Конспект урока по теме "Решение задач с помощью квадратных уравнений"

Тема. Решение задач с помощью составления уравнений, что приводят к квадратным Цели: образовательная: обобщить и систематизировать практические умения и навыки решения задач с помощью составления квадратных уравнений, совершенствование навыков составления уравнения по условию задачи, закреплять вычислительные навыки, показать взаимосвязь алгебры с другими науками. развивающая: развивать умение наблюдать, анализировать, способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся, развивать логическое мышление учащихся. воспитательная: воспитывать навыки сотрудничества в процессе совместной работы, содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей. Универсальные учебные действия: 1. Личностные – осознание учащимися важности составления уравнений для решения задач, умение оценивать себя. 2. Познавательные – умение извлекать нужную информацию из прочитанного текса. 3. Коммуникативные – через диалоги ( умение слушать, излагать свое мнение). 4. Регулятивные – взаимный контроль (исправление ошибок у соседа по парте - работа в парах), самоконтроль (умение понимать причины ошибок), контроль со стороны учителя. Тип урока: урок усвоение знаний, формирования первичных умений Методы, технологии и формы работы, используемые на уроке: проблемно-поисковые, групповые, фронтальные, технология коллективной мыслительной деятельности (КМД), здоровье сберегающие технологии( физкультминутка), взаимоконтроль и самоанализ. Оборудование и наглядность: учебник, дополнительный материал, карточки – подсказки, дополнительная литература.

Ход урока

І. Организационный момент. Вступительное слово учителя

Добрый день дорогие ребята! Я рада приветствовать Вас на нашем уроке, и прошу всех вас улыбнуться друг другу, и мысленно пожелать успехов и себе и товарищам. Садитесь.

Тема сегодняшнего урока “Решение задач с помощью квадратных уравнений”.

Сегодня мы с вами закрепим умение решать квадратные уравнения, а также узнаем, как можно решать задачи с помощью квадратных уравнений.

Великий, немецкий ученый А. Эйнштейн говорил о себе: “Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только до данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Итак, откройте тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа.

Девизом нашего урока будут такие слова: «Собраться вместе есть начало,

Держаться вместе есть прогресс,

Работать вместе есть успех!»

ІІ. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. На сегодняшнем уроке мы обобщим и систематизируем умения решать задачи с помощью квадратных уравнений или уравнений, которые приводятся к квадратным уравнениям.

Урок будет проходить в форме « Парад задач»

Неделю назад вы получили задание найти и решить задачи с разных разделов науки, которые решаются с помощью квадратных уравнений, а сегодня мы посмотрим, как вы справились с этой задачей

Для более плодотворной работы на данном уроке хочу дать вам установку на успех:

1. Определи для себя значения данного материала.

2. Наметь цель и не отступай от неё.

3. Радуйся, когда тебе удается достичь хотя бы маленького успеха.

4. Не огорчайся, если с первого раза не удается. Пробуй еще раз.

5. Не бойся попросить помощи.

6. Спрашивай, если в чем-то сомневаешься.

7. Я верю, что каждый из вас справится.

ІІІ. Актуализация опорных теоретических и практических знаний.

• Что написано на доске? ах² + bх + с = 0 (Квадратное уравнение)

• Всегда ли имеет корни квадратное уравнение? (Нет, не всегда)

• От чего зависит количество корней? (От дискриминанта)

• Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D 0?

• Сколько коней имеет квадратное уравнение если D = 0?

• Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D

• Теорема Пифагора

• Теорему Виета

• Формулы периметра и площади прямоугольника

• Формула пути

• Понятие производительности работы.

Итак, ребята, давайте повторим основные понятия и формулы для решения квадратных уравнений. Я предлагаю вам написать тестовую самостоятельную работу по теме “квадратные уравнения”.

1. Какие из уравнений не имеют корней?

А) Б) В) Г) + 7 = 0.

2. Сколько корней имеет уравнение ?

А) один; Б) два В) Нет корней Г) Множество.

3. За какой формулой вычислить корни квадратного уравнения -5x + 1 = 0 ?

А). х_1,2 ; Б) х_1,2 ; В) х_1,2 ; Г) х_1,2 ;

4.Чему равна сумма корней квадратного уравнения ?

А) 3; Б) 10 В) -10 Г) – 3.

5. Чему равно произведение корней квадратного уравнения + 13 x – 6 =0 ?

А) - ; Б) В) Г)

6. Какие числа есть корнями уравнения ?

А) -1 ; 3; Б) -1 В) 1 Г) 3.

7. Какое уравнение получим , если умножим обе части уравнения + на общий знаменатель дроби?

А) ; Б) ;

В) ; Г) ;

После выполнения работы, учитель открывает доску с ответами, ученики, обменявшись тетрадями с соседом по парте, проверяют и на полях ставят оценку. После урока учитель перепроверяет правильность выставления оценки.

IV. Обобщение и систематизация знаний

1.Подготовка учащихся к обобщенной деятельности

Ребята! Необходимость решать квадратные уравнения была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. И сейчас помощью квадратных уравнений решаются многие задачи в математике, физике, технике, химии. Неделю назад вы создали такие группы: «Геометрия», «Физика», «Бригада», «Экономика», «Химия», «История». Каждая из групп получила задание: подобрать и решить одну задачу, соответствующую названию группы, выполнить рисунок к задаче и на сегодняшнем уроке каждая группа должна рассказать и показать, какую вы подобрали задачу, какой вы применили способ решения задачи по теме урока и как вы справились с этим заданием. А чтобы к вам пришел успех, вам надо было разобрать карточку – подсказку и подготовить отчёт

2. Применение знаний и умений в новой ситуации.

Воспроизведение на новом уровне выполнения задания

Группа « Геометрия»

Задача. Найти длину и ширину участка прямоугольной формы, если его периметр 30 м, а площадь 56 м².

Ученики работают с карточкой - подсказкой (раздаётся каждому ученику)

Карточка подсказка

1	Обозначим стороны прямоугольника	Длина Ширина
2	Запишем периметр прямоугольника	Р =
3	Выразим ширину через длину
4	Запишем площадь прямоугольника	S =
5	Составим уравнение

После заполнения карточки – подсказки ученики коллективно составляют уравнение к данной задаче, решают его, комментируя.

1	Обозначим стороны прямоугольника	Длина Ширина	a b
2	Запишем периметр прямоугольника	Р = 2 ( a+b)	2 ( a+b) = 30
3	Выразим ширину через длину	-b	a =15 -b
4	Запишем площадь прямоугольника	S = ab	S =( 15-b)b
5	Составим уравнение		( 15-b)b =56

Решение.

Пусть длина участка a м, а ширина b м. Периметр участка прямоугольной формы по условию 30 м, имеем 2 (a +b) = 30;

(a +b) = 15;

a =15 –b, а площадь участка равна 56 см².

Составим и решим уравнение (15-b)b =56. (15-b)b =56, .

За теоремой Виета: b₁ + b₂ = 15 , b₁ b₂ = 56 , b₁ =7 ; b₂ = 8

Если b₁ =7 м , то a₁ = 15 -7 =8 м . Если ; b₂ = 8 м , то a₂ =15-8 =7 м.

Ответ: 7м, 8м.

Группа « Физики» Задача . Катер проплыл 9 км по течению реки и 14 км против течения, потратил на весь путь столько времени, сколько ему необходимо для прохождения 24 км в стоячей воде. Найти скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки 2 км /час.

Карточка – подсказка раздаётся учащимся.

Катер	V , км /час	t, час	S, км
В стоячей воде
Движение по течению реки
Движение против течения реки

Коллективно заполняют таблицу , составляют уравнение и решают.

Катер	V , км /час	t, час	S, км
В стоячей воде	Х		24
Движение по течению реки	Х +2		9
Движение против течения реки	Х - 2		14

Решение.

Х км /час - скорость катера в стоячей воде ;

( Х +2 ) км /час – скорость катера по течению реки;

( Х - 2 ) км /час – скорость катера против течения реки; час, время пройденное катером по течению; час, время пройденное катером против течения реки ; час, время, которое потратил катер на прохождение 24 км в стоячей воде.

( + час, время затраченное на весь путь.

Составим по условию задачи уравнение ( + : ОЗ: х(х+2)(х-2) и решим его

=0

=0

, x₁+ x₂ =10, x₁x₂ = -96 , x₁= - 6, x₂ =16.

При найденных значениях , но число -6 не удовлетворяет условию задачи , т.к. V. Тогда 16 км /час – скорость катера в стоячей воде.

Ответ: 16 км /час.

Физкультминутка.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Сидим, расслабили ручки и ножки. Закроем глаза, откроем глаза- повторить по 3 раза. Закроем глаза и нарисуем сначала в одну сторону, а потом в другую вертикальную линию, горизонтальную линию, окружность, прямоугольник, треугольник. Широко откроем глаза и постараемся не моргать 5 секунд, а теперь быстро поморгаем 5 секунд. Посмотрите направо, затем налево, вверх, вниз, а теперь – в окно. Погода на улице замечательная, светит солнце. Посмотрите друг на друга, улыбнитесь друг другу и мне. А теперь вздохнули глубоко, набрались сил, выдохнули, встрепенулись. Ой, какие молодцы! Еще немного поработаем и будем подводить итоги.

Выполняют указания учителя.

Группа « Бригада»

Задача. Две бригады, работая вместе, закончили асфальтировать дорогу за 4 дня. Сколько дней понадобится каждой бригаде для выполнения этой работы, если они будут работать отдельно и одна бригада закончит асфальтировать дорогу на 6 дней раньше, чем другая?

Вся работа
Количество дней необходимых для выполнения всей работы первой бригадой
Количество дней необходимых для выполнения всей работы второй бригадой
Часть работы, выполненной первой бригадой за один день
Часть работы, выполненной второй бригадой за один день
Часть работы, выполненной двумя бригадами за один день
Всю работу обе бригады выполнят за 4 дня, а за один день выполнят…

Коллективно заполняют таблицу , составляют уравнение и решают.

Вся работа	1
Количество дней необходимых для выполнения всей работы первой бригадой	X
Количество дней необходимых для выполнения всей работы второй бригадой	X+6
Часть работы, выполненной первой бригадой за один день
Часть работы, выполненной второй бригадой за один день
Часть работы, выполненной двумя бригадами за один день
Всю работу обе бригады выполнят за 4 дня, а за один день выполнят…	часть работы

Решение.

Пусть вся работа 1. Количество дней , необходимых для выполнения первой бригадой Х дней, тогда второй (Х +6) дней. За один день первая бригада выполнит часть работы, а вторая бригада частей, а вместе + За условием задачи обе бригады выполнят работу за 4 дня. Имеем, за один день они выполнят часть работы. Составим и решим уравнение. + = ОЗ: 4 х (х+6) =

, , x₁+ x₂ =2, x₁x₂ = -24 , x₁= - 4, x₂ = 6.

При x = - 4, x = 6, 4 х (х+6), x₁= - 4 не удовлетворяют условию задачи, 6 дней – первая бригада, 12 дней - вторая бригада.

Ответ: 6 дней, 12 дней.

Группа « Экономисты»

Задача. Вкладчик положил в банк 1000 руб. За первый год ему было начислено определенный процент годовых, который на второй год был увеличен на 2 %. В конце второго года на счету было 1188 руб. Сколько процентов составила банковская ставка первый год?

Карточка – подсказка

Движение денег	Первый год	Второй год
Вклад, руб.
Банковская ставка, %
Прибыль, руб.
Вклад на конец года, руб.

Пусть банковская ставка за первый год составила х %, тогда вкладчику насчитано прибыли 1000 и его вклад составил 1000 + 10 х.

Второй год: х + 2 ( % ) ( 1000 + 10 х) 0,01 (х+2) =0,1 +10,2 х+ 20 – прибыль

1000 + 10 х + 10,2х +0,1 + 20 = 1188

Движение денег	Первый год	Второй год
Вклад, руб.	1000
Банковская ставка, %	Х	Х +2
Прибыль, руб.	1000	( 1000 + 10 х) 0,01 (х+2) = =0,1 +10,2 х+ 20
Вклад на конец года, руб.	1000 + 10 х	1000 + 10 х + 10,2х +0,1 + 20 = 1188

Решение.

1000 + 10 х + 10,2х +0,1 + 20 = 1188

0,1 + 20,2 х + 1020 =1188

+202 х – 1680 = 0, x₁= 8 , x₂ = - 210 – не удовлетворяет условию задачи, так как банковский вклад число больше нуля.

Ответ : 8 %.

Группа « Историки»

Задача. Разделившись на две стаи

Развлекались птицы в мае.

Одна восьмая их в квадрате

Танцевать все очень рады,

А двенадцать на деревьях,

Подняли весёлый смех,

Всё вокруг забурлило .

Сколько их было всех?

Решение.

Обозначим количество всех птиц через х, тогда первая стая по условию задачи составляет ( ² птиц , а вторая 12.

Составим и решим уравнение ( ² +12 = х,

– х +12 = 0, – 64 х + 768 = 0 , x₁= 16, x₂ = 48.

Ответ: 16, 48.

Группа «Химики»

Задача. К раствору, что составляет 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего его концентрация уменьшилась на 10 %. Сколько воды содержит раствор и какая была его концентрация? Карточка – подсказка

Вода, г
Соль, г
Раствор, г
Концентрация раствора, %

Вода, г	Х	Х + 200
Соль, г	40	40
Раствор, г	Х +40	Х +240
Концентрация раствора, %

Составим и решим уравнение

ОЗ: ( х+ 40) (х + 240)

-

, D =78400 + 281600 = 360000, =600,

x₁= - не удовлетворяет условию задачи

x₂ =, значит раствор 160 г воды , а его концентрация = 20 %

Ответ : 160 г, 20 %

V. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Карточка - задание

1.Площадь прямоугольного треугольника 52 см². Найдите катеты этого треугольника, если один больше другого на 5 см. 2.Задача Диофанта.

Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.

3.Повторить формулы корней квадратного уравнения

VI. Контроль усвоения материала, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.

1. Самооценка.

Деятельность учителя	Деятельность учеников
Учитель предлагает оценить свою работу на уроке учащимся и поставить оценки в выданных каждому бланках	Работают с индивидуальными бланками

Индивидуальные бланки:

	Вид работы	Оценка
1	Выполнил тест
2	Правильно оформил и решил задачу группы « Геометрия»
3	Правильно оформил и решил задачу группы «Физика»
4	Правильно оформил и решил задачу группы « История»
5	Правильно оформил и решил задачу группы « Химия»
6	Правильно оформил и решил задачу группы « Бригада»
7	Правильно оформил и решил задачу группы « Экономисты»
8	Активно работал на уроке

VII. Подведение итогов. Рефлексия.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Пришло время подвести итоги урока. Самоанализ учащихся по вопросам: Какая цель была у нас на уроке? Хорошо ли мы повторили и закрепили решение квадратных уравнений и задач? Как вы думаете, пригодятся ли вам знания, которые мы сегодня получили? Появилось ли у вас желание больше узнать о задачах? С каким настроение вы находились на уроке? Какой этап урока вам понравился больше всего? Отметки получают те ученики, кто отвечал у доски и активно работал с места. Учитель отвечает на вопросы, комментирует оценки за урок.

Научиться решать задачи с помощью квадратных уравнений. Да Да Да С хорошим.

Слово учителя:

Хочется отметить, что никто из вас не отнеся к работе равнодушно, и если у кого-то не всё получилось не огорчайтесь: “Дорогу осилит идущий”.

Выбери утверждение:

Если было интересно, легко на уроке, во всем разобрались – выбираете розочки.

Если иногда были трудности, сомнения – смайлики.

Положите на стол.

–Молодцы, спасибо за урок!

Урок окончен

Спасибо за активную работу!