"Математиканы? даму тарихы" атты баяндама

Математика (грек.mathematike- білім, ғылым) - ақиқат  дүниенің  сандық  қатынастары  мен  кеңістік  формалары  жайлы  ғылым. Көрнекті  совет  математиктері А. Н. Колмогоров  пен  А. Д. Александров  ұсынған  жіктеу  бойынша  математиканың  даму  тарихы  шартты  түрде  төрт  кезеңге  бөлінеді. Бірінші  кезең- математиканың  білім- дағдыларының  қорлану, жинақталу дәуірі. Ол  ерте  кезден  басталып  б.з.б. 7-6  ғасырларына  дейін  созылды. Бұл дәуірде  математика  адамзат  практикасы  мен  тәжірибесіне  тікелей  тәуелді  болды, солардан  қорытылған  ережелер  жинағынан  тұрды. Екінші  кезең- математиканың  өз  алдына  дербес  теориялық  ғылым  болып  туу, қалыптасу  кезеңі. Мұнда  арифметика, геометрия, алгебра, тригонометрия  айрықша  теориялық  пән  болып  қалыптасты. Бұл кезең  тұрақты  шамалар  математикасының, кейде  элементар  математика  кезеңі  деп  аталады. Ол екі  мың  жылға  жуық  мерзімге  созылып, шамамен  17 ғасырда  аяқталады. Үшінші  кезең- айнымалы  шамалар  математикасы  немесе  жоғары  математиканың  туу, қалыптасу  кезеңі. Бұл  17 ғасырда  басталып, 19 ғасырдың  2-жартысына  дейін  созылды. Жиындар  теориясына  байланысты  анализдің, геометрияның  және  алгебраның  жаңа  сападағы  салалары  шыққаннан  кейін, математиканың  негізгі  мәселелерін  жалпы  қарастыру  кезеңін  төртінші  кезеңге  жатқызуға  болады. Ол- 19-20  ғасырларды  қамтитын  қазіргі  математика  кезеңі.
Математиканың  тууы. Математиканың  бастапқы  мағлұматтары  барлық  халықтарда  болған. Ғылымның  дамуына  әсіресе  Египетте (Мысыр), Вавилонда  жинақталған  мәдени  дәстүрлердің  ықпалы  үлкен  болды. Бұл  елдерде  б.з.б. 4-5 мың  жылдай  өзіндік  мәдениет  өркендеп, ғылыми  білім  қорланған. Календарь  жасау, құрылыс, жер  суару, жер  және  әр  түрлі  ыдыс  көлемін  өлшеу, теңізде  жүзу,  жан- жақты  байланыс  жасау  ісі  математикалық  білім- дағдылардың  дамуын  талап  етті,  оның  бастапқы  қарапайым  ережелері дәлелдеусіз  қалыптаса  бастады. Египетте  санды  иероглиф  арқылы  кескіндеу  пайда  болды, бүтін, бөлшек сандарға  арифметикалық  төрт  амал  қолдану  ережелері  мәлім  болды. Бір  белгісізі  бар  теңдеулер, сондай-ақ  қарапайым  арифметикалық  және  геометриялық  прогрессияларға келтірілетін  есептер  шығару  тәжірибесі  кездеседі. Египеттіктер  төртбұрыштың, трапецияның, үшбұрыштың  ауданын,  параллепипед  пен  табаны  квадрат  пирамиданың  көлемін  дәл  есептей  білген, дөңгелек  ауданын  жуықтап  тапқан. Вавилондықтар  санаудың  позициялық  алпыстық  жүйесін  қолданған. Олар  сандарды  көбейту, квадраттау, квадрат  және  куб  түбір  табу,  бөлу  таблицаларын  жасады; бірінші, екінші, аракідік  үшінші  дәрежелі  теңдеуге  келтірілетін  есептерді  шеше  білген. Вавилондықтардың  геометриялық  білім - дағдылары  египеттіктермен  деңгейлес. Алайда  олар  астрономиялық  өлшеулер(бұрыш  өлшеу  тәрізді) жүргізгендіктен  тригонометриялық  білімдерден  де  хабардар  болған. Пифагор  теоремасы  да  вавилондықтарға  белгілі  болған. Египет  пен  Вавилонда б.з.б. 3-5 мың ж. арифметикалық  амалдар  қолдану, аудан  мен  көлем  табу, таблицалар  жасау, біртектес  есептер  шығару  әдістерін  жасау  тәріздес  көптеген  математикалық  білім- дағдылардың жинақталғанын  көреміз. Бұл  мағлұматтар  мен  дәстүрлер  математиканың  өзінше  зерттеу  пәні,  әдістері  бар  дербес  ғылым  болып  бөлініп  шығуына  жағдай  жасады. Элементтар  математика  кезеңі. Ежелгі  Греция. Әр  түрлі  арифметикалық  әдістер  мен  аудан, көлем  табудың  тәсілдері  жөнінде  нақты  материалдар  жинақталғаннан  кейін  ғана(б.з.б.7 ғасырдан) математика  Ежелгі  Грецияда  дербес  ғылым  дәрежесіне  көтерілді. Грек  ғалымдарының ( Фалес, Пифагор, Детель, Гиппократ, Евдокс, Аристотель, Евклид, Архимед, Аполлоний т.б.) еңбектері  арқылы  математика  бірте-бірте  практикалық  мәселелерді  ғана  шешуге  бағытталған  жалаң  эмпирикалық  ғылымнан  өзінің  нәтижелерін  түпкі  қағидаларын (аксиомалардан)  логикалық  қорытынды  түрінде  шығаратын  дедукциялық  ғылымға  айналды. Бізге  жеткен  деректерге  қарағанда  геометриялық  шындықтарды  дәлелдеу  практикасын  Фалес  енгізген  болу  керек(б.з.б.7 ғасыр). Фалес  дәлелдепті  деп  саналатын  теоремалар: диаметр  дөңгелекті  қақ  бөледі; тең  бүйірлі  үшбұрыштың  табанындағы  бұрыштары  тең  болады; екі  түзу  қиылысқанда  тең  бұрыштар  пайда  болады; сәйкес  екі  бұрышы  және  қабырғасы  тең  екі  үшбұрыш  тең  болады. Бұл  теоремаларды  оның  қалай  дәлелдегені  нақты  дерек  жоқ. Грецияда  теориялық  математиканың  туып  өркендеуіне  шешуші  еңбек  сіңірген  екінші  бір  ғылыми-  философиялық  мектеп  атақты  Пифагор  мектебі  болды. Пифагор ғылымның  төрт  саласын( арифметика, музыка, геометрия, астрономия)  ажыратып, бұл  бағытта  терең  зерттеулер  жүргізген. Бұл  ғылым  тарауларын  гректер « математа»  деп  атаған, осыдан  « математика»  деген  термин  қалыптасқан. Рим  дәуірі. Б.з.б.3 ғасырдан  бастап  жеті  ғасыр  бойы  грек  ғылымының, әсіресе  математикалық  зертетулердің  орталығы  түрліше  мәдениеттің  тоғысқан  жері  Александрия  қаласы  болды. Александрия  дәуірінің  бірінші  ғасыры (б.з.б.3 ғасыр)   грек  математикасының «алтын  ғасыры»  болып  табылады. Евклид, Архимед, Эратосфен  және Аполлоний  Пергскийдің  математикадағы  жетістіктері  негізінен  осы  ғасырға  жатады. Александриялық  ұлы  математиктердің  алғашқы  қарлығашы  Евклид  болды. Ол  жай  сандар  қатарының  шексіз  болатынын  дәлелдеп, бөлінгіштік  теориясын  түбегейлі  түрде  жасап, сандар  теориясының  жүйелі  негізін  қалады. Аполлоний  Пергский  Евклид  геометриясын  толықтырып,  кейіннен  математиканың  дамуында  елеулі  роль  атқарған  конустық  қималар (парабола, эллипс, гипербола)  теориясын  жасады. Ежелгі  грек  математикасының  негізгі  кемшіліктерінің  бірі  қалыптасқан  иррационал  сан  ұғымының  болмауы  еді. Бұл  жағдай  арифметика  мен  геометрияны  алшақтатып  алгебралық  есептеулердің  шығуына  кедергі  жасады.  Алайда  кейінгі  ғасырларда  бұл  қарама- қарсылыққа  бұрынғыдай  мән  берілмей  алгебраның  бастамалары  бой  көрсете  бастады. Грек  ғалымы  Геронның  арифметикаға  сүйенген  есептеу  геометриясының  әдістерін  баяндауға  арналған  шығармасы - «Метрика»(1 ғасыр) - осының  айқын  мысалы.
Қытай  мен  Үндістан. Қытайдың  ертедегі  математикалық  жетістіктері б.з.б. 2-1 ғасырларда  жазылған  «Тоғыз  кітаптағы  математика»  атты  еңбекте  баяндалған. Оларда  есептеу  техникасы  мен  алгебралық  жалпы  әдістер  жақсы  дамыған; мысалы, бүтін  саннан  квадрат  және  куб  түбір  табу, жоғары  дәрежелі  теңдеулерді  жуықтап  шешу  әдістері, п  санының  мәнін  есептеу т.б.  Үнді  математикасының  өрлеген  кезі (5-12 ғасырлар)  Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара  есімдерімен  тығыз  байланысты. Үнділердің  математика  тарихында  екі  негізгі  жетістігі  бар: санаудың  ондық  позициялық  жүйесін ашуы, нөлді  енгізуі, тек  бөлшектерді  ғана  емес  иррационал, теріс  сандарды  қамтитын  алгебраны  жасауы. Олар  тригонометрияға  синус, косинус, синус - верзус  сызықтарын  енгізді.
Орта  Азия  және  Таяу  Шығыс. Гректердің  де,  Ежелгі  Шығыс  елдерінің  математикадағы  мұрагерлері 7-8  ғасырларда  араб  халифатына  біріктірілген  Орта  Азия  және  Таяу  Шығыс  елдерінен  шыққан  ғалымдар  болды, олар  еңбектерін  сол  кездегі  ғылыми  ортақ  тіл- араб  тілінде  жазған. 9 ғасырдың 1- жартысында  Орта  Азия  ғалымы  Мұхаммед  ибн   Мұса  әл-Хорезми  тұңғыш  рет  алгебраны  математиканың  негізгі  саласы  ретінде  баяндады. «Алгебра»  термині  әл-Хорезмидің  шығармасының  атынан  қалыптасқан (әл-жебр). Әбу  Наср  әл- Фараби  математиканы  ірі-ірі  7  тарауға  бөліп, бұл  пәннің  мазмұнын  анықтауға  тырысты; сан  ұғымын  нақты  сандарға  дейін  кеңейту  идеясын  ұсынып, осы  негізде  грек  ғылымы  аяқтай  алмай  кеткен (үлгермеген)  проблеманы  шешуге- бөлек- бөлек  жүрген  сандық  алгебраның  бастамаларын, астрономиядағы  тригонометрияны  және  ғылыми  тұрғыдан  негізделмеген  Геронның  есептеу  геометриясының  басын  біріктіруге  талпынды.
16 ғасырға  дейінгі  Батыс  Еуропа. 12-15 ғасырлар Бат. Европа  үшін  негізінен  ежелгі  гректер  мен  Шығыс  мұраларын  игеру  дәуірі  болды. Осы  негізде  Леонардо  Пизанский (Фибоначчи) кезінде  үлкен  беделге  ие  болған «Абақ  туралы  кітап» (1202)  пен  «Геометрия  практикасын» (1220) жарыққа  шығарды. Кітап  басу ісі  жолға  қойылғаннан  кейін  оқулықтар  кең  тарала  бастады, ғылыми  ойдың  орталықтары  университеттерге  шоғырланды. Иррационал  сандардың  табиғатын  тереңірек    зерттеу( өлшемсіз  шамалар  қатынасы), бөлшек, теріс  және  нөлдік  көрсеткіштерді  енгізу  арқылы  алгебра, тригонометрия  дамытылды, жеті  таңбалы  тригонометриялық  таблицалар  жасалды (Региомонтан). 15 ғасырда  математикалық  символика( таңбалау)  кемелдене  түсті ( франц. Математигі  Н. Шюке  т.б.) 16 ғасырдағы  Батыс  Европа. Бұл  ғасыр  Батыс  Европа  математикасы  ежелгі  дүние  мен  Шығыс  математикасын  басып  озған  бірінші  ғасыр  болды. Итальян  математиктері С.Ферро  мен  Н.Тарталья  мүмкін  емес  саналып  келген  үшінші  дәрежелі  теңдеудің, ал Л. Феррари  төртінші  дәрежелі  теңдеуді  шешудің  алгебралық  әдістерін  тапты. Дж. Кардано  үшінші  дәрежелі  теңдеудің  келтірілмейтін  жағдайын  зерттей  келіп,  комплекс  сандарын  ашты. Алгебраны  әрі  сандық  дамытуда  француз  математигі  Ф. Виет  көп  еңбек  етті. Ол п- дәрежелі  теңдеуді  олардың  берілген  түбірлері  арқылы  құру  әдісін  көрсетті (Виет  теоремасы). Виет п-дің  шексіз  көбейтінді  түріндегі  аналитикалық  өрнегін  алғаш  рет  тапты. 18 ғасырға  дейінгі  Россия. 9-13 ғасырларда  Россияда  математика  деңгейі  басқа  алдыңғы  қатарлы  Европа  елдерімен  шамалас  болды. Монғол  шабуылы  мәдениет  пен  ғылымның  дамуына  ұзақ  уақыт  кесірін  тигізді.15-16 ғасырларда  математикалық  қолжазбалар  көптеп  таралды. Бізге  белгілі  ең  көне  математикалық  шығарма-1136 жылы  Новгород  монахы  Кириктің  қолынан  шыққан  арифметика- хронологиялық  есептеуге  арналған  қолжазба  кітап.         6-17 ғасырлардағы  математикалық  қолжазбалардың  мазмұны  күрделірек  болып  келеді ( көбінесе  практикалық  есептер). 1703 жылы  орыс  математигі Л.Ф.Магницкий  өзінің  әйгілі « Арифметикасын»  бастырды. Айнымалы  шамалар  математикасы  кезеңі. 17 ғасыр. 17 ғасырдан  бастап  математиканың  дамуында  негізінен  өзгеше  кезең  басталды. Енді  математика зерттейтін  сандық  қатынастар  мен  кеңістік  формаларының  ауқымы  сандар, шамалар  және  геометриялық  фигуралармен  шектелмейді,алғы  шепке  функция  ұғымы  шығады,  өйткені  математикаға  қозғалыс,  өзгеріс  идеясы  ашық  енгізіледі.Математеканың  дамуындағы  бұл  кезең  17  ғасырдағы  математикалық жаратылыс  танудың  (ең  әуелі  механика,  оптика)  дамуына  тікелей байланысты туды,  жекелеген  табиғат  құбылыстарының  ағымын  жалпы,  математикалық  жолмен  тұжырымдалған  табиғат  заңдары түрінде  өрнектеу  қажет  болды.17 ғасырдағы  математикалық  жетістіктері  логарифмдердің  ашылуынан  басталды. 1637 жылы  Р. Декарт «Геометрия»  атты  еңбегін  жариялады. Ол  мұнда  сол  дәуірдегі  бүкіл  математикаға  дерлік  алгебраны  арқау  етіп  аналитикалық  геометрияны  жасады. Осының  арқасында  математикалық  анализдің  түрлі  салаларының- дифференциалдық  интегралдық, вариациялық  есептеулердің  тууын  дайындаған  жалпы  әдіс  жасады. Декарттың  бұл  әдісі  екі  идеяға- координаталар  мен  айнымалы  шамалар  идеясына  негізделді. Математикалық  анализдің  бастамаларын  жасауда П.Ферма, И. Кеплер, Б. Паскаль, ағылшын  математигі  Дж. Валлис т.б.  көп  еңбек  сіңірді. р (х)=0 теңдеуінің  түбірлерін y=p(х)  қисық  сызығы  мен  абцисса осінің  қиылысу  нүктелері  арқылы  кескіндеу  мүмкіндігіне тығыз  байланысты  алгебрада  кез  келген  дәрежелі  теңдеудің  нақты  түбірлерін  зерттеу  қолға  алынды (Р. Декарт, И. Ньютон, француз  математигі  М. Ролль). И. Ферманың  максимум  және  минимумдар, қисық  сызықтарға  жанама  жүргізу  жөніндегі  зерттеулерінде  дифференциалдық  және  интегралдық  есептеулердің  әдістері  кездеседі (бірақ  дараланып  бөлінбеген). Шексіз  аз  шамалар  анализінің  тағы  бір  көзі И. Кеплер (1615) мен  Б. Кавальери (1635) еңбектеріндегі  айналу  денелерінің  көлемін  және  басқа  есептерді  шешуге  қолданылған « бөлінбейтіндер  методы»  болып  табылады. 17 ғасырдың  аяғына  таман И. Ньютон  мен Г. Лейбниц  еңбектерінде  дәл  мағынасындағы  дифференциалдық  және  интегралдық  есептеулердің  негізі  қаланды. Олар  алғаш  рет  жаңа  есептеудің  негізгі  амалдары  дифференциалдау  мен  интегралдауды  жалпы  түрде  қарастырып, олардың  өзара  байланысын  тағайындады ( Ньютон- Лейбниц  формуласы). Алайда  Ньютон  мен  Лейбниц  бұл  мәселеге  қатысы  әр  түрлі  көзқараста  болды. Ньютон  үшін  бастапқы  ұғымдар- механикалық  есептерден  келген « флюента» (айнымалы  шама)  және  оның  « флюксиясы» (айнымалы  шаманың  өзгеру  жылдамдығы). Флюксияларды  және  флюенталар  бойынша  флюнсиялар  арасындағы  қатыстарды (дифференциалдау  және  дифференциалдық  теңдеулер  құру)  табуды  көздеген  тура  есепке  Ньютон флюнсиялар  арасындағы  қатыстар  бойынша  флюенталарды  табу  жайлы  кері  еспті, былайша  айтқанда  дифференциалдық  теңдеулерді  интегралдаудың  жалпы  есебін  қарсы  қойды. Лейбниц  болса  әсіресе  шекті  шамалар  алгебрасынан  шексіз  аз  шамалар  алгебрасына  көшуге  көп  көңіл  болды, ол  интегралды  ең  әуелі  саны  шексіз  көп  шексіз  аз  шамалардың  қосындысы  ретінде, ал  дифференциалдық  есептеулердің  негізгі  ұғымын  айнымалы  шамалардың  шексіз  өсімшесі  түрінде  қарастырды. Бұл  саладағы  идеяларды  Я. Бернулли, И. Бернулли, француз  математигі Г. Лопиталь  т.б.  одан  әрі  дамытты. Аналитикалық  геометриядан  басқа  алгебра  мен  анализге  тығыз  байланысты   дифференциалдық  геометрия  да  дамыды. 17 ғасырда  проективтік   геометрияның  да  негізгі  ұғымдары  қалыптаса  бастады. Бұл  ғасырдағы  математиканың  басқа  жетістіктерінің  қатарына  сандар  теориясы  жөніндегі  Б. Паскаль  мен  П. Ферма  зерттеулерін,  комбинаториканың  негізгі  ұғымдарының  жасалуын,  ықтималдықтар  теориясы  жайлы  алғашқы  жұмыстарды  атауға  болады.
18  ғасыр. Математиканың  айтылмыш  тараулары, әсіресе  математикалық  анализ  18 ғасырда  одан  әрі  дамыды. Бұл  салада  ұлы  математиктер  Л. Эйлер  мен Ж. Лагранж  ерекше  еңбек  сіңірді.  Осы  ғалымдар  мен  француз  математигі  А. Лежандр  еңбектерінде  сандар  теориясы  алғаш  рет  жүйелі  ғылым  санатына  қосылды. Алгебрада  швейцар  математигі  Г. Крамер (1750)  сызықтық  теңдеулер  жүйесін  шешу  үшін  анықтауыштарды  енгізді. Ағылшын  математигі  А. Муавр  мен  Л. Эйлердің  көрсеткіштік  және  тригонометриялық  функциялардың  байланысын  көрсететін  формулалары  комплекс  сандардың  математикадағы  қолдану  өрісін  кеңейте  түсті. И. Ньютон, шотланд  математигі  Дж. Стирлинг, Л. Эйлер  және  П. Лаплас  шектеулі  айырымдарды  есептеудің  негізін  қалады.      К. Гаусс  1799  жылы  алгебраның  негізгі  теоремасының  бірінші  дәлелін  жариялады. Математикалық  анализ  әсіресе  дифференциалдық  теңдеулер  әдістері  механика  мен  физиканың, сондай-ақ  техникалық  процестердің  заңдарын, математикалық  өрнектеудің  негізін  қалады; жаратылыс  тану  мен  техниканың  ілгерілеуі  осы  әдістерге  тікелей  байланысты  болды. Ағылшын  математигі  Б. Тейлор (1715)  кез  келген  функцияларды  дәрежелік  қатарға  жіктеу  жөніндегі  өзінің  формуласын  ашты. 18 ғасыр  математиктері  үшін  қатарлар   анализдің  ең  бір  қуатты, икемді  құралына  айналды. Л. Эйлер, Ж. Лагранж  бірінші  ретті, ал Л. Эйлер, Г. Монж, П. Лаплас  екінші  ретті  дербес  туындылы  дифференциалдық  теңдеулердің  жалпы  теориясының  негізін  қалады. Математикалық  анализдің  ықпалымен  аналитикалық  механика, математикалық  физика  т.б.  жаңа  салалар  қалыптаса  бастады; математикалық  анализдің  айрықша  бір  бұтағы- вариациялық  есептеу  қалыптасып, маңызды  қолданыс  тапты. Ағылшын  математигі  А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас  17-18 ғасырлардағы  жекелеген  нәтижелерге  сүйеніп  ықтималдықтар  теориясының  негізін  қалады. Геометрия  саласында  Л. Эйлер  элементар  аналитикалық  геометрия  жүйесін  жасауды  аяқтайды. Л. Эйлер, француз  математигі  А. Клеро, Г. Монж  еңбектерінде  кеңістіктегі  қисық  сызықтар  мен  беттердің  дифференциалдық  геометриясының  негізі  салынды. Неміс  ғалымы  Ламберт  перспектива  теориясын  дамытты, ал Г. Монж  сызба  геометрияны  аяқталған  түрге  келтірді.
Қазіргі  математика  дәуірі. 18  ғасырдың  аяғы  мен 19  ғасырдың  бас  кезінен  бастап  математиканың  дамуында  бірсыпыра  жаңа  белгілер  мен  сипаттар  орын  алды. Математиканы  негіздеудің  көптеген  мәселелеріне  сын  көзбен  қайта  қарау  әрекетіне  тоқтайық. Ол  ең  әуелі  математиканың  жаңа  тарауларын  қамтиды. Шексіз  аз  шамалар  жайлы  бұрынғы  анық  емес  бұлдыр  түсініктің  орнына  шек  ұғымын  дәл  анықтайтын  тұжырымдар  пайда  болды  (О. Коши, Б. Больцано, К. Вейерштрасс). Бұл  нақты  иррационал  сандар  теориясын  жасауды, функциялар  ұғымын  қайта  тексеруді т.б.  зерттеулерді  қажет етеді.  Математикалық  анализді  негіздеу  жөніндегі  зерттеулер  математиканың  жаңа  салалары- жиындар  теориясы ( неміс  математигі Г. Кантор)  мен  нақты  шамалар  функциялары  теориясының  шығуына  себепші  болды ( француз  математиктері  К. Жордан, Э. Борель т.б.). Функциялар  теориясының  тың  және  жемісті  бір  саласы  функциялардың  конструктивтік  теориясы  П. Л. Чебышев  пен  оның  шәкірттерінің  жұмыстарынан  басталды Осымен  қарбалас  геометрияның  да  негізгі  ұғымдары  жан- жақты  терең  сарапқа  салынды. Бұл  жөніндегі  аса  үлкен  оқиғалар  қатарына  бүкіл  математиканы  түсінуде  үлкен  бет  бұрыс  жасаған  евклидтік  емес  геометрия  туралы  Н. И. Лобачевский  мен  Я. Больяйдің  жұмыстары  жатады. Геометрия  негіздері  туралы  осыдан  кейінгі  зерттеулер  геометрия  аксиомаларының  толық  тізімін  жасауға  әкеп  тіреді ( Д. Гильберт), Б. Риман  кез  келген  элементтерден  тұратын  жаратылыстағы  объектілерді  қамтитын  кеңістіктің  жалпы  ұғымын  берді, мұндай  кеңістіктердің  қасиеттерін  зерттеуге 19 ғасырда  дамыған  дифференциалдық  геометрия  әдістерін  қолданудың  жолдарын  көрсетті. 20  ғасыр  дифференциалдық- геометриялық  көп  бейнеліктерді  тұтас  қарастыру  саласында  үлкен  жетістіктерге  қол  жетті. Фигуралар  мен  кеңістіктердің  жалпы  қасиеттерін  зерттеу  барысында  математиканың  жаңа  саласы- топология  пайда  болды ( Б. Риман, А. Пуанкаре). 19  ғасырда  алгебрадан  алгебралық  теңдеулерді  радикал  арқылы  шешу  мәселесі  айқындалды ( Н. Абель, Э. Галуа). Сонымен  қатар  алгебралық  амалдардың  жалпы  қасиеттері  мұқиет  зерттеле  бастады. Бұл  жағдайда  20 ғасырда  алгебраның  жаңа  бұтағы- абстрактілі  немесе  жалпы  алгебраның  жасалуына  әкеп  соқтырды. Осыған  байланысты  енгізілген  топ, сақина, өріс    ұғымдары  математика  мен  жаратылыс  танудың  әр  түрлі  салаларында  кеңінен  қолданыс  тапты. Алгебра  мен  геометрияның  шекарасында  норвег  математигі  С. Ли (1873  жылдан  бастап)  қазіргі  физикада  мәні  зор  үздіксіз  топтар  теориясын  жасады. 19 ғасырда  математикалық  анализдің  қолданылу  өрісі  едәуір  кеңейді.  Механика  мен  физиканың  жаңа  салаларының (үздіксіз  орта  механикасы,  баллистика, электродинамика, магнетизм  теориясы, термодинамика) негізгі  аппараты  ретінде  дифференциалдық  теңдеулер  теориясы  жедел  дамыды. 18  ғасырда  мұндай  түрдегі  кейбір  теңдеулер  ғана  шешілген  болса, жалпы  әдістер  тек  19  ғасырда  ғана  дамытылды, физика  мен  механиканың  есептеріне  байланысты  қазір  де  дамытылуда. Аспан  механикасының  есептерінде  дифференциалдық  теңдеулердің  сапалық  теориясы  қолданыс  тапты (А. Пуанкаре, А.М. Ляпунов). Дифференциалдық  теңдеулермен  қатар  интегралдық  теңдеулер  теориясы  да  дамытыла  бастады. Математикалық  анализ  бен  математикалық  физика  дамуының  геометрия  мен  алгебрадағы  жаңа  идеялармен  түйіндесуі  нәтижесінде  математика  мен  оның  қолдануында  ерекше  маңызды  қызмет  атқарып  отырған  математиканың  үлкен  бір  жаңа  саласы-  функционалдық  анализ  жасалды. Статистикалық  физика  мен  әр  түрлі  мәселелерді  зерттеуге  статистикалық  әдістерді  кең  қолдану  әрекеті  ықтималдықтар  теориясының  алдына  көптеген  жаңа  міндеттер  қойды. Осы  негізде  бұл  теория  19-20 ғасырларда  күшті  қарқынмен  дамытылды. 19-20  ғасырлар  бойы  математиканың  көне  салалары  да  жаңа  идеялармен, нәтижелермен  толығып, дамып  отырды. Мысалы, сандар  теориясына  математикалық  анализ  әдістерін  қолдану  бұрын  элементар  әдістер  арқылы  шешілмей  келе  жатқан  көптеген  мәселелерді  шешуге  мүмкіндік  берді (мысалы, Гольдбах  прблемасы). Теориялық  математиканың  зерттеулер  нәтижесін  практика  жүзінде  қолдану  шешілуге  тиісті  есепке ( мәселеге)  сан  түрінде  жауап  алуды  талап  етеді.  Осыған  байланысты  19-20  ғасырларда  математикадағы  сандық  әдістер  оның  дербес  бір  тармағына  айналды. Көп  еңбек   тілейтін  есептеуді  қажет  ететін  мәселелерді  шешуді  жеңілдету, жеделдету  ісі  әуелі  механика-математикалық  машиналар  мен  аспаптарды, ал  20  ғасырдың  40  жылдарынан  бастап  тез  әрекетті  электрондық  есептеуіш  машиналарды  талап  етті. 19-20  ғасырларда  дамытылған  математиканың  бір  тармағы  математикалық  логика  басқару  туралы  ғылым- кибернетикада  және  есептеу  техникасында  қолданыла  бастады. Есептеу  техникасының  кең  қолданылуына  байланысты  программалау  теориясы  пайда  болды. 19  ғасырдың  2- жартысынан  бастап  математика  тарихын  қарастыру  жедел  қолға  алынды. 20  ғасырдың  50  жылдарынан  бастап  математика  ғылымының  басқару  теориясы,  кибернетика, алгебралық  геометрия, информация  теориясы  т.б.  көптеген  жаңа  салалары  пайда  болды. Математиканың  осылай  қауырт  дамуына  жаратылыс  тану  ғылымдары  мен  техниканың  математика  алдына  қойып  отырған  талаптары  түрткі  болды. Мысалы, өндірістік  процесті  автоматтандыру  басқарудың  математикалық  теориясының тууына себепкер болды.

Ұлы математиктер

Математика (грек - білім, ғылым) - ақиқат дүниенің сандық қатынастары мен кеңістіктегі пішіндер жайлы ғылым. Математиканың даму тарихы  шартты түрде төрт кезеңге бөлінеді. Бірінші кезең математика, білім дағдылардың қолдану, жинақтау дәуірі. Ол ерте кезден басталып, б.з.б. 7 - 6 ғасырларына дейін созылады. Бұл дәуірде математика   адамзаттың өмір тәжірібисіне тікелей тәуеді болды, солардан қорытылған ережелер жинағынан құралды. Екінші кезең математиканың өз алдына дербес теория, ғылым болып тууы, қалыптасу кезеңі. Мұнда, көбінесе, сандар, скамярлық шамалар және қарапайым геометриялық фигуралар қарастырылды. Математика зерттейтін шамалар (ұзындық, аудан, көлем т.б.) тұрақты болып келді. Осы уақыттарда арефметика, геометрия, алгебра, тригонометрия және математикалық анализдің кейбір элементтері пайда болып, айрықша теория пән ретінде қалыптасты. Математика сауда саласында жер өлшеуде, астрономияда, архитектурада қолданыла бастады. Бұл кезең тұрақты шамалар математикасы, элементтер матиматикасы кезеңі деп те аталады. Ол екі мың жылға жуық мерзімге созылып, шамамен 17 ғасырда аяқталды. Үшінші кезең айнымалы шамалар математикасы немесе жоғарғы математиканың (математика, анализ, геометрия, т.б.) туу, қалыптасу кезеңі 17-18 ғасырдағы жаратылыстану мен техниканың жылдам дами бастауы математикаға қозғалыс пен тұрақсыздық идеяларын айнымалы шамалар және олрдың арасындағы функционалдық тәуелдік түрде енгізу қажеттілігін туғызды. Нәтижесінде математиканың аналитикалық геометрия, диференциалдық және интегрициалдық есептеулер, т.б. салалары пайда болып диференциалдық теңдеулер теориясы мен диференциялдық геометрия дами бастады. Бұл 17 ғасырда басталып, 19ғасырдың 2 жартысына дейін созылды. 19-20ғасырда кәдімгі шамалар мен қазіргі  алгебрада зерттелетін нысандардың  тек дербес ысалдары болып қалды. Геометрия Эвклид кеңістігі дербес  түрі болатын «кеңістіктерді» зерттеуге көшті. Н.И.Лобачевский ашқан Евклид емес геометрия жүйесі бұл бағыттағы алғашқы қадам болды. Нақты және жорымал санды функциалар, жиындар, ықтималдықтар  және топтар  теориялары, проективтік  және Евклидтік емес геометрия, математика, логика, векторлық анализ, функционалдық анализ, т.б. Математиканың жаңа салалары дами бастады. Бұл математиканың негізгі мәселелерін  жалпы қарастыру кезеңі, төртінші кезең қазіргі математика кезеңі. Есептердің жауаптарын сандық түріде беру үшін 19-20 ғасырда сандық әдістер негізінде математиканың жеке тарауы - есептеу математикасы пайда болды. Көптеген есептердің күрделі сандық шешімдерін ықшамдау және тездетіп шығару үшін  электрондық есептеу машиналары, компьютерлер жасалына бастады. Есептеу техникасының кең қолданылуына байланысты бағдарламалау теориясы пайда болды. 20 ғасырдың  50-жылдарынан бастап математика  ғылымының автоматтар және тиімді басқару  теориясы, ойындар теориясы, алгебра, геомертия, ақпараттар теорияс, математикалық экономика, т.б. көптеген жаңа салалары пайда болды.
Математиканың тууы. Математиканың туу, даму барысы ұзақ мерзімге  созылды. Арифметиканың өзі дербес ғылым ретінде бірітіндеп қалыптасқанымен, оның негізгі сан ұғымы өте ертеде, тарихқа дейінгі заманда,санау қажеттілігі туған кезде пайда болған. Геометрияның бастапқы  қарапайым ұғымдары  табиғатты бақылау, тікелей практикалық өлшеу тәжірибелерінен алынған. Математиканың бастапқы мағұлматтары  барлық халықтарда болған. Ғылымның дамуына, әіресе Египетте (Мысыр), Вавилонда жинақталған  мәдени дәстүрлердің ықпалы  үлкен болды. Бұл елдерде 5-4 мыңжылдықтарда өзіндік мәдениет өркендеп, ғылым білім жинақталған. Күнтізбе жасау құрылыс салу, жер суару, жер және  әр түрлі ыдыс көлемін өлшеу, теңізде жүзу, жан-жақты байланыс жасау ісі математикалық білім дағдылардың дамуын талап етті, оның бастапқы оның қарапайым  ережелері дәлелдеусіз  қалыптаса басталды. Египетте санды эроглиф арқылы кескіндеу пайда болды, бүтін бөлшек сандарға арифметикалық  4 амал қолдану ережелері мәлім болды. Бір белгісізі бар теңдеулер, сондай-ақ қарапайым арифметикалық және геометриялық прогрессиялпрға келтірілетін есептер шығару тәжірибесі кездеседі. Египеттіктер төртбұрыштың, трапецияның, ұшбұрыштың ауданын, параллелипедт пен табаны квадрат пирамиданаң дәл есептей білді, дөңгелек ауданын жуықтап тапты ( П=з немесе П≈3,14). Вавилондықтар сандарды көбейту, квадраттау, квадрат және куб, түбір табу, бөлу таблицаларын жасады; бірінші, екінші, үшінші дәрежелі теңдеуге келтірілетін есептер шеше білген. Олар астрономиялық өлшеулер жүргізігендіктен тригонометриялық білімдерден де хабардар болған. Пифагор теорнмасы да вавилондықтарға белгілі болған. Бұл мағлұматтар мен дәстүнрлер математиканың өзінше зерттелу пәні, әдістері бар ғылым болып бөлінінуіне жағдай жасайды. Математика ғылымын дамытуға орта ғасырда Орта Азия мен Қазақстан өңірінен шыққан ғалымдар үлкен үлес қосты. Хорезмед туып - өскен   Әбу Абдаллаһ әл- Хорезмше тұнғыш рет математиканың негізгі саласы алгебра ретінде баяндады. Отырарда туып-өскен оның серіктесі Ғаббас әл-Жауһари (ІХ-ғ) шығыста алғашқылардың бірі болып параллель түзулер теориясын зерттей бастады. Отырарда туған Әбу-Насыр әл-Фараби геометрия, тригонометрия, математиканың методологиясы т.б. салалар бойынша үлкен табыстарға жеткен. Бұлардың математика зерттеулері Әбу Райхан әл- Бируни, Омарп хаям, Әбу Жафар ат-Туси, Ұлықбке Жамал Түркіңстани, т.б. еңбектерінде дамытылды ХҮ ғ. ІІ-жартысынан бастап Орта Азия мен Қазақстанда бірспыра себептердің салдарынан мәдениет пен ғылымның дамуы мейлінше төмендеп, ғылыми зерттеулер тоқтап қалды. Рухани мектептері мен медресселерде практикалық арифметика геометрия бойынша ғана қарапайым мағлұматтар берілді. Математика қазақ жерінде тек Қазан төңкерісінен кейін жаңа қарқынмен дами бастады. ХХ ғ. 20-30 ж.ж. жаңа типтегі жалпы білім беретін мектептерде математика арнайы оқытылды. Бірнеше жоғарғы оқу ( КазПИ, ҚазМУ, ҚазПТИ), ХХ ғ. 30-40жж алғашқы қазақ математиктері кандидаттық диссертациялар қорғады. Ғылыми кадрлар дайындауда 1945 жылдан КСРО-ға Қазақ бөлімшесінің математика және механика секторы маңызды рөл атқарды. Математика саласында басты бағыт дифференц мен орнықтылық теориясы болды. Көрнекті Ресей математигі және механигі А.М.Ляпунов (1857-1918жж) жасаған орнықтылық теориясы Қазақстан математиктерінің зерттеу пәнінніне айналды. Есімі дүние жүзіне мәлім болып, ғылыми және мәдени мұралары ғасырлар бойы ардақталып, ұрпақтан-ұрпаққа өтіп келе жатқан ардагер азаматтар тарихта аса көп емес. Тарих жазбасында, халықтың рухани қазынасында айтулылардың айтулысы, жүйріктердің жүйрігі ғана мәңгі ұялап қоныс тебеді. Мың жылдан артық уақыт өтсе де, аты ауыздан-ауызға жатталып, еңбектері уақыттың, мезгілдің қатыгез сынынан мүдірмей өткен, сол адамзат ұлдарының, тарих перзенттері Аристотель, Әбунасыр Фараби, Ахмес, Пифагор, Евклид, Архимед, Эратосфен, Әл-Хорезми, Фибаначчи, Галилей.

Аристотель
Бұл кісінің есімі халық арасында бұрыннан-ақ белгілі. Абайдың «Ескендір» поэмасындағы қанқұйлы, дүлей күш Ескендірді тоқтатқан Аристотель асқар таудай ақыл иесі ретінде танылады. Шынында Аристотельдің барлық халықтар, барлық ұрпақтар тарапынан ерекше баға алып, қошеметке бөленуі тегін емес. Ол өз заманында адам баласына керек білімнің барлық салалары бойынша қалам тартып, керемет ғылыми тұжырымдар жасаған. Авторлардың біреуі Аристотель 400 кітап жазған десе, енді біреулері 1000 кітап жазған деседі. Аристотель шәкірттеріне бақ ішінде серуен құрып жүріп, сабақты әңгіме түрінде жүргізеді екен. Аристотельдің сабақтары таңертеңгілік және кешкілік болып екіге бөлінетін болған. Таңертеңгі ігңмелерге Аристотель тек дараны мен дайындығы мол шәкірттерді ғана қатыстырып, оларға логиканы, филасофияның қиын мәселелерінен хабар беріп отырған. Ал кешкі әңгімелер көпшілік шәкірттерге арналып, мұнда шешендік өнері, саясат сияқты ұғымға жеңіл сауалдарға жауаптар берілген. Аристотельдің логикасы математиканың дамуына күшті ықпал жасады, ол геометрияда дедуктивтік логикалық әдістің қалыптасуына әкеледі. Қазіргі математикалық құрылыстың негізгі ірге тасы саналатын аксиома, анықталса, теорема, дәлелдеу делетіндер. Аристотельдің логикасы негізінде жасалған.

Әбунасыр Фараби
Ол Отырарда туған. Фараби түркі, араб, парсы, грек және басқа тілдерді жетік білген. Кейбір деректер бойынша тіпті ол 70 тіл білген деп те айтады. Фарабидің энциклопедиясында математика ғылымдарына көп орын берілген. Ол математиканы үлкен-үлкен жеті тарауға бөлегн. Енді әрқайсысына жеке-жеке тоқталайық. Арифметика, яғни сан туралы ғылым. Математиканың бұл тарауы жөнінде Фараби былай дейді: «Арифметика екі ғылымды біріктіреді: біріншісі – практикалық арифметика; екіншісі – теориялық арифметика». Фараби, сөйтіп, арифметиканы практикалық және теориялық арифметика деп екіге бөлінеді. Ол, әсіресе, теориялық арифметикаға ерекше мән береді. Арифметиканың негізгі ұғымы сан. Фарабидің түсіндірілуі бойынша, сан объективті ақиқат нәрселердің сезіп-түйсінуге болатын, яғни «көзбен көріп, қолмен ұстауға» болатын жақтарын елеусіз қалдырып, тек саналуға, есептелуге тиісті қырларын бейнелейді. Бұл өте дұрыс материалистік түсінік. Фарабидің айтуынша теориялық арифметика үш тарауды қамтиды: 1) сандардың бір-біріне қатыссыз жеке-дара қасиеттерін қарастыратын тарау (жұп және тақ сандар, кемел, жазық, т.б. сандар теориясы); 2) сандардың бір-біріне қатысты қасиеттерін қарастыратын тарау (теңдігі, теңсіздігі, қатынасы, пропорция, өзара жай сандар, еселі сандар, т.б.); 3) сандарға амалдар қолдану. Геометрия ғылымның мазмұны мен пәнін ғылым төмендегіше тұжырымдайды: «Геометрия екі ғылымды біріктіреді: біріншісі – практикалық геометрия, екіншісі – теориялық геометрия». Практикалық геометрия сызықтар мен беттерді ағаш ұстасы, темірші, тас қалаушы, жер бетінде қарастырады. Теориялық геометрия сызықтары мен жазықтықтарды абсалют мағынада барлық денелерге ортақ мағынада қарастырылады. 

Ахмес
Шамамен б.д.д 1700ж
Әлемге әйгілі бірінші математиктің есімі – Ахмес. Б.э.д 1700ж оның математикалық есептегре құрылған еңбегі ұзындығы 6 метр (20 фунт) папирус орамасына жазылған. Солардың біреуі санды ұдайы екі еселеу арқылы көбейту тәсілін көрсетеді. Осы есеп бинарлық жүйеге із салады, соның арқасында бүгінгі сандық техналогияларға қол жетті. Ахмес тек осы қағаз ораманы көшіріп жазып алды, оның нағыз авторларының есімдері белгісіз. 


Пифагор
Б.э.д. 569 – 475ж
Грек ғалымы Пифагор матиматикаға негізделетін құпия ілімнің негізін қалады. Ол сандардың барлық нәрсе екенін және математиканың көмегімен кез келген құбылысты түсіндіруге болатынын дәлелдеген. Мысалы, ол музыкалық аспаптың табиғи көлемінің жартысына тең музыкалық ішек кесіндісінің бір октаваға жоғары дыбыс шығаруға мүмкіндік туғызатынын ашқан. Пифагор жердің шар тәріздес екенін бірінші ұққан және дұрыс ұшбұрыштардың әйгілі теоремасын дәлелдеген. Ол сондай-ақ нысанын өзгеруге сенген және тамаққа бұршақтарды салуға тыйым салған. Пифагор сандары – натурал сандар үштігі, бұл сандар ұшбұрыш қабырғаларының ұзындығына пропорционал (немесе тең) болса, онда ұшбұрыш тіктөртбұрышты болып табылады. Бұл үшін Пифагордың кері теоремасы бойынша ол сандардың x² + y² = z² түріндегі диофант теңдеуін қанағаттандыруы жеткілікті (мыс., x = 3, y = 4, z = 5) өзара жай Пифагор сандарының кез келген үштігі мына формулалар арқылы анықталады: x² = m² - n², y = 2mn, z = m² + n², мұндағы m және n – бүтін сандар (m n 0).

Евклид
Б.д.д. 325 – 265ж
Евклид ежелгі дәуірдегі грек математикгі. Ол математикадан жазылған теориялық алғашқы трактаттың авторы, Александрия қарамағындағы мектептің тұңғыш математигі. Оның өмірі жайлы деректер жоқтың қасы. Евклидтің басты еңбегі – «Негіздер». Онда планиметрияның, стреометрияның кейбір мәселелері талданған. Сөйтіп, ол өзінен бқрынғы грек математикасының одан әрі дамуының ірге тасын қалаған. Евклидтің «Негіздерден» басқа «Фигураны бөлу туралы», «Канустың қималары» деп аталатын еңбектері бар. Ол астраномиядан, музыкадан, т.б. салалардан да еңбектер жазған. Евклидтің бізге жеткен шығармалары мына басылымда жинақталған: «Eudidis Opera Menge». Онда грекше түр нұсқасы, латыннан аудармасы және кейінгі авторлардың түсініктемелері берілген. Евклид «Негіздерінің» математиканы дамытуда әсері орасан зор болады. Бұл еңбектен тәлім алмаған ірім-ұсақты математик жоқ деуге болады. «Негіздер» орыс тілінде тұңғыш рет 1739 жылы аударылып басталып шықты, ал ең кейінгі жаңартылған аудармасы 1948-1950 жылдары жарық көрді. Математиканы сүйетін әрбір талапкердің ғылымының классикалық бұл еңбегімен танысып аса пайдалы болар еді.

Архимед Б.д.д. 287 – 212 жж
Гидростатика принципін ашқан Архимед шомылып жатқан жерінен тыр жалаңаш атып шығып, сол күйінде: «Эврика»-деп айқайлап, көне аралап жүгірмемен белгілі. Аса көрнекті грек математигі болған ол П санының 3 ондық бегісін, сфера бетінің көлемі мен ауданын есептеп шығарып, қару ойлап тапқан, тұтқалар мен блоктардың принципін түсіндірген. Ол: «Маған ұзын тұтқа мен тіреу нүктесін беріңдерші, сонда мен Жерді орнынан жылжытамын»,-деген.

Эратосфен Б.д.д. 276 – 194 жж Грек ғалымы Эратосфен математикалық қатар астрономия, география, тарихты да жақсы білген. Ол жай сандарды табудың тәсілін ойлап тауып, сол кездегі белгілі әлем картасы мен аспан денелерінің картасын жасаған, сондай-ақ (високосный) жылды еңгізудің қажеттілігін негіздеген. Оның негізгі жетістігі – Жердің көлемін адамдар оның шар тәріздес екенін білгенге дейін есептеп шығаруы. Өз есептеулерінің негізінде ол картада белгіленбеген мұхиттың әлі де орасан үлкен кеңістіктері бар екенін болысады және оның айтқаны дұрыс келеді. 

Әл Хорезми 780 – 850 Араб математигі әл – Хорезми Бағдатта тұрды. Математика бойынша ол жазған екі кітап бүкіл әлемге араб цифрлары мен нөлдің тарауына септігін тигізді. «Арифметика» және «Алгоритм» терминдері сол жасаған сөздіктерден бізге келді, ал алгебра сөзі оның «Хибас әл – жабр уа-л мукабаля» кітабы тақырыбының бір бөлігі болып табылады.

Ал географ ретінде сол кездегі белгілі әлемнің толық картасын жасауға көмектесті.

Фибоначчи
1170 – 1250 жж Леонардо Пизанский өзінің Фибоначчи есімімен көбірек танымал. Иналияндық саяхатшы – саудагердің ұлы болған ол өзінің өмірінің көп жылдарын Алжирде өткізді, арабтар оны араб сандарын пайдалануға үйретті. Осы сандарды оңай қосуға болатынына таңданған Фибоначчи көп ұзамай осы амалдар туралы кітап жазады, соның нәтижесінде бұларды Италияда да пайдалана бастайды. Ол сондай-ақ Фибоначчидің сандық тізбегін ойлап тапты, тізбек табиғатпен және алтынның ара салмағыменбайланысты.

Г.Галилей 
1564 – 1642 жж Галилей Галелео (15.2.1564, Италия, Пиза - 8.1.1642, Флоренция маңындағы Арчетри қ) – италиялық физик, механик, астраном, табиған тану ғылымдарының негізін салушы. Кедейленген ақсүйек отбасында туған. Әкесі Винисицо белгілі музыкант болған. Галилейдің үлкен оқымысты болуына әкесінің ықпалы тиген. 11 жасына дейін Пиза қаласында тұрып, кейін отбасы Флоренцияға көшеді. 1581 жылы Пиза университетіне түсіп, медицинаны оқып үйренеді. Мұнда ол Аристотель, Евклид, Архимед еңбектерімен танысады. Сөйтіп, геометрия мен механикаға әуестенген Галилео медицинаны тастайды. Кейін Флоренцияға қайта оралып, төрт жыл бойы математиканы зерттейді. 1589 жылы Пизада математика кфедрасын қабылдап алып, ғылыми жұмысы одан әрі жалғастырылады. Аристотельге қарсы «Қозғалыс туралы сұхбат» деген еңбек жазады. 1592 жылы Падуяда математика кафедрасын басқарады. Бұл кезең (1592 – 1610 жж). Галилейдің шығармаларының кемеліне келген шағы болатын.  

Птолемей
Клавдий Птолемейдің өмір жолы туралы мағұлмат жоқтың қасы, тек қана біздің заманымыздың 120 жылынан бастап Александрияда өмір сүргені белгілі. Ол өзінің жетістіктері негізінде арабтар «Алмагест» деп атап кеткен. Үлкен еңбектің авторы «Алмагест» арабша «алмаджести», яғни «аса ұлы» шығарма дегенді білдіреді. Птолемейдің бірінші кітабында гректердің триогеометриясы жүйелі түрде баяндалған. Мұнда 0º бастап 180º дейінгі хордалардың таблицалары келтірілген. Тарихи жазбалар бойынша хордалар таблицасын алғаш жасаушы ретінде б.з.д. 2 ғасырда өмір сүрген астраном математик Гипарх екен. Бірақ ол таблицалар бізге жеткен жоқ. Грек математиктерінде бұл кезде синус, косинус және тангенс сызықтары болмаған. Бұлардың радиусы тұрақты дөңгелектің центрлік бұрыштарына сәйкес келетін хордалардың ұзындығын есептейді. Птолемей дөңгелек шеңбердің 360º, ал оның диаметрін 120 бөлікке бөледі, сөйтіп, хорданың ұзындығын дөңгелектің радиусы (орнықты) арқылы өрнектейді. Басқа бұрыштарға қандай хордалар сәйкес келетінін анықтауға Птолемей шеңберді іштей сызылған төртбұрыш дөңгелекке іштей сызылса, онда оның диогональдарының көбейтіндісі қарама – қарсы қабырғалардың көбейтінділерінің қосындысына тең болады. Бұл теорема қазір Птолемейдің есімімен аталып жүр.
Қортындылай келгенде ұлы математиктер математиканы дамытуда адамзатты ғажайып жаңалықтармен әлі талай қуантады. 
Ғылым тарихына көз салғанда адамзаттың асыл перезенттері ашқан ұлы жаңалықтарға тоқталмай өте алмаймыз, өйткені басқалар мен салыстырғанда бұлардың ойлары орасан зор. Таланттары ерекше биік тұрады. Бұлардың ғылыми идеялары болашаққа өзінің нұрын шашады.

Орта Азия математиктері

Әл-Хорезми

Әбу Абдолла Мухаммед ибн Мұса әл-Хорезми әл-Мәжухи 787 жылы шамасында Хиуада туып, 850 жылы шамасында Бағдатта қайтыс болған.

Әл-Хорезми Орта Азияның ұлы математигі, әрі астрономы, жиырма жасында ғылым қуып Бағдатқа келіп, сол жерде өмірінің көп уақытын сол жерде өткізген. Бағдатта өздігінен грек тілін үйренеді, сол жердегі кітапханадан грек пен үндінің ғылыми мұраларын меңгереді. Сол заманда Бағдаттағы кітапханалармен обсерваторияларды басқару ісін өзі қолына алған. Обсерваторияда аспан денелерін зеріттеп, зеріттеулер нәтижесінде әйгілі «Астономиялық кестелер» атты еңбегін жариялады. Осы еңбегінде аспан денелерін бақылау нәтижелерімен қатар тригонометриялық функциялардың кестелері, шеңбердің қасиеттері, шеңбер доғасының бөліктерінің қасиеттерімен қатар градус, минут, секунд ұғымдарының анықтамалары да бар еді, оның «Жер түрлері жайындағы кітабы» араб тілінде жазылған, онда сол заманда белгілі елді мекендер мен мемлекеттер, таулар мен теңіздер мен көлдер және олардың табиғи сипаттары суреттелген.

Хорезмидің атын әлемге әйгілеген еңбегі екі кітап болып шыққан математикалық еңбегі: «Үнді есебі бойынша қосу мен азайту» («Kитaб aл-жaм 'а бил хисаб aл-Хинди») мен «Әл-Жебр мен әл-Мұқабала есебі жөніндегі кысқаша кітап» («Aл-Maкaлa фи хисаб aл-жaбр вa aл-Mұқaбалa»). 12-ші ғасырда латын тіліне аударылған, ол кітаптың ұқсамайтын екі түрлі аудармасы XVI-шы ғасырға дейін сақталған). Біріншісінде арифметика, екіншісінде алгебра баяндалған. Бұл кітап математика тарихындағы алгебраға арналған тұңғыш шығарма, сондықтан да әл-Хорезмиді кейде «Алгебраның атасы» деп те атайды.

Кітап үш тараудан тұрады, бірінші тарау «Теңдеуді шешу жолдары» деп аталады. Онда алты түрлі теңдеу қарастырылған, соның ішінде бірінші және екінші дәрежелі теңдеулердің шешу жолдарымен олардың қолданулары көрсетілген, ондағы формула математиклаық өрнек түрінде емес, сөз жүзінде баяндалған. Ең алғашқы болып екінші дәрежелі теңдеулерді төмендегі түрге бөлген еді:

әрі оны геометриялық жолмен шешеді. «әлховарезм» деген сөз кейіннен алгоритм деген сөзге айналып кеткен, яғни қазргі қолданыстағы математиканың бір ережесі алгоритм термині де осы әл-Хорезмидің атымен аталады. Оның бұдан басқа еңбектерінен «Тарих кітабы» ("Kитaб aт-Тaрих"), «Жер бейнесі туралы кітап», «Астролябияның құрылысы туралы кітап»;

1. «Астролябияның көмегімен жасалатын нәрселер туралы кітап»;

2. «Күн сағаты туралы кітап»;

3. «Еврейлердің заманын анықтау және олардың мейрамдары туралы кітап»

Насыр ад-Дин ат-Туси

Толық аты: Мұхаммед ибн Мұхаммед ибн ал-Хасан ат-Туси. Оның аты тарихта бірнеше атпен сақталған, мысалға Хожауи Туси, не Қожа Насыр. 1201 жылы 18 ақпанда қазіргі Иранның Хорасанынна қарайтын Тус қаласында дүниеге келген, Ол тулған кез Монгол империясының бар әлемді жаулап жатқан кезіне тура келеді, ол кезде империяның құрамына Қытайдан бастап шығыс Еуропаға дейінгі елді мекеннің бәрі қарап болған кез еді, Монғол империясы қол астына қараған жердегі мәдени ошақтармен ғылым ордаларының біразын қиратты, әсіресе, сол кездегі ислам әлемінің ғылым ордалары көп зардап шекті.

Ат-Тусидың әкесі сол жердегі он екінші медресенің заң жөніндегі кеңесшісі болған, он екінші медіресе сол кездегі шиит мұсылмандарының діни оқуы мен уағыздарын жүргізетін маңызды орын болған, Туси осы жерде діни сауатын ашады, сонымен бірге өзінің нағашы ағасынан көптеген жаратылыстану саласының сабақтарын үйренеді, Бұлардың ішінде логика, физика, метафизика және математика бар, ерекше ден қойып үйренгені алгебра мен геометрия болды.

1214 жылы Шыңғысхан соғыс бағытын Қытай мен шығыс Еуропаны жаулауға жұмсады да, осы кезде ислам әлемінде біраз кеңшілік болды, осыны жақсы пайдалаған Туси 13 жасында, Тус қаласынан 75 км қашықтықтағы Нишапурға барады, Нишапур білім қуған жасқа шөлін басар бұлақ іспетті болды, қалада көптеген оқымыстылармен қатар көптеген материялдар, математикалық трактаттар молынан табылатын, осы жерден ол медицина, философия және математиканы беріле оқиды. Шығыстың атақты ғұламалары әл-Фараби, әл-Бируни, әл-Хорезми, Омар Хайямның және басқа да даналардың шығармаларынан сусындайды.

Оған математиканы Камал ад-Дин ибн Жүніс (атақты математик Шараф ад-Дин ат-Тусидің оқушысы) үйретеді.

Кейіннен 1256 жылдары ол Аламут қаласына келіп, сол жерде ғылыммен және орда жұмысымен айналысады.

Ол біраз шығарма жазған, бірақ, өмірінің көп бөлігін көшіп-қонумен өткізген ғұламаның бізге жеткен шығармасы аз, ең алғашқы трактаты 1232 жылы жазылған «Ахлақ-и насири» (Akhlaq-i nasiri), бұл трактатта математика, философия, логика мәселерімен қатар астрономия мәселелері де қаралған. Ғұлама 1274 жылы 26 маусымда Бағдатка жақын жердегі Кадхимаин деген жерде қайтыс болған.

Шамс ад-Дин ибн Ашраф Ас-Самарқанди

Шамамен 1250 жылы Самарқандта (Өзбекстан) туған, 1310 жылдары шамасында қайтыс болған. Толық аты жөні: Шамс ад-Дин Мұхаммед ибн Ашраф ал-Хусаини ас-Самарқанди

Оның нақты қай жылы туып нақты қай жерде қайтыс болғаны туралы толық мәліметтер жоқ, тек бізге мәлімі 1276 жылы «Рисала фи адаб ал-Бағс» деген еңбегін жазып бітіргені ғана белгілі, оның бұл еңбегі механика, логика, философия, математика, және астрономия саласын қамтыған сонымен бірге өз заманында бірге жасаған ғұламалар туралы үлкен еңбек еді, еңбек көне грек оқымыстыларының еңбектері секілді түгелдей диалог ретінде құрылған. Ол және де 1266-77 жылдары аралығындағы аспан денелерін зерттеуі туралы мәліметтерге толы «Астрономияға түсінік» атты еңбегі бар. Математикаға келер болсақ, оның бізге жеткені 20 беттен ғана тұратын Евклидтің 35 теоремасын түсіндірген кітабы ғана бар, бірақ, оның бұл еңбегі өз заманындағы Евклидтің еңбегін жан жақты зерттеген ең мықты еңбек болған. Абу ал-Қужанди. Толық аты Абу Махмуд Хамид ибн ал-Қидар ал-Қужанди. Шамамен 940 жылы қазіргі Хужанд (Тәжікстан) қаласында дүниеге келген. Қужанди туралы біздің білетініміз өте аз, ол туралы тек ат-Тусидің еңбектерінен ғана мәліметтер алуға болады, ат-Тусидің жазбаларында, оны Сырдария бойындағы Хужанд қаласынан келгендігі, ал оның әкесінің моңғолдардың бір тайпасының басшысы екені айтылады, осы айтылғандарға қарап, және оның Сыр бойынан кеткендігін ескерсек, оның біздің Қазақстан жерінен барған деуге де болады, ал шетел басылымдарында оны тәжікстандық деп жазады.

Ол жастайынан ғылымға құштар болған, оның ғылым жолына Буид ру басыларының көп көмегі тиген. Буид руы сол жердегі билік басына 945 жылы Ахмад ад-Дауланың Бағдатты өзіне қаратқан соң келген. Ал осы Ахмад ад-Дауланың билігі Буид руымен тығыз байланыста болған, сол себептен. Қужанди 976-997 жылдар аралығында Ахмад ад-Даулахтың сарайында ғылыммен айналысқан. Ахмад ад-Даула оны сол жердегі ең үлкен обсерваторияның басқару жұмсын беріп оған астрономиялық бақылау жүргізуіне көптеген қолайлы жағдай жасап отырған. Осы жерде ол күн траекториясын бақылауға алады, әрі бір жылдық бақылау нәтижесінде жердің өз өсінен ауытқу бұрышының 23 32' 19"болатынын есептейді. Көптеген астрономиялық бақылаулар мен зерттеулер де жасайды, астрономиялық бақлауларға керек деген ниетпен геометриялық трактаттар жазады. Оның басты еңбектерінің барлығы астрономияға арналған, ал сонымен қатар аздаған математикалық жұмыстарды жазғанын ат-Тусидің жазбаларынан біле аламыз. Aбу Жафар Мұхаммед ибн aл-Хасан Aл-Қaзиннің сандар теориясына қатысты кітабында мынадай сөз бар «... менен бұрын жасаған.... ғалым Aбу Мұхаммед ал Қужанди екі санның кубтарының қосындысы бір санның кубы болмайтынын көрсеткен, бірақ дәлелі қате...» (бұл атақты Ферманың ұлы теоремасы) міне осы сөзден де ал-Қужандидің сандар теориясымен де айналысқанын көреміз.

Өкініштісі ғұламаның толық еңбегі мен өмірбаяны туралы ақпараттар өте аз болғандықан оның басқа да қандай еңбектерінің барлығы бізге белгісіз. Бір елдің ең үлкен обсерваториясын басқарған ғұламаның басқа да еңбектері болуы бек мүмкін.

Әл-Қужанди шамамен 1000 жылы қайтыс болған, қайтыс болған жері белгісіз