Конспект урока математики в 10 классе "Исследование функции на монотонность"

Урок алгебры и начала анализа. 10 класс.

(УМК А.Г. Мордковича и др. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс

М. «Мнемозина»,2013 года )

Тип урока: ОНЗ.

Тема урока: Исследование функции на монотонность .

Учитель: Александра Вячеславовна Евдокимова, I квалификационной категории, МОУ СОШ №43 им. А.С.Пушкина, города Ярославля.

Цели:

• ознакомить учащихся со способом нахождения промежутков монотонности функции с помощью производной..

• повторить и закрепить навык нахождения производной; тренировать вычислительные навыки.

• развивать мыслительные операции: сравнение, анализ, обобщение, аналогия.

Ход урока.

1. Мотивация к учебной деятельности

1) Организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности(«надо»).

2) Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу»)

3) Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность(«хочу»)

- Какую тему изучаем? (Производная.)

-Где научились её применять? (при составлении уравнения касательной, скорости движения.)

-А как вы думаете, при исследовании функции можем мы использовать производную? (Возможно.)

-О чём будем говорить сегодня? (О применении произведении производной к исследованию функции.)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

1) Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.

2) Зафиксировать актуализированные способы действий в речи.

3) Зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны).

4) Организовать обобщение актуализированных способов действий.

5) Организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания.

6) Мотивировать к пробному действию («надо» - «могу» - «хочу»).

7) Организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия.

8) Организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.

- Для повторения выполним № 854: Определите, какой знак имеет производная функции у = f(х) в точках с абсциссами а,в,с,d, если график функции изображен на заданном рисунке.

- Какие функции называются возрастающей и убывающей?

-№855: Определите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображён на заданном рисунке.

-Определите, промежутки возрастания и убывания функции у = х² – 6х + 1

( на промежутке () убывает, на () возрастает)

- Определите, возрастающей или убывающей является функция у = х³ + 9х?

У учащихся возникает затруднение.

3.Выявление места и причин затруднения.

1) Организовать восстановление выполненных операций.

2) Организовать фиксацию места (шага, операции), где возникло затруднение.

3) Организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами(алгоритмом, понятием и т.д.)

4) На этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения- тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостаёт для решения исходной задачи и задач такого класса или типа вообще.

- Чем вы пользовались для выяснения монотонности функции у = х² – 6х + 1?

(Свойствами квадратичной функции)

- Что не смогли сделать? (Не смогли сделать пробное действие: выяснить возрастающей или убывающей является функция у = х³ + 9х.)

- В чём затруднение? (Мы не знаем правила, для нахождения промежутков возрастания и убывания функции заданной аналитическим способом.)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Организовать построение проекта выхода из затруднения:

1) Учащиеся ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения).

2) Учащиеся уточняют и согласовывают причины возникшего затруднения.

3) Учащиеся определяют средства (алгоритмы, модели, справочники и т.д.)

4) Учащиеся формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

-Какова же цель урока? (Вывести правило для нахождения промежутков возрастания и убывания функции заданной аналитическим способом.)

-Какова тема урока? (Исследование функции на монотонность.)

-Какой способ вы предлагаете использовать (Формулирование правила на основе сравнении, наблюдения и анализа.)

-Для построения плана ваших действий предлагаю разбиться на группы.

задание для групп № 1,2,3

1. Какая эта функция: возрастающая или убывающая?

2. Проведите касательные в точках х_{1 И} х_2.

3. Что общего у построенных прямых?

4. Чему равен угловой коэффициент касательных?

5. Сделайте вывод о значении производной в т. х_{1 И} х₂

6. Проведите касательные в точках х_{3 .} Как она

расположена?

х₁ х₃ х₂ 7. Чему равна производная у = f(х) в точке х₃?

8. Сделайте вывод о значении производной в любой

точке промежутка.

задание для групп № 4,5

1. Какая эта функция: возрастающая или убывающая?

2. Проведите касательные в точках х_{1 И} х_2.

3. Что общего у построенных прямых?

4. Чему равен угловой коэффициент касательных?

5. Сделайте вывод о значении производной в т. х_{1 И} х₂

6. Проведите касательные в точках х_{3 .} Как она

расположена?

х₁ х₃ х₂ 7. Чему равна производная у = f(х) в точке х₃?

8. Сделайте вывод о значении производной в любой

точке промежутка.

Учащиеся работают в группах. Результаты работы фиксируются на листах и вывешиваются на доску. Группы защищают проекты.

Результатом работы групп являются два вывода:

В любой точке х из области определения возрастающей дифференцируемой функции выполняется неравенство f/(х) ≥0

В любой точке х из области определения убывающей дифференцируемой функции выполняется неравенство f/(х) ≤0

-Эти рассуждения показывают, что между характером монотонности функции и знаком её производной есть определённая связь. Для практики важнее то, что верны и обратные теоремы, показывающие, как по знаку производной можно установить характер монотонности функции на промежутке. Сформулируйте обратные утверждения для выводов, сделанных группами.

Учащиеся формулируют обратные утверждения, на доску вывешиваются теоремы в уточнённом виде:

Теорема 1.

Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f/(х) ≥0(причём равенство f/(х) =0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция у = f(х) возрастает на промежутке Х

Теорема 2.

Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f/(х) ≤0(причём равенство f/(х) =0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция у = f(х) убывает на промежутке Х

- Составим правило, для нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

Оформление доски.

1. Найти производную функции.

2. Сравнить производную с нулём:

если f/(х) ≥0, то функция возрастает;

если f/(х) ≤0, то функция

убывает

5.Реализация построенного проекта.

1) Организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом.

2) Организовать фиксацию нового способа действия в речи.

3) Организовать фиксацию нового способа действия в знаках ( с помощью эталона).

4) Организовать фиксацию преодоления затруднения.

5) Организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа)

-Вернёмся к пробному действию: определите, возрастающей или убывающей является функция у = х³ + 9х?

1 шаг. Находим производную у = х³ + 9х: у/ = 3х² +9.

2 шаг. Сравниваем производную с нулём: 3х² +9 ≥0, при любых х, у/ ≥0, функция у = х³ + 9х возрастает.

- Вы справились с вашим планом работы? (Да.)

- Озвучьте результат вашей деятельности. Учащиеся ещё раз формулируют правило.

6. Первичное закрепление во внешней речи.

Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи.

№856. По графику производной, изображённому на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция у = f(х) возрастает, а на каких убывает.

№ 857. На каком из указанных промежутков функция у = f(х) убывает, если график её производной представлен на рисунке.

№864 (а,б). Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой; укажите характер монотонности: у=х⁵+6х³ -7 ; у=sin х – 2х – 15 .

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

1) Организовать выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;

2) Организовать соотнесение работы с подробным образцом;

3) Организовать вербальное сопоставление работы с подробным образцом;

4) По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию деятельности по применению нового способа действия.

Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой; укажите характер монотонности: 1. у=sin х – 15х;

2. у= соs х +2х -7.

8.Включение в систему знаний и повторение.

1) Организовать выявление типов заданий, где используется новый способ действия.

2) Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.

№866(а) Определите промежутки монотонности функции у = х² – 5х +4.

9. Рефлексия учебной деятельности.

1) Организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке.

2) Организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения.

3) Выполнения требований, известных учащимся.

4) Организовать оценивание учащимися собственной деятельности на уроке.

5) Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

- Что нового узнали на уроке?

- Достигли цель, поставленную в начале урока?

-Где может пригодиться новое знание?

- Как вы оцените свою работу на уроке? (……………………………………)

-Для чего нам необходимо выполнять домашнее задание? (Чтобы закрепить умение решать данный вид уравнений).

- Предлагаю записать обязательное домашнее задание: № 870, № 864 (б), 865(а) и по желанию №8989(аб).