Конспект урока по теме " Арифметическая и геометрическая прогрессии".

• Балабко Н.В.

• учитель математики

• МБОУ» Меленская СОШ»

• Стародубского муниципального района Брянской области

Урок – семинар №1 и №2 по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Тип урока: Обобщение и систематизация знаний и умений учащихся по изучаемой теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Цели: 1) учебная. Обобщить и систематизировать знания по данной теме. Закрепить умения и навыки в решении задач.

2) Развивающая. Развивать творческую сторону мышления учащихся при решении заданий, в том числе и с помощью компьютера.

3) Воспитательная. Воспитывать коллективизм, взаимопомощь, толерантность.

Оборудование: Мультимедийный проектор, раздаточный материал.

I этап. Слово учителя. «Мы с вами изучили большую и важную тему « Прогрессии: арифметическая и геометрическая». В природе и технике часто встречаются закономерности, изменяющиеся по законам арифметической и геометрической прогрессии. С ними были знакомы ещё древние вавилоняне и древние египтяне. Прогрессиями пользовался также знаменитый физик и математик Греции Архимед. По этим вопросам он написал свой замечательный труд « Исчисление песчинок ». Также в « Арифметике» Л.Ф. Магницкого имеется целый раздел посвящённый арифметическим и геометрическим прогрессиям».

II этап. Класс разбивается на две разноуровневые группы. Учащимся раздаются карточки диагностики. 1) знаю; 2) умею; 3)смогу.

Карточки заполняются учащимися на протяжении всего семинара.

Повторение. « Копилка знаний и умений».

Тематика вопросов по каждой прогрессии.

1. Определение прогрессии ( обозначение).

2. Формула n - го члена прогрессии.

3. Свойства прогрессии:

а) монотонность;

б) характеристическое свойство;

в) свойство членов прогрессии;

г) формула суммы n – первых членов прогрессии;

д) формулы суммы членов бесконечной геометрической прогрессии.

Учащиеся дают ответ, а учитель находит карточку и вкладывает в «копилку» на доске.

Примечание: На каждый ответ одной группы даётся рецензия экспертами другой группы.

Критерии оценки: 1) правильность ответа. (1 балл);

2) последовательность ответа (1 балл );

3) полнота ответа (1 балл).

Презентация на компьютере.

Занимательные задачи:

№1. На озере растёт одна лилия. Она покрывает цветами всё озеро за 10 дней, причём за каждый день площадь, покрытая цветами, становится в два раза больше, чем была до того. За сколько дней покрывают озеро цветами две такие лилии? ( Ответ: за 9 дней).

№2.Озеро зарастает за 20 лет. Процесс зарастания происходит по геометрической прогрессии: ежегодно заросшая площадь удваивается. За сколько лет зарастает половина озера?( Ответ: 19 лет).

№3. Известен факт из жизни немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777 –1855 г.г). Когда ему было 9 лет, учитель задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно: 1+2+3+4+…+40». Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников после долгих решений получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

Вот его рассуждения. Сумма чисел в каждой паре равна 41. 1+40 =41, 2+39=41, и т.д. Таких пар 20, значит, 20*41= 820.

У известного русского художника Богданова – Бельского есть картина, изображающая занятия устным счётом. В классе возле доски сидит учитель, а около него стоят ученики, занятые устным решением примера. Ученики сосредоточены и увлечены работой, так как пример действительно труден и интересен. Вот он:

10 ² + 11² + 12 ² + 13² + 14²

365

Решите и вы этот пример устно. Ответ: 10 ² + 11² + 12 ² = 365 и

13² + 14² = 365 итого 365 + 365 ₌ 2

365

Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времён. Греческих математиков интересовало связь прогрессий с так называемыми многоугольными числами, красивыми числовыми соотношениями типа:

III этап. Сообщение ученика: «Связь между прогрессиями».

На связь между прогрессиями первым, по – видимому, обратил внимание Архимед. В 1544 году вышла книга немецкого математика М. Штифеля «Общая арифметика».

Штифель составил такую таблицу:

В верхней строке - арифметическая прогрессия с разностью 1.

В нижней – геометрическая со знаменателем 2.

Расположены они так, что нулю арифметической прогрессии соответствует единица геометрической прогрессии. Это очень важный факт. А теперь представьте себе, что мы не умеем умножать и делить. Но нам понадобилось умножить, например, 1/2 на 128. В таблице над 1/ 2 написано -1, а над 128 написано 7. Сложим эти числа. Получилось 6. Под шестью читаем 64. Это и есть искомое произведение.

Другой пример. Разделим 32 на 8. поступаем аналогично:

32 5 8 3 5 – 3 =2 2 4 32 : 8 = 4

Если вспомнить тождества: ,

то нижнюю строку таблицы Штифеля можно переписать так:

Теперь можно сделать вывод, что если показатели степеней составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию.

IV этап. Математический марафон.

Каждой группе дан кубик, на грани которого записано по одному примеру. Кубик подбрасывается и по очереди каждый отвечает на вопросы.

Примечание. Задания даются одинаковые. Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл.

Содержание заданий I уровня.

Данные устные упражнения I уровня определяются стандартом математического образования.

Задание №1. Дана арифметическая прогрессия: 8; 4; … Найти разность и восемнадцатый член этой прогрессии.

Задание №2. В арифметической прогрессии d = 4. Найти сумму 20 первых членов этой прогрессии.

Задание №3. В арифметической прогрессии , . Найти разность этой прогрессии.

Задание №4. В геометрической прогрессии . q=1/2. Найти восьмой член прогрессии.

Задание №5. Дана геометрическая прогрессия: 6; 2;… Найти её знаменатель и её десятый член.

Задание №6. В геометрической прогрессии . q = -3. Найти сумму 9 первых членов этой прогрессии.

Содержание заданий II уровня (тест)

Данные упражнения II уровня репродуктивного типа, то есть предъявляются только те вопросы, ответы на которые учащимся подробно разъяснялись

Задание №1 В арифметической прогрессии , . Найти сумму 20 первых членов прогрессии.

Ответы: 1) 610 2) -610 3) 106 4) 620

Задание №2. В арифметической прогрессии сумма второго и пятого члена равна 8, и сумма третьего и седьмого члена равна 14. Найти и d.

Ответы: 1) -1; 2 2) -1; - 2 3) -2; 1 4)-1; -1

Задание №3 В геометрической прогрессии () , . Найти

Ответы: 1) -1/625 или 15625 2) 25 или 0 3) – 1/625 или 5 4) -5 или 5

Задание №4. Вычислить: 7,2(3)

Ответы: 1) 217/30 2) 30/217 3) 141/19 4) 150/17.

Содержание заданий III уровня (тест).

Данные упражнения III уровня содержат задачи повышенной сложности.

Задание №1. В арифметической прогрессии () , d = 5 Найти сумму двенадцати первых членов.

Ответы: 1) 354; 2) -666; 3) 1; 4) -1.

Задание №2. 1; ; – члены арифметической прогрессии, в которой сумма произведений и - минимальная. Найти разность этой прогрессии.

Ответы: 1) 5/4 2) -5/4 3) 4/5 4) -4/5

Задание №3. В геометрической прогрессии () а . Найти .

Ответы: 1) 4; 12; 36;108; 2) -4; -12; -36;-108; 3) 4;12;-4;-12; 4) 4;12;36;4

Задание №4 Найти значение переменной X, если .

Ответы: 1) 7 2) -7 3) 1/7 4) -1/7.

IV этап. Задания для индивидуального зачёта из материалов ЕГЭ ( 9 кл.).

Задание №1. Сколько положительных членов в арифметической прогрессии

96,4; 91.8; … ?

Ответ: 40

Задание №2. Найдите сумму всех последовательных натуральных чисел с 60 до 110 включительно.

Ответ: 4335

Задание №3. Существует ли арифметическая прогрессия, в которой , , ?

Ответ: не существует.

Рефлексия. В течении урока учениками заполняются карточки диагностики.

1) знаю 2) умею 3) смогу

В ходе урока постепенно заполняется накопительная ведомость, с которой ребята были ознакомлены до урока, и в которой выставляются баллы за ответы по заданиям и итоговая оценка.

Подводится итог математического марафона, выявляются победители среди разноуровневых групп и победители в личном первенстве.

Домашнее задание:

1)Повторить теорию по данной теме

.

2) Исследовательская работа по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».