Ма?саты: о?ушыны? п?нге деген ?ызы?ушылы?ыны? артуына, оны? бойында?ы бейімділікті? дамуына ы?пал ету.
№1 ?ш адам А, В, С жарысты. С- стартта со??ы, ал В екінші шы?ты. Жарыс барысында С бас?алармен алты рет орын ауыстырды, ал А-бес рет. В м?реге А-дан б?рын келді.Жарысушыларды? м?реге ?андай ретпен жеткенін аны?та?дар.
Шешімі:
В ал?ашында А-дан ?алып ?ойып, ал м?реге одан б?рын келгендіктен, оларды? ауысуыны? саны та?. Сонды?тан А мен С-ны? ауысуыны? саны ж?п, я?ни С ж?гіруші А-дан ?алып ?ой?ан.
АС=х, АВ=х-1, ВС=х+1
АД=у, СД=х-у болсын. Онда (х-1)2-у2=(х+1)2-(х-у)2
Х2-2ху=4x, х-2у=4
Ал СД-АД=x-2у=4
№2 10 адам бір-біріне ??тты?тау ?а?аздарын жіберген. ?р?айсысыны? жіберген ??тты?тау ?а?аздарыны? саны 5. Бір біріне ??тты?тау ?а?азын жіберген екі адамны? табылатынды?ын д?лелде?дер.
Шешімі:
Барлы?ы 50 ??тты?тау ?а?азы жіберілген.Я?ни, ал?ан ??тты?тау ?а?аздарыны? саны 5-тен аз болмайтын кем дегенде бір адам бар.Оны х дейік.?ал?ан 9 адамды екі жиын?а б?лейік.А-х-ті? ??тты?тау ?а?азын жібергендер (5-тен аз емес).В-х-ті? ??тты?та?ан адамдарды (5 адам).Б?л екі жиынны? міндетті т?рде бір орта? элементі бар.Ол у болсын.Сонда х пен у бір-біріне ??тты?тау ?а?азын жібергендер.
№3 Еш?андайда бірнешеуіні? ?осындысы санны? толы? квадраты болмайтын, 1000000 ?рт?рлі натурал сан бар ма ?
Шешімі:
106 орнына кез келген натурал К санын алу?а болады. Жай Р>(к*(к+1))/2 санын алып, х1=Р, х2=2Р, х3=3Р,.хк=КР сандарын ??райы?. Б?л сандарды? кез келген бірнешеуіні? ?осындысы Т*Р т?рінде болады, м?нда?ы 1≤ Т ≤ (к*(к+1))/2. Сонды?тан б?л ?осынды Р-?а б?лінеді, ал Р 2-?а б?лінбейтіндіктен, толы? квадрат бола алмайды.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Математикадан олимпиада есептері»
Мақсаты: оқушының пәнге деген қызығушылығының артуына, оның бойындағы бейімділіктің дамуына ықпал ету.
№1 Үш адам А, В, С жарысты. С- стартта соңғы , ал В екінші шықты. Жарыс барысында С басқалармен алты рет орын ауыстырды, ал А-бес рет. В мәреге А-дан бұрын келді.Жарысушылардың мәреге қандай ретпен жеткенін анықтаңдар.
Шешімі:
В алғашында А-дан қалып қойып , ал мәреге одан бұрын келгендіктен, олардың ауысуының саны тақ. Сондықтан А мен С-ның ауысуының саны жұп, яғни С жүгіруші А-дан қалып қойған.
АС=х, АВ=х-1, ВС=х+1
АД=у, СД=х-у болсын. Онда (х-1)2-у2=(х+1)2-(х-у)2
Х2-2ху=4x, х-2у=4
Ал СД-АД=x-2у=4
№2 10 адам бір-біріне құттықтау қағаздарын жіберген. Әрқайсысының жіберген құттықтау қағаздарының саны 5. Бір біріне құттықтау қағазын жіберген екі адамның табылатындығын дәлелдеңдер.
Шешімі:
Барлығы 50 құттықтау қағазы жіберілген.Яғни, алған құттықтау қағаздарының саны 5-тен аз болмайтын кем дегенде бір адам бар.Оны х дейік.Қалған 9 адамды екі жиынға бөлейік.А-х-тің құттықтау қағазын жібергендер (5-тен аз емес).В-х-тің құттықтаған адамдарды (5 адам).Бұл екі жиынның міндетті түрде бір ортақ элементі бар.Ол у болсын.Сонда х пен у бір-біріне құттықтау қағазын жібергендер.
№3 Ешқандайда бірнешеуінің қосындысы санның толық квадраты болмайтын , 1000000 әртүрлі натурал сан бар ма?
Шешімі:
106 орнына кез келген натурал К санын алуға болады. Жай Р(к*(к+1))/2 санын алып, х1=Р, х2=2Р, х3=3Р,...хк=КР сандарын құрайық. Бұл сандардың кез келген бірнешеуінің қосындысы Т*Р түрінде болады, мұндағы 1≤ Т ≤ (к*(к+1))/2. Сондықтан бұл қосынды Р-ға бөлінеді, ал Р 2-қа бөлінбейтіндіктен, толық квадрат бола алмайды.
№4 Өлшемдері бірдей 9 сары, 9 көк, 9 ақ барлығы 27 куб берілген. Оларды, әр бағандағы үш куб екі түсті болатындай етіп қалауға бола ма?
(Куб қырларына параллель болатын, барлығы 27 баған)
Шешімі:
Болады, мысалы , кубтарды екі қабат етіп
а
к
а
с
к
к
с
с
а
түрінде және бір қабат етіп,
с
а
с
с
а
а
с
а
с
түрінде қалауға болады.
№ 5 Теңдеуді шешіңіз
( х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х2
Шешуі:1-ші жақша мен 4-ші жақшасы, 2-ші жақша мен 3-ші жақшаны біріктіріп, жақшаларды ашамыз. Сонда
((х+2)(х+12))((х+3)(х+8))= 4х2
(х2+14х+24)(х2+11х+24)= 4х2
(х2+14х+24)((х2+14х+24)-3х= 4х2
Жаңа айнымалыны енгіземіз: (х2+14х+24)=t
t(t-3х)=4х2, t2-3хt-4х2=0 /х2-қа бөліп жібереміз де жаңа айнымалы енгіземіз
( t/x )2-3(t/x)-4=0 t/x=z
Z2-3z-4=0
D =25 z1=-1 z2=4 z –тің орнына қоямыз. Сонда t/x=4 t=4x Осы шыққан санды t-нің орнына қоямыз. Сонда
Х2+14х+24=4x Д=4 x1=-6 x2=-4
Жауабы : (-6;-4)
№6
Егер бүтін х,у сандары үшін х2+3ху+у2 өрнегінің мәні 25-ке бөлінетін болса, онда х пен у сандарының әрқайсысы 5-ке бөлінетінін дәлелдеңдер.
Дәлелдеу: Егер х2+3ху+у2=25k болса, онда (х-у)2+5ху=25k . Онда (х-у)2 саны 5-ке бөлінеді,яғни ол 25-ке бөлінеді. Онда ху саны 5-ке бөлінеді. Сонымен , екі санның айырымы да көбейтіндісі де 5-ке бөлініп тұр. Көбейтіндісі 5-ке бөлінгендіктен олардың біреуі 5-ке бөлінеді, ал айырымы 5-ке бөлінгендіктен олардын 5-ке бөлгендегі қалдықтары тең, яғни олардың екеуі де 5-ке бөлінеді.
№7
Кеше ойын алаңындағы ұл балалардың саны қыз балалардың санына қарағанда 1,5 есе көп болды. Бүгін ұл балалардың саны қыз балалардың санының квадраты болып тұр және кешегімен салыстырғанда, ұлдардың саны 6-ға , қыздардың саны 7-ге кеміген. Кеше ойын алаңында неше бала болды ?
Шешуі:
Алаңда х ұл , у қыз бала болсын. Онда
х = 1,5у
х-6=(у-7)2 болады.
Онда 1,5 у-6=(х-у)2 болып, осы өрнекті ықшамдағанда 2у2-31у+110=0 болады. Бұдан у=10, х=15 шығады.
