























Приложение 2



















Приложение 3

Бланк для тестов

Заполнить последнюю графу (ОТВЕТ), записывая только букву с правильным ответом. В 6 и 7 пункте задание представлено на Слайде


п/п


ВОПРОС

ВАРИАНТЫ

ОТВЕТа


ОТВЕТ


1


Как называется линия, пересекающая плоскость не перпендикуляно ей.

а) луч;

б) наклонная;

в) проекция;

г) расстояние.



2

Как называется линия, соединяющая основания перпендикуляра и наклонной?

а) отрезок;

б) угол;

в) проекция;

г) расстояние.



3

Расстояние от точки до прямой равно длине…

а) наклонной;

б) медианы;

в) проекции; г)перпендикуляра




4

Из двух наклонных, исходящих из одной точки, не лежащей на данной плоскости, больше та, у которой…

а)перпендикуляр

больше;

б) проекция меньше; в) проекция больше; г) перпендикуляр

меньше.



5

Точка А не лежит на плоскости . Сколько наклонных одной длины можно провести из этой точки к данной плоскости

а) одну;

б) две;

в) несколько;

г) бесконечное множество.



6

Задача 1 Слайд

а) да; б) нет.


7

Задача 2 Слайд

записать ответ




8

Точка А не лежит в плоскости, а точка Е - принадлежит этой плоскости. АЕ = 13, проекция этого отрезка на плоскость равна 5. Каково расстояние от точки А до данной плоскости?

а) 144;

б) 8;

в) 18;

г) 12.


18


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Методическая разработка открытого занятия

Автор: Лебединская Людмила Михайловна

Дата: 20.01.2021

Номер свидетельства: 570756

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(186) "Тепловые двигатели и охрана окружающей среды. (Методическая разработка открытого занятия  по физике) "
    ["seo_title"] => string(116) "tieplovyie-dvighatieli-i-okhrana-okruzhaiushchiei-sriedy-mietodichieskaia-razrabotka-otkrytogho-zaniatiia-po-fizikie"
    ["file_id"] => string(6) "181725"
    ["category_seo"] => string(6) "fizika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1425389834"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(135) "Методическая разработка открытого занятия на тему: «Натюрморт с цветами»"
    ["seo_title"] => string(72) "mietodichieskaiarazrabotkaotkrytoghozaniatiianatiemunatiurmortstsvietami"
    ["file_id"] => string(6) "312012"
    ["category_seo"] => string(3) "izo"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1459272842"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(271) "Методическая разработка открытого занятия по МДК 02.02. Теоретические основы и методика автоматизации почтово-кассовых операций (210801 Почтовая связь)"
    ["seo_title"] => string(150) "mietodichieskaiarazrabotkaotkrytoghozaniatiiapomdk0202tieorietichieskiieosnovyimietodikaavtomatizatsiipochtovokassovykhopieratsii210801pochtovaiasviaz"
    ["file_id"] => string(6) "321129"
    ["category_seo"] => string(7) "prochee"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1461228866"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(167) "Методическая разработка открытого занятия на тему "Выбор и планирование карьеры в бизнесе""
    ["seo_title"] => string(100) "mietodichieskaia_razrabotka_otkrytogho_zaniatiia_na_tiemu_vybor_i_planirovaniie_kar_iery_v_bizniesie"
    ["file_id"] => string(6) "342720"
    ["category_seo"] => string(7) "prochee"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1473268482"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(221) "Методическая разработка открытого занятия по теме «Технология работ по переработке вагонов на сортировочных станциях»"
    ["seo_title"] => string(80) "mietodichieskaia_razrabotka_otkrytogho_zaniatiia_po_tiemie_tiekhnologhiia_rabot_"
    ["file_id"] => string(6) "434346"
    ["category_seo"] => string(7) "prochee"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1508865732"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства