«Математическое моделирование нестандартных задач” программа внеурочной деятельности

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Лазарево»

Программа внеурочной деятельности

«Математическое моделирование нестандартных задач”

для 5-6 классов

Учитель:

Журавлева Наталья Владимировна

с.Лазарево, 2019г

Пояснительная записка

Программа внеурочной деятельности «Математическое моделирование нестандартных задач”, предназначена для учащихся 5-6-х классов, проявляющих повышенный интерес к математике, которые участвуют в различных олимпиадах и конкурсах по математике.

Цель:

• ознакомление учащихся с составлением математической модели при решения нестандартных задач;

• развитие творческого мышления школьников, их способностей к плодотворной умственной деятельности;

• расширение и углубление знаний учащихся по математике.

Основными формами организации учебно-познавательной деятельности являются практикумы, математические соревнования.

Программа внеурочной деятельности составлена на два года и предполагает занятия с учащимися по 0,5 часов в неделю. Объем курса -35 часов. В данный курс учитель математики может вносить изменения и дополнения по своему усмотрению.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№ п/п	Темы	Объем часов
1	Задачи по арифметике	5
2	Принцип Дирихле	5
3	Комбинаторные задачи	5
4	Задачи на Круги Эйлера	5
5	Логические задачи	5
6	Натуральные числа	5
7	Дроби	5
8	Итого	35

Планируемые результаты

В результате изучения учащиеся должны знать:

• основные методы и приемы составления математической модели при решения нестандартных задач;

должны уметь:

• применять математическую модель при решении нестандартных задач.

СОДЕРЖАНИЕ

Тема 1. Задачи с использованием натуральных чисел

Тема 2. Принцип Дирихле

• понятие о принципе Дирихле

• решение простейших задач на принцип Дирихле

Тема 3. Комбинаторные задачи

• правило суммы и правило произведения

• комбинаторные задачи

Тема 4. Задачи на Круги Эйлера

• задачи с использованием Кругов Эйлера

Тема 5. Магический квадрат

• задачи на расстановку чисел

Тема 6. Логические задачи

• логические задачи и методы их решения.

Тема 7. Танграм

• задачи на составление фигур

Тема 1. Задачи с использованием натуральных чисел

Задача 1. Найдите следующие два числа:

а) 2,4,6,8,10… б) 23,20,17,14,11…

в) 5,10,15,20,25… в) 1,2,4,2,16…

Задача 2. Восстановите поврежденные записи арифметических действий:

а) б) в)

Задача 3. Расшифруйте «животноводческий» ребус (замените буквы цифрами так, чтобы пример был решен верно). Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры:

Б + БЕЕЕ = МУУУ.

Задача 4. Решите числовые ребусы:

а) + У Д А Р б) + О Д И Н в) + К О З А

У Д А Р О Д И Н К О З А

Д Р А К А М Н О Г О С Т А Д О

Задача 5. Сумма двух натуральных чисел равна 474. Одно из них оканчивается цифрой 1. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

Задача 5. Найдите наибольшее натуральное число:

а) все цифры которого различны;

б) все цифры которого различны и которое делится на 4.

Задача 6. Расставьте знаки арифметических действий и скобки так, чтобы получились верные равенства:

а) 4444 = 5: б) 4444 = 17; в) 4444 = 20;

г) 4444 = 32; д) 4444 = 64.

Задача 7. Расставьте в записи 4 · 12 + 18 : 6 + 3 скобки так, чтобы получилось число 50.

Задача 8. Решите ребусы:

а) ЧАЙ : АЙ = 5;

б) СОТНЯ + СОТНЯ + СОТНЯ = ТРИСТА

Задача 9. Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось 2011533. Как её зовут?

Тема 2. Принцип Дирихле

Задача 1 В классе 30 человек. Саша Иванов в диктанте сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну (работа может быть и безошибочной).

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Решение.

Предположим, что никакие 3 ученика не сделали одинаковое число ошибок, т.е. в каждую клетку от 0 до 12 попало меньше трех школьников. Тогда в классе не больше 2*13+1=27, а в классе 30 учеников. Значит, наше предположение неверно. Поэтому найдутся три ученика, сделавшие одинаковое число ошибок.

Задача 2. В Москве живет около 8,3 млн. человек на голове у каждого не более 100 000 волос. Докажите, что в Москве есть по крайней мере 80 человек с одинаковым числом волос на голове.

Решение.

Пусть в наших клетках – люди с одинаковым числом волос на голове: 0 волос, с 1 волосом, с двумя и т.д. до 100 000 волос. Всего у нас 100 001 клетка. И пусть в каждой клетке не более 80 человек. Тогда население Москвы не более 80*100 001= 8 000 080, а всего 8 300 000 человек. Значит, наше предположение неверно.

Задача 3. Пусть в классе 41 человек. Маша Петрова сделала больше всех ошибок – 13. Докажите, что найдутся четверо учащихся, сделавших одинаковое число ошибок. Безошибочных работ не было.

Решение.

Клетки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13- число ошибок.

Предположим, что только трое сделали одинаковое число ошибок. Тогда в классе не больше, чем 3*13=39 человек, а их 41. Значит, найдутся четверо, которые сделали одинаковое число ошибок.

Задача 4. В хвойном лесу 800 000 елей, и ни на одной из них не более 500 000 игл. Докажите, что по крайней мере у двух елей число игл одинаковое.

Решение

Пусть в одну клетку попали ели с одинаковым числом иголок 0; 1; 2; … 500 000. Если в каждой клетке по одной ели, то их 1*500 000=500 000, а в лесу – 800 000. Значит, хотя бы у двух елей число игл одинаковое.

Задача 5. В городе 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца культуры 400 мест. Докажите, что найдется школа, ученики которой не поместятся в этом зале.

Решение.

Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников. Значит, в 15 школах не более 15*400=6000 школьников. Но, по условию, в школах обучается 6015 человек. Значит, найдется школа, в которой больше 400 учеников. Поэтому ученики этой школы не поместятся в зале на 400 мест.

Задача 6. 20 учеников (больше половины из них – девочки) сидят за круглым столом. Докажите, что какие-то две девочки сидят напротив друг друга.

Решение.

Образуем 10 пар из учеников, сидящих напротив друг друга. Так как девочек больше половины, то есть больше 10, то найдется пара, состоящая из двух девочек.

Задача 7. 15 девочек собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то две из них собрали одинаковое количество орехов.

Решение.

Пусть все девочки собрали разное количество орехов: 1; 2; 3; …; 15. Тогда суммарное количество собранных орехов равно (1+ 15)/ 2*15= 120100. Значит, какие-то две девочки собрали одинаковое количество орехов.

Задача 8. На далекой планете, имеющей форму шара, суша занимает больше половины поверхности планеты. Докажите, что можно прорыть туннель, проходящий через центр планеты, который соединит сушу с сушей.

Решение.

Покрасим сушу на планете в зеленый цвет, а поверхность планеты, симметричную суше,- в синий. Так как суша занимает больше половины поверхности планеты, то найдется точка на планете, покрашенная в оба цвета. Через нее и надо рыть туннель.

Задача 9. В походе участвовало 25 человек, каждому из которых было от 24 до 30 полных лет (на данный день) Докажите, что найдутся четыре человека, родившихся в один год.

Решение.

Различных годов рождения может быть 7. Предположим, что каждый год родилось не более трех участников похода. Значит, за 7 лет могли родиться не более 3*7=21 участника. Но, по условию, в походе участвовало 25 человек. Получили противоречие. Значит, найдутся четыре участника похода, родившихся в один год.

Задача 10. На шахматной доске 8 * 8 отмечены центры всех полей. Можно ли 13 прямыми разбить доску на части так, чтобы в каждой части было не более одной отмеченной точки?

Решение.

Рассмотрим внешний ряд клеток доски (по периметру). Центры полей образуют квадрат 7 * 7, между ними 28 промежутков. Мы должны разбить доску так, чтобы все отмеченные точки попали в разные части. Значит, прямые должны пересекать все промежутки между клетками. Но прямая может пересечь стороны квадрата не более чем в двух точках (случай противоположных по диагонали вершин квадрата нужно исключить), значит, нужно не менее 14 прямых.

Задача 11. Внутри равностороннего треугольника со стороной 10 отмечено пять точек. Докажите, что найдутся две из них, расстояние между которыми будет не более 5.

Решение.

Разделим треугольник на 4 равных равносторонних треугольника. Длина их стороны равна 5, значит, расстояние между любыми двумя точками маленького треугольника не более 5. Точек 5, треугольников 4, значит, хотя бы 2 точки попадут в один треугольник. И расстояние между ними будет не более пяти.

Задача 12. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 метр друг от друга.

Решение.

Рассмотрим вершины равностороннего треугольника со стороной 1 метр. Если две точки разного цвета, то третья обязательно либо первого, либо второго цвета, значит, мы нашли две точки одного цвета.

Задача 13. В магазин привезли 25 ящиков конфет трех разных сортов (в каждом ящике – только один сорт). Докажите, что есть хотя бы 9 ящиков с одним и тем же сортом конфет.

Решение.

Если бы ящиков с конфетами каждого из трех сортов привезли не более 8, то всего привезли бы не более 24-х ящиков, что противоречит условию. Значит, найдутся 9 ящиков с одинаковым сортом конфет.

Задача 14. Какое максимальное количество ладей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение.

Каждая ладья бьет горизонталь и вертикаль, на пересечении которых стоит. Значит, на каждой горизонтали можно поставить не более одной ладьи, всего ладей будет не более восьми. Для 8 ладей можно придумать много вариантов расстановок, например, по диагонали.

Задача 15. На окно размером 40 см * 30 см село 25 мух. Докажите, что квадратной мухобойкой 11 см * 11 см можно прихлопнуть сразу трех мух.

Решение.

Разделим окно на 12 квадратов размером 10 см * 10 см. Если в каждом квадрате не более двух мух, то всего на окне не более 2 * 12 = 24 мух, а по условию мух 25, значит, в каком – то квадрате сидит хотя бы 3 мухи. Мухобойка закроет этот квадрат. Значит, такой мухобойкой можно прихлопнуть сразу трех мух.

Задача 16. В коробке лежат карандаши: 4 красных и 3 синих. В темноте берут карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее одного синего?

Ответ: 5 карандашей.

Задача 17. У мальчика 9 медных монет. Докажите, что у него есть хотя бы три монеты одинакового достоинства.

Решение.

Всего различных медных монет 4. Пусть мальчик имеет набор по 2 монеты каждого вида, всего будет 8 монет. Оставшаяся монета из 9 имеющихся, будет третьей монетой одного из видов. Значит, у мальчика есть хотя бы 3 монеты одинакового достоинства.

Задача 18. Какое наименьшее количество любых натуральных чисел следует взять, чтобы среди них всегда нашлась такая пара чисел, разность которых делилась бы на 5?

Решение.

Разобьем множество натуральных чисел на 5 классов: к первому классу отнесем все числа, которые при делении на 5 дают остаток, равный 0, ко второму классу – остаток, равный 1, к третьему классу – остаток, равный 2, к четвертому классу – остаток, равный 3, к пятому – остаток, равный 4. Очевидно, что разность двух чисел, принадлежащих разным классам, на 5 не делится. Если же взять шесть чисел, то среди них обязательно найдутся два числа, принадлежащие одному и тому же классу, и разность этих чисел делится на 5.

Итак, наименьшее количество натуральных чисел, которое следует взять, равно 6.

Задача 19. В классе 41 ученик написал по три контрольные работы. В результате учитель не поставил ни одной неудовлетворительной отметки, и каждый ученик получил все остальные отметки. Узнав об этом, один ученик заметил, что по крайней мере 7 человек получили одинаковые отметки по всем трем контрольным, а другой, подумав, сказал, что таких учеников с одинаковыми отметками, наверно будет 8. Кто из них прав?

Решение.

Разобьем класс на группы в соответствии со всевозможными наборами отметок: 3, 4, 5; 3, 5, 4; 4, 3, 5; 4, 5, 3; 5, 4,3; 5, 3, 4 (всего 6 групп). Если в каждой из этих групп не больше 6 человек, то всего в классе не больше 36 человек, что противоречит условию. Следовательно, по крайней мере в одной из этих групп не меньше 7 человек. Возможен, однако, и случай, когда в каждой группе не больше 7 человек (например, в одной группе 6, а в остальных – по 7 человек), и, следовательно, утверждение второго ученика может быть не верным.

Итак, прав только первый ученик.

Ответ: первый ученик

Задача 20. В школе 370 учеников. Найдутся ли в этой школе хотя бы два ученика, у которых день рождения приходится на одну и ту же дату календаря?

Ответ: да

Задача 21. У каждого из пяти мальчиков было не меньше одного шара, а всего у них было 7 шаров. Мог ли кто- либо из них иметь: а) 3 шара? б) 4 шара?

Ответ: а) да; б) нет

Тема 3. Комбинаторные задачи.

Задача 1. В вазе 6 апельсин, 5 груш и 4 персика. Сколько вариантов выбора одного плода?

Задача 2. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через город В, ведут из города А в город С?

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «скачок»?

Задача 4. В столовой есть 5 первых блюда и 8 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно составить?

Задача 5. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4 и 7 если цифры могут повторяться?

Задача 6. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры четные?

Задача 7. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки различные?

Задача 8. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и девяти?

Задача 9. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана станция.

Задача 10. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвертая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечетные?

Задача 11. В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать дежурного и заместителя дежурного?

Задача 12. Сколько комбинаций из четырех букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что две соседние буквы будут разными?

Задача 13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А ,В, С и D?

Задача 14. Сколько различных трехзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1,3,5,7,9?

Тема 4. Задачи на круги Эйлера

Задача 1. Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого языка, ни французского, 75 знали немецкий и 83 – французский. Сколько туристов знали французский и немецкий языки?

Задача 1. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро- фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом – фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру два. Так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового»круга ставим цифру 4 (6-2=4).

В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5-2=3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4+2+3=9 подруг.

Задача 2. В хоккейной команде «Зенит» 30 игроков, сред них 18 нападающих, 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть полузащитники и защитниками, 10 защитниками и нападающими, 6 нападающими и полузащитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Зенит» вратарей?

Решение:

18+11+17-3-10-6+1 = 28

игроков или

9+1+5+3+5+2+3=28

Но в команде всего 30 футболистов.

Значит, вратарей будет 30-28 = 2

Задача 3. Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого языка, ни французского, 75 знали немецкий и 83 – французский.

Сколько туристов знали французский и немецкий языки?

Задача 4. В нашем классе коллекционируют только марки, и монеты.

Марки коллекционируют 8 человек, монеты -5 человек, а всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки?

Задача 5. В классе 35 учеников. 20 из них занимается в математическом кружке, 11 – в биологическом, а 10 ничем не занимаются. Сколько ребят занимается и математикой, и биологией?

Задача 6. На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дома, а 25 ребят ходили в кино, 15 – в театр, 17 – в цирк. Кино и театр посетили 11 человек, кино и цирк – 10, театр и цирк – 4. Сколько ребят побывали и в кино, и в театре, и в цирке?

Задача 7. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28. Французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским – 10, немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3.

Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Задача 8. В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыке, 15- джаза и 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку. а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

Тема 5. Логические задачи

Задача 1. Ира, Даша, Коля и Митя собирали ягоды. Даша собрала ягод больше всех, Ира – не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали ягод больше чем мальчики?

Ответ: да.

Задача 2. Волк и Лиса соревновались в беге. Кто какое место занял, если известно, что Волк был одним из первых, а Лиса была предпоследней?

Ответ: Лиса – первая, Волк – второй.

Задача 3. Катя и Лена собирали грибы. Вместе они собрали на 18 грибов больше, чем Катя, и на 12 грибов больше, чем Лена. Сколько грибов собрала Катя и сколько грибов собрала Лена?

Ответ: Лена собрала 18 грибов, а Катя – 12 грибов.

Задача 4. В квартирах № 1, № 2, и № 3 жили три котенка: белый, черный и рыжий. В квартирах № 1 и № 2 жил не черный котенок. Белый жил не в квартире № 1. В какой квартире жил какой котенок?

Ответ: белый котенок живет в квартире № 2, черный котенок – в квартире № 3, рыжий котенок – в квартире № 1.

Задача 5. Команда провела три матча: один выиграла, один свела вничью, один проиграла, забив три меча и пропустив один. Как закончился (с каким счетом) каждый матч команды?

Ответ: 0 : 1, 0 : 0, 3 : 0.

Задача 6. Катя, Соня, Галя и Тамара родились 2 марта, 17 мая, 2 июля и 20 марта. Соня и Галя родились в одном месяце, а у Гали и Кати день рождения обозначается одинаковыми числами. Кто какого числа и в каком месяце родился?

Ответ: День рождения Кати – 2 июля, Гали 2 марта, Сони – 20 марта, а Тамары – 17 мая.

Задача 7. Три мальчика: Миша, Сережа и Гриша живут в одном подъезде на разных этажах: пятом, седьмом и восьмом. Миша живет не ниже Гриши, а Сережа не выше Гриши. Кто из мальчиков на каком этаже живет?

Ответ: Миша живет на 8 этаже, Гриша – на 7, а Сережа – на 5.

Задача 8. Встретились три товарища: Белов, Рыжов и Чернов. Чернов сказал, что ни у одного из них цвет волос не соответствует своей фамилии. «Правильно!», – ответил Белов. Какого цвета волосы у каждого из них?

Ответ: у Белова волосы рыжие, у Чернова белые, а у Рыжова черные.

Задача 9. В трех ящиках находится крупа, вермишель и сахар. На одном из них написано «Крупа», на другом «Вермишель», на третьем «Крупа или сахар». В каком ящике что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?

Ответ: в ящике с надписью «Крупа или сахар» находится вермишель, с надписью «Вермишель» – крупа, с надписью «Крупа» – сахар.

Задача 10. В четырех ящиках лежит по одному шарику: белый, черный, красный и зеленый. На первом ящике надпись «Белый», на втором «Зеленый или белый», на третьем «Красный или зеленый», на четвертом «Черный или зеленый, или красный». Но ни одна надпись не соответствует действительности. Какого цвета шарик лежит в каком ящике?

Ответ: в ящике с надписью «Белый» лежит зеленый шарик; с надписью «Зеленый или белый» – красный шарик; с надписью «Красный или зеленый» – черный шарик; с надписью «Черный или зеленый, или красный» – белый шарик.

Задача 11. На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров, решил узнать, куда ведет интересующая его дорога.

Какой вопрос он должен задать встретившемуся ему островитянину?

Решение.

Путешественник должен задать вопрос: « Эта дорога ведет в ваше племя?» Абориген ответит «да», если дорога ведет к его племени, и «нет», если – не к его племени. А пришелец, если дорога ведет к ним , ответит «нет», а если в племя аборигенов, то «да». Таким образом, при ответе «да» дорога будет вести в племя аборигенов, а при ответе «нет» – в племя пришельцев.

Тема 6. Натуральные числа

Задача 1. Иван живет на улице, дома на которой имеют номера с 1 по 24. Сколько раз при написании этих номеров используется цифра 2?

Решение.

Выпишем номера, использующие цифру 2: 2,12,20, 21,22, 23, 24. Видим, что цифра 2 используется 8 раз.

Ответ: 8.

Задача 2. На доске в строчку написаны двадцать пятерок. Поставив между некоторыми из них знак «+», Вася обнаружил, что сумма равна 1000.

Сколько плюсов поставил Вася?

Решение.

Понятно, что 5555 и более – слишком много. Если бы все слагаемые были по 55 и 5, то сумма была бы не больше, чем 550 – это слишком мало. Следовательно, должно быть ровно одно слагаемое 555. Остается 17 пятерок, которыми нужно набрать сумму 445, но 445 = 55 * 8 + 5. Всего 9 плюсов.

Ответ: 9.

Задача 3. Может ли при перемножении двух двузначных чисел получиться четырехзначное число из одинаковых цифр?

Решение.

Четырехзначное число из одинаковых цифр имеет вид аааа = а*11 *101.

Очевидно, что один из множителей данного числа будет 101 – трехзначное число, поэтому при перемножении двух двузначных чисел получиться четырехзначное число из одинаковых цифр не может.

Ответ: не может.

Задача 4. Какова первая цифра в наименьшем натуральном числе, сумма цифр которого равна 2001?

Решение.

Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию, должно содержать наименьшее число цифр. На конце будем ставить девятки. Если разделить 2001 на 9, то получается остаток 3.

2001= 222* 9 + 3

Поставив цифру 3 вперед и, приписав 222 девятки, получаем наименьшее натуральное число, сумма цифр которого равна 2001. Значит, первая цифра 3.

Ответ: 3.

Задача 5. Сколько цифр содержит запись наименьшего натурального числа, которое делиться на 225 и записывается ( в десятичной системе ) только нулями и единицами ?

Решение.

Число 225 является произведением 25 и 9. Чтобы число делилось на 9, его сумма цифр должна делиться на 9. Значит, в результате должно быть девять единиц.

Чтобы такое число делилось на 25, необходимо справа приписать два нуля. Получаем одиннадцать цифр в числе 11111111100.

Задача 6. Напишите наибольшее пятизначное число, кратное 9, так чтобы первая цифра была 3 и все цифры были различные.

Решение.

Пусть данное число будет 3 * 9 * 8 * 7х. Вставим вторую, третью и четвертую цифры так, чтобы получить наибольшее число 9, 8, 7. 3 + 9 + 8 + 7 = 27. На последнее место можно ставить 0 или9, чтобы число делилось на 9, но 9 уже есть в записи, значит, ставим 0.

Ответ: 39 870.

Задача 7. Напишите в строку 5 чисел, чтобы сумма любых двух соседних была отрицательной, а сумма всех чисел – положительной.

Ответ: например: 3; -4; 3; -4; 3

Задача 8. Света выполнила действия: 1997 * 1999 * 2001 – 1998 * 2000. Какова последняя цифра ответа?

Решение.

Произведение 1997 * 1999 * 2001 оканчивается цифрой 3, поскольку 7 * 9 * 1 = 63. Произведение 1998 * 2000 оканчивается тремя нолями . Разность 1997 * 1999 * 2001 – 1998 * 2000 оканчивается на 3.

Ответ: 3

Задача 9. Докажите, что сумма всех натуральных чисел от 1 до 1000 делится на 143.

Решение.

1 + 2 + 3 + … + 998 + 999 + 1000 = 500 * 1001 = 500 * 7 * 11 * 13 = 3500 * 143. Произведение 3500 * 143 делится на 143.

Ответ: делится

Задача 10. По кругу расставлены цифры в произвольном порядке. Цифр 9: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Каждые 3 цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трехзначное число.

Найдите сумму всех девяти таких трехзначных чисел. Зависит ли она от порядка, в котором расставлены цифры?

Решение.

Каждая цифра а учитывается в сумме трижды:

а + 10а +100а = 111а

s = 111 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 111 * 45 = 4995.

Ответ: 4995, сумма не зависит от порядка, в котором расставлены здесь цифры.

Задача 11. Коля открыл книгу и обнаружил, что сумма номеров левой и правой страниц – 25.

Чему равно произведение этих номеров?

Решение.

Так как это левая правая страницы, то номер правой на 1 больше номера левой. (25 – 1) : 2 = 12.

Значит, это страница 12 и 13, 12 * 13 = 156.

Ответ: 156

Задача 12. Какое самое маленькое число, большее 2007, имеет туже сумму цифр, что и 2007, но отличается от 2007 произведением цифр?

Решение.

Сумма цифр данного числа 2 + 0 + 0 + 7 = 9. Произведение искомого числа не может быть равно 0, значит, искомое число не содержит 0. Наименьшее будет иметь вид 2 * * *, где сумма цифр, замененных звездочками, равна 7. Из таких чисел самое маленькое – 115. Получаем 2115.

Ответ: 2115

Задача 13. Найдите сумму всех трехзначных чисел, все цифры которых нечетны.

Решение.

Всего 5 * 5 * 5 = 125 чисел

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Сумма всех цифр будет равна 25 * 25 = 625.

625 * (100 + 10 + 1) = 625 * 111 = 69 375

Ответ: 69 375

Задача 14. Число b записывается одними единицами – всего 2003 цифры. Сколько цифр содержит произведение числа b на 2003?

Решение.

Умножая столбиком, получаем, учитывая сдвиги вправо из-за двух нулей, 2006 цифр.

Ответ: 2006

Задача 15. Из набора чисел 1, 2, 3, … , 17 вычеркнуты все четные числа, а также все такие числа х, что (19 – х) делится на 3.

Сколько чисел осталось?

Решение.

Останутся после вычеркивания следующие числа 3, 5, 9, 11, 15, 17

Ответ: 6

Задача 16. Сколько из следующих чисел уменьшаются, если их прочитать справа налево: 1991, 2323, 2112, 2222, 3131, 2332, 5252?

Ответ: 2

Задача 17. Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22 года. Одного игрока удалили с поля, и средний возраст оставшихся составил 21 год.

Сколько лет удаленному с поля игроку?

Решение.

22 * 11 = 242 (года) – было все вместе

21 * 10 = 210 (лет) – стало всем вместе

242 – 210 = 32 (года) – возраст удаленного игрока.

Ответ: 32

Тема 7. Дроби

Задача 1. У Тани и Димы денег поровну. Какую часть своих денег должна Таня отдать Диме, чтобы у него стало в два раза больше, чем у неё?

Решение.

Пусть у Тани и Димы денег было по 3х рублей. Если Таня отдаст Диме х рублей, то у него станет 4х рублей, а у нее останется 2х рублей. Таким образом, у него станет в два раза больше, чем у нее.

Ответ: 1/3

Задача 2. Когда велосипедист проехал 2/3 всего пути, лопнула шина. На остальной путь пешком он затратил вдвое больше времени, чем на велосипедную езду. Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?

Решение.

Велосипедист прошел пешком 1/3 пути, т.е. в два раза меньше, чем проехал на велосипеде. Времени же затратил в два раза больше. Поэтому он ехал в 4 раза быстрее, чем шел.

Ответ: в 4 раза

Задача 3. На одной чаше весов лежит кусок мыла, на другой 2/3   такого же куска и еще 2/3 кг. Весы в равновесии. Сколько весит весь кусок мыла?

Решение.

По условию получаем, что 1/3 куска равна 2/3 кг. Поэтому весь кусок будет 2/3 кг * 3 = 2 кг.

Ответ: 2 кг

Задача 4. Отрежьте от шнура длиной 2/3 метра кусок длиной полметра, не имея под руками метра.

Решение.

Сложим кусок пополам и ещё раз пополам. Получим кусок длиной 2/3 : 4 = 1/6 (м), которой и надо отрезать, чтобы остаток равнялся 1/2 м (ибо 2/3 – 1/6 = 1/2)

Задача 5. Разделите 5 яблок поровну между шестью детьми, не разрезав никакое яблоко больше чем на три части.

Решение.

Три яблока разрежем на половинки. Каждое из остальных двух яблок разрежем на три равные части. Каждый ребенок получит половину и ещё треть яблока.

Ответ: каждый ребенок получит половину и ещё треть яблока.

Задача 6. Слава взял у товарища книгу на 3 дня. В первый день он прочитал половину книги; во второй – треть оставшихся страниц; а количество страниц, прочитанных в третий день, было равно половине числа страниц, прочитанных в первые два дня.

Успел ли Слава прочитать книгу?

Решение.

За первые два дня Слава прочел 1/2 + 1/6 = 2/3 книги, а в третий день – ещё 1/3, тем самым завершив чтение.

Ответ: успел.

Задача 7. Разделите 5 яблок на 6 равных частей, не разрезая ни одного яблока на 6 частей.

Решение.

Два яблока надо разделить на три равные части каждое и три яблока – пополам каждое, получится 6 порций по 1/3 + 1/2 = 5/6.

Ответ: в каждую из шести равных частей помещаем половину яблока и ещё его 1/3.

Задача 8. В классе 36 учеников. Сколько среди них мальчиков и сколько девочек, если 2/5 числа всех мальчиков равны половине числа всех девочек?

Решение.

Пусть было х девочек, тогда мальчиков (36 – х).

Тогда 2/5 * (36 – х) = 1/2х.

Решив это уравнение, получаем х = 16.

Ответ: 20 мальчиков и 16 девочек.

Задача 9. Крестьянка продала из принесенных ею на рынок яиц первому покупателю половину от количества всех её яиц, уменьшенных на 6. Второму – третью часть от остатка, уменьшенного на 6. Третьему – четвертую часть остатка, уменьшенного на 6. После чего у нее осталась половина принесенных ею на рынок яиц. Сколько яиц она продала каждому из покупателей?

Решение.

24х – было всего яиц.

(12х – 3) – столько яиц продано первому покупателю

24х – (12х – 3) = (12х + 3) яиц – остаток после первого покупателя

(12х + 3 – 6) : 3 = (4х – 1) – столько яиц продано второму покупателю

12х + 3 – (4х – 1) = (8х + 4) яиц – остаток после второго покупателя

(8х + 4 – 6) : 4 = (2х – 0,5) – столько яиц продано третьему покупателю

По условию задачи составим уравнение:

12х – 3 + 4х – 1 + 2х – 0,5 = 12х,

6х = 4,5; х = 0,75. Всего яиц было 24 * 0,75 = 18.

Значит, первому покупателю она продала 6 яиц, второму – 2 яйца, третьему – 1 яйцо.

Ответ: 6, 2, 1.

Литература

1. Бабинская И.Л.. Задачи математических олимпиад. – М: Наука, 1975

2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М: Наука, 1986.

3. Генкин С. А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров: «АСА»,1994.

4. Гусев В.А. Математика. Сборник геометрических задач. 5-6 классы. «ЭКЗАМЕН». Москва. 2011.

5. Давыдова М. Ю. Нестандартные задачи в школьном курсе математики // Молодой ученый. – 2011. – №8. Т.2. – С. 101-104.