Математикадан кейбір олимпиада есептерінің шешілу жолдары (8-9 сынып)

Сандардың бөлінгіштігі

Сандардың бөлінгіштігіне қатысты есептер шығарғанда мына төмендегі қасиеттер және негізгі ұғымдар қолданылады.

Егер а – бүтін сан, b≠0 бүтін санға бөлінетін болса, онда а=bс теңдік орындалатындай с- бүтін саны табылады.

Егер а саны в санына бөлінсе (бөлінбесе), онда а b (а b) деп жазады.

Егер а n, b n, ондa (a ) n
Егер а n, b n, с n, онда ( a+b+…+c) n
Егер (a+b+c) n, а b, b n , онда c n
Егер а b, b c, ондa a c
Егер а n, b m ab nm
Егер а , b m, …,c k, онда a b … c m n … k
Егер а b, c є Z (c≠0, онда) ac bc
Егер а b, k є N, онда ak bk
Егер аn bm, онда а b
Егер a n, b є Z, онда ab n
Егер а b, a c, ЕҮОБ (b,c)=1, онда a bc
Егер ab c, ЕҮОБ (a,c)=1, онда b c
Егер a саны b санға бөлінбесе, онда a= bq+r, 0≤ r<b түрінде жазуға болады, мұндағы q- бөлінді, r- қалдық.

Сандардың бөлінгіштігіне берілген есептер

3-ке еселік емес санының квадраты мен 1-дің айырмасы 3-ке бөлінетінін дәлелдеңдер.

Дәлелденуі:

Кез келген 3-ке еселік емес санды екі өрнектің біреуі түрінде жазуға болады. a=3k+1, a=3k+2

Егер a=3k+1, онда

a2-1= (3k+1)2 – 1= 9k2+6k+1-1= 9k2+6k= 3(3k2+2k)

мұнда 3 3, онда 3(3k2+2k) 3

Олай болса 3-ке еселік емес санның квадраты мен 1-дің айырмасы 3-ке бөлінеді.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Математикадан кейбір олимпиада есептерінің шешілу жолдары (8-9 сынып)»

Математикадан кейбір олимпиада есептерінің шешілу жолдары

8-9 сынып

Мурадалиева Г.И.

№4 орта мектептің

математика пәнінің мұғалімі.

Дәулет ауылы - 2017ж.

Сандардың бөлінгіштігі

Егер а – бүтін сан, b≠0 бүтін санға бөлінетін болса, онда а=bс теңдік орындалатындай с- бүтін саны табылады.

Егер а саны в санына бөлінсе (бөлінбесе), онда а b (а b) деп жазады.

Егер а n, b n, ондa (a) n
Егер а n , b n, с n, онда ( a+b+…+c) n
Егер (a+b+c) n, а b, b n , онда c n
Егер а b, b c, ондa a c
Егер а n, b m ab nm
Егер а , b m, …,c k, онда a b … c m n … k
Егер а b, c є Z (c≠0, онда) ac bc
Егер а b, k є N, онда a^k b^k
Егер аn bm, онда а b
Егер a n, b є Z, онда ab n
Егер а b, a c, ЕҮОБ (b,c)=1, онда a bc
Егер ab c, ЕҮОБ (a,c)=1, онда b c
Егер a саны b санға бөлінбесе, онда a= bq+r, 0≤ r

Сандардың бөлінгіштігіне берілген есептер

3-ке еселік емес санының квадраты мен 1-дің айырмасы 3-ке бөлінетінін дәлелдеңдер.

Дәлелденуі:

Кез келген 3-ке еселік емес санды екі өрнектің біреуі түрінде жазуға болады. a=3k+1, a=3k+2

Егер a=3k+1, онда

a²-1= (3k+1)² – 1= 9k²+6k+1-1= 9k²+6k= 3(3k²+2k)

мұнда 3 3, онда 3(3k²+2k) 3

Олай болса 3-ке еселік емес санның квадраты мен 1-дің айырмасы 3-ке бөлінеді.

х-тың қандай бүтін мәндерінде (х² +2х) 3 ?

Шешуі: х=3k, 3k+1, 3k+2,

сондықтан x=3k болғанда, x²+2x = (3k)²+ 2 3k = 9k² +6k= 3(3k² +6k) 3

x= 3k+1 болғанда, x²+2x = (3k+1)²+ 2 (3k+1) = 9k² +6k+1+6k+2 =9k² +12k +3 = 3(3k² +4k+1) 3

x=3k+2 болғанда , x²+2x = (3k+2)²+ 2 (3k+2) = 9k² +12k+4+6k+4=(9k² +18k+8) 3, өйткені 8 3. Олай болса х=3k, 3k+1 болғанда (х² +2х) 3

Егер а-тақ сан болса, а²-1 өрнегінің 8-ге қалдықсыз бөлінетінін дәлелдендер.

Дәлелдеуі: а=2k+1,к є Z

a²-1= (2k+1)²-1= 4k²+4k+1-1= 4k²+4k= 4(k²+k) 4

Егер k – жұп сан болса, (k²+k) 2. Егер k – тақ сан болса, k² та тақ сан болады, ал екі тақ санның қосындысы жұп сан, яғни 2-ге қалдықсыз бөлінеді. Олай болса, 4(k²+k) (4·2)=8

Кез келген n – бүтін сан үшін n(n+1) саны 2-ге бөлінетіндігін дәлелдеңдер.

Дәлелденуі:

n- жұп сан болса, яғни n= 2k, онда n(n+1)= 2k (2k+1) 2

n – тақ болса, яғни n= 2k+1, онда n(n+1)= (2k+1) (2k+1+1)=(2k+1) (2k+2)=2(2k+1)(k+1) 2

3-ке бөлінбейтін х және у сандар үшін х⁶ – у⁶ айырмасы 9-ға бөлінетіндігін дәлелдеңдер.

Дәлелденуі:

Есептің шарты бойынша х=3k+1, 3k+2 , ал у=3р+1, 3р+2 болуы мүмкін.

х=3k+1, у=3р+1 болсын, онда

х⁶ – у⁶= (3k+1)⁶ – (3р+1)⁶ =((3k+1)³ – (3р+1)³)·((3k+1)³ + (3р+1)³)= (27k³+27k²+9k+1-27р³-27р²-9р-1)·((3k+1)³ + (3р+1)³)= 9(3k³+3k²+k-3р³-3р²-kр) · ((3k+1)³ + (3р+1)³) 9

Кез келген санның квадраты 3-ке не қалдықсыз бөлінетінін не 3-ке бөлгенде 1 қалдық қалатынын дәлелдеңдер.

х-тың қандай бүтін мәнінде

а) (х²+2) 3, б) (х²-1) ?

а-ның кезгелген 3-ке бөлінбейтін мәнінде а⁶-1 айырмасы 9-ға қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер.

Кез келген n-нің бүтін мәнінде n²+n саны жұп болатынын дәлелдеңдер.

Тақ санның квадратын 8-ге бөлгенде қандай қалдық қалады?

Шешуі:

а=2k+1, а²=(2k+1)²=4k²+4k+1 а²=8q+r r=?

4k²+4k+1 = 8q+r 4k²+4k+1-r= 8q

4k(k+1)+1-r= 8q 4k(k+1) 8, себебі 4 4 және k(k+1) 2

Олай болса (1- r) 8 және 0≤ rr=1

Егер m және n – тақ сандар болса, m² – n² санының 8-ге қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер.

а-ның тақ мәнінде а⁴+7(2а²+7) санының 64-ке бөлінетіндігін дәлелдеңдер.

х-тың қандай бүтін мәнінде

а) (а⁴+х(х+2а²)) 64, мұндағы а – тақ сан.;

б) (b⁴+х(х-2b²)) 64, мұндағы b – тақ сан?

Кез келген n-нің бүтін мәнінде n³ – n санының 6-ға бөлінетіндігін дәлелдеңдер.

Дәлелденуі:

n³ – n= n(n² -1)=( n-1) n (n+1), мұнда n-1, n, n+1 тізбектес орналасқан үш бүтін сан: n= 3k , 3k+1, 3k+2

n= 3k болсын, онда n³ – n= (3k -1) 3k (3k +1).

Егер k-жұп сан болса, онда 3k 6.

Егер k-тақ сан болса, онда 3k 3, (3k-1) 2, (3k+1) 2, олай болса (n³ – n) 6.

n= 3k+1 болсын, онда n³ – n= 3k (3k +1) (3k +2)

Егер k-жұп сан болса, онда 3k 6.

Егер k-тақ сан болса, онда 3k(3k+1) 6,

олай болса (n³ – n) 6.

n= 3k+2 болсын, онда n³ – n= (3k+1) (3k +2) (3k +3)

Егер k-жұп сан болса, онда (3k +2) (3k +3) 6.

Егер k-тақ сан болса, онда (3k+3) 6,

олай болса (n³ – n) 6.

Кез келген n–нің бүтін мәнінде n³+3n²+2n санының 6-ға бөлінетінін дәлелдеңдер.

Кез келген а- ның бүтін мәнінде

бүтін сан болатынын дәлелдеңдер.

Кез келген n–нің бүтін мәнінде n(n+1)(n+2)(n+3) санының 24-ке бөлінетіндігін дәлелдеңдер.

Егер үштаңбалы санның соңғы екі цифры бірдей болса және цифрларының қосындысы 7-ге бөлінсе, онда сол санның өзі де 7-ге бөлінетінін дәлелдеңдер.

Дәлелдеуі:

a+2b=7p болсын, a=7p-2b, онда 100a+11b= 100·(7p-2b) +11b=700p-200b+11b=700p- 189b= 700p+7·27b= 7(100p+27b) 7

Цифрлары бірдей үштаңбалы санның 37-ге қалдықсыз бөлінетіндігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеуі: 37, онда 37

Екітаңбалы сан және осы цифрлармен кері алынған екітаңбалы сан берілген. Осы екі санның қосындысының 11-ге және айырмасының 9-ға бөлінетіндігін дәлелдеңдер.

Теңдеулер

Егер теңдеулердің саны мен айнымалысының саны тең болса, онда теңдеулерді стандартты жағдайда қолданатын қосу тәсілі немесе алмастыру тәсілі бойынша шешіледі. Егер теңдеулердің санынан айнымалының саны артық болса, онда бұндай теңдеулерді Диофантты теңдеу деп атайды. Мұңдай жағдайда басқа тәсілдерді қолдану керек болады. Ол тәсілдердің ішіндегі негізгілерінің біреуі теңдеудің сол жағын көбейтінді түрінде жазу, ал оң жағын жай санға келтіру керек.

х+х у+у=4 теңдеуін шешіңдер.

Шешуі: Теңдеудің сол жағын көбейткішке келтірейік. х+ху+у=(1+у)(у+1)-1=(х+1)(у+1)-1 онда (х+1)(у+1)-1=4 (х+1)(у+1)=5

Екі санның көбейтіндісі 5-ке тең болса, олардың біреуі5-ке, ал екіншісі 1-ге тең немесе біреуі (-5)-ке, ал екіншісі (-1)-ге тең болады.

(4;0)

(0;4)

(-6 ;-2)

(-2;-6)

Теңдеудегі х-тің мәртебесімен у-тің мәртебесі бірдей болса, онда бұл айнымалыларды симметриялы айнымалылар деп атайды. Айнымалылар симметриялы болса, онда теңдеудің шешімдері де симметриялы болады.

2. ху+2=х+у теңдеуін шешіңдер.

3. ху=41(х+у) теңдеуін шешіңдер.

4. х³-у³=91 теңдеуінің бүтін түбірлерін табыңдар.

Шешуі: (х-у)(х²+ху+у²)=91

91-дің көбейткіштері:±1; ±7; ±13; ±91

1+2у+у²+у+у²+у²=91 3у²+3у-90=0

у²+у-30=0 у₁=-6, у₂ =5

х₁=-5, х₂ =-6 (-5;-6), (5;6)

1-2у+у²-у+у²+у²=-91 3у²-3у+92=0

у²-у+31=0 Д=1-4·1·31=-119

онда теңдеудің бұл жағдайда теңдеудің түбірлері жоқ.

8281+182у+у²+91у+у²+у²=1 3у²+273у+8280=0

у²+91у+2760=0 Д=8281-4·2760=-2759

онда теңдеудің бұл жағдайда теңдеудің түбірлері жоқ.

8281-182у+у²-91у+у²+у²=1 3у²-273у+8282=0

Д=273²-4·3·8282=-24855

онда теңдеудің бұл жағдайда теңдеудің түбірлері жоқ.

49+14у+у²+7у+у²+у²=13 3у²+21у+36=0

у²+7у+12=0 у₁=-4, у₂ =-3

х₁=3, х₂ =4 (3;-4), (4;-3)

49-14у+у²-7у+у²+у²=-13 3у²-21у+62=0

Д=441-4·3·62=-303

онда теңдеудің бұл жағдайда теңдеудің түбірлері жоқ.

169+26у+у²+13у+у²+у²=7 3у²+39у+162=0

у²+13у+54=0 Д=169-4·54=-47

онда теңдеудің бұл жағдайда теңдеудің түбірлері жоқ.

169-26у+у²-13у+у²+у²=-7 3у²-39у+176=0

Д=1521-4·3·176=-591

онда теңдеудің бұл жағдайда да теңдеудің түбірлері жоқ.

Жауабы: (-5;-6), (5;6), (3;-4), (4;-3)

5. х+у+ху=61 теңдеуін шешіңдер, мұндағы хє N, ує N.

6. х²-3ху+2у²=7 теңдеуін Z жиынында шешіңдер.

7. х²+5у²+4ху+2у+1=0 теңдеуін шешіңдер.

Шешуі: Теңдеуді түрлендіреміз: (х²+4у²+4ху)+(у²+2у+1)=0 ; (х+2у)²+(у+1)²=0;

у+1=0 ; у=-1; х+2у=0; х=-2·(-1)=2

Жауабы: (2;-1)

8. х+2ху+у=83 теңдеуін Z жиынында шешіңдер.

Шешуі: Теңдіктің екі жағын да 2-ге көбейтеміз. 2х+4ху+2у=166; 2х(1+2у)+(1+2у)=166+1

(2х+1)(2у+1)=167; 167-нің бөлгіштері: ±1; ±167

(83;0)

(-84;-1)

х және у симметриялы айнымалылар болғандықтан шешімдері де симметриялы болады.

Жауабы: (0;83), (83;0), (-1;-84), (-84;-1)

9. ху+3х-5у=-3 теңдеуін шешіңдер, мұндағы хє N, ує N.

10. х+у= теңдеуін шешіңдер.

11. Теңдеуді шешіңдер: 5х²+5у²+8ху+2х-2у+2=0

Шешуі: 4(х+у)²+(х+1)²+(у+1)²=0;

х+у=0 ; х+1=0 ; у-1 =0 х= -у; х=-1 ; у=1

Жауабы: (-1;1)

Теңдеулерді шешіңдер:

12. 5х²+2ху+2у²-2х-2у+1=0

13. х²-2х+у²-4у+5=0

14. 4х²-4х-4+у+5=0

15. ху-х+у=2006, мұндағы х≥0, у≥0, х,у є Z

Теңсіздіктерді дәлелдеу

Теңсіздіктерді дәлелдегенде негізінен мына қолданады:

а²≥0

Егер аb, bc, онда ac

Егер ab, cd, онда acbd

Егер ab, k є N, онда a^k b^k

Егер 0, онда

Егер a1, онда

Егер ab, c є R, онда a+cb+c

Егер ab, c0 , онда acbc

Егер ab, c, онда ac

Егер ab, онда

Көптеген шешкенде күрделі және олимпиадалық есептер европалық кітаптарда Коши теңсіздігі, ресей кітаптарында Коши-Буняковский теңсіздігі деп аталатын арифметикалық орта мен геометриялық орта арасындағы қатынасқа негізделген теңсіздіктің көмегімен дәлелденеді.

Теорема: Екі санның арифметикалық ортасы олардың геометриялық ортасынан кем емес.

, мұндағы а0, b0

Коши теңсіздігін екіден артық сандарға да қолдануға болады.

, мұндағы а0, b0, c0

немесе ,

мұндағы а₁0, a₂0, a₃0,…a_n0

Теңсіздікті дәлелдеңдер :

мұндағы а≥0, b≥0

Дәлелденуі: Теңсіздіктің екі жағы да ортақ бөлімге келтіреміз және сол жағынан оң жағын азайтамыз.

Себебі ≥0, ≥0 , ≥ 0

Олай болса

a⁴+b⁴≥ a³b+ab³ теңсіздігін шешіңдер.

Теңсіздікті дәлелдеңдер : (a+b)(b+c)(a+c)≥8abc, мұндағы а≥0, b≥0, c≥0

Дәлелденуі: (a+b)(b+c)(a+c)-8abc=a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+abc+abc-8abc= (a²b-2abc+ b²c)+( a²c-2abc+ bc²)+( ab²-2abc+ ac²)=

=b(a-c)²+c(a-b)²+a(b-c)²≥0

Себебі а≥0, b≥0, c≥0, (a-c)²≥0,(a-b)²≥0, (b-c)²≥0

Теңсіздікті дәлелдеңдер :

ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)≥6abc

ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)≥2(a³+ b³+ c³)

a³+ b³+ c³+3abc≥ ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c),

мұндағы а0, b0, c0

a+b+c≥

Дәлелденуі: Коши теңсіздігін пайдаланамыз. Алдымен теңсіздіктің сол жағын түрлендіреміз:

a+b+c=

+ мүшелеп қосамыз

_____________________________________________

Олай болса, a+b+c≥

a≥0, b≥0 үшін мына теңсіздіктің ақиқаттығын дәлелдеңдер.

Теңсіздікті дәлелдеңдер :

Дәлелденуі: Коши теңсіздігін пайдаланамыз.

a+b+

Теңсіздікті дәлелдеңдер :

Cалыстыру

Дәрежелерді салыстыру үшін негіздерін бірдей немесе көрсеткіштерін бірдей санға келтіру керек.

Салыстырңдар: 1000²⁰⁰⁶ * 2006¹⁰⁰

Шешуі: 1000²⁰⁰⁶1000²⁰⁰⁰=1000^2·1000=1000000¹⁰⁰⁰ 2006¹⁰⁰⁰, онда 1000²⁰⁰⁶ 2006¹⁰⁰⁰

5¹⁵* 3²³

Шешуі: 5¹⁵=5·5¹⁴ =5· 25⁷ 3²³ =3² ·3²¹=9 ·27⁷ , ал 25⁷ ⁷ , олай болса 5¹⁵²³

31¹¹* 17¹⁴

Шешуі: 31¹¹¹¹ = (2⁵)¹¹=2⁵⁵

17¹⁴ 16¹⁴ =(2⁴)¹⁴ = 2⁵⁶31¹¹⁵⁵ ⁵⁶ ¹⁴

Онда 31¹¹ ¹⁴

26¹⁹* 82¹⁵

3¹²⁰⁸* 2¹⁸²⁴

79²⁶ * 244²¹

627⁵* 23⁹

Бөлшектерді салыстырғанда:

Егер алымдары бірдей болса, қайсысының бөлімі үлкен болса, сол бөлшек кіші;

Егер бөлімдері бірдей болса, қайсысының алымы үлкен болса, сол бөлшек үлкен болады.

Мына сандардың қайсысы үлкен

?

Шешуі:

Екінші бөлшектің бһлімі үлкен болғандықтан бірінші бөлшек үлкен болады.

Дәлелдеңдер:

а) 2¹⁰⁰ 10³⁰

б) 2¹⁰⁰ ³¹

Салыстырыңдар:

100²⁰ * 9850¹⁰

2011²⁰⁰⁹ ·2009²⁰¹¹ * 2010^2·2010

80¹¹ * 28¹⁵

Математикадан кейбір олимпиада есептерінің шешілу жолдары (8-9 сынып)

Просмотр содержимого документа «Математикадан кейбір олимпиада есептерінің шешілу жолдары (8-9 сынып)»

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«Математикадан кейбір олимпиада есептерінің шешілу жолдары (8-9 сынып)»