Конспект урока по алгебре в 9 классе на тему: "Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии"

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Самоопределение к деятельности (оргмомент)

Проверяю готовность класса к уроку, отмечаю отсутствующих, предлагаю учащимся в тетрадях подписать число, классная работа.

Сегодня мы продолжим изучать последовательности

Подписывают в тетрадях число, классная работа.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Ребята, чтобы продолжить работу на уроке, вспомним ранее изученный материал.

Задание. Найдите первые пять членов последовательности, заданной формулой:

а) у_п=п+3 б) х_п=3^п

Учитель записывает на доске:

а) 4;5;6;7;8 б) 3;9;27;81;243

Знакомы ли вам эти последовательности чисел?

Как вы определили?

Как называется число, которое прибавляется к предыдущему члену арифметической прогрессии?

Учащиеся выполняют задание устно

Да. Первая последовательность – арифметическая прогрессия

По определению: каждый член этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Разность арифметической прогрессии

III Введение определения геометрической прогрессии

3. Постановка учебной задачи.

Является ли вторая последовательность арифметической прогрессией?

Почему?

Встречались мы ранее с такими последовательностями?

Является ли эта последовательность новой для вас?

Что бы вы хотели про неё узнать? (Изучать мы её будем по той же схеме, что и арифметическую прогрессию)

Вы сформулировали цели сегодняшнего урока

4. Построение выхода из затруднения (открытие нового знания)

Установите связь между элементами второй числовой последовательности.

Такая последовательность называется геометрическая прогрессия.

Запишите в тетрадь тему урока: «Определение геометрической прогрессии». (Учитель записывает тему урока на доске).

Попробуйте дать определение геометрической прогрессии по аналогии с определением арифметической прогрессии, но учитывая новую закономерность.

Нет

Не подходит по определению арифметической прогрессии

Нет

Да

Имеет ли она особое название? Какое определение для этой последовательности?

Каждый элемент этой последовательности равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число (3)

Записывают тему урока в тетрадь

Учащиеся выдвигают предположения о том, что называется геометрической прогрессией, исправляя, и дополняя друг друга.

IV. Усвоение определения геометрической прогрессии.

Давайте обратимся к определению в учебнике и выясним, ничего мы не упустили в определении геометрической прогрессии (стр.92)

Найдите ключевые слова в определении

Что же такое геометрическая прогрессия?

Так как определить, является последовательность геометрической прогрессией?

Сообщаю, что число, на которое умножается предыдущий член последовательности, называется знаменателем геометрической прогрессии.

Выясните, чему равен знаменатель геометрической прогрессии (во втором задании на доске)

Как вы определили?

Как иначе можно найти знаменатель геометрической прогрессии?

5. Первичное закрепление во внешней речи

Для того, чтобы выяснить насколько хорошо вы усвоили определение геометрической прогрессии, выполним следующие задания.

Задание 1. Определите, являются ли следующие последовательности геометрическими прогрессиями. Объясните почему. В случае утвердительного ответа, найдите знаменатель геометрической прогрессии. (используется компьютер)

1. 5; 7; 9; 11;…

2. 5; 10; 20; 40;…

4)100; 50; 25; 12,5;…

5) 1; -3; 9; -27; 81; …

6) 2; 2 6; 2 6 6; 2 6 6 6 6;…

7) 1/100; -1/10; 1; -10; 100; …

8)

9) -0,8; 0,4; -0,2; 0,1; …

10) 0; 0 4; 0 4 4; 0 4 4 4; …

Задание 2. Продолжи ряд, чтобы числа образовали геометрическую прогрессию. Объясни решение.

1. 40; 4;…

2. -2; -10; …

Назовите знаменатель каждой геометрической прогрессии

Задание 3. Придумайте свою геометрическую прогрессию. Объясни решение.

Учитель записывает на доске.

Назовите знаменатель геометрической прогрессии

Итак, какая последовательность называется геометрической прогрессией?

Что такое знаменатель геометрической прогрессии?

Ребята, мы познакомились и усвоили определение геометрической прогрессии. Что бы вы хотели о ней узнать, кроме определения? Вспомните, как мы изучали арифметическую прогрессию. (Можно обратиться к рабочим тетрадям)

В результате беседы, на доске постепенно появляется план изучения темы:

1) Определение геометрической прогрессии

2) Рекуррентная формула геометрической прогрессии

3) Знаменатель геометрической прогрессии

4) Формула п^го члена геометрической прогрессии.

V. Вывод рекуррентной формулы.

3. Постановка учебной задачи.

Мы уже знаем определение геометрической прогрессии. Каковы дальнейшие действия?

Каждый читает про себя, а потом – 1 ученик вслух

1. числовая последовательность, элементы не равны нулю

2. каждый элемент (начиная со второго) можно получить из предыдущего умножением на одно и тоже число

2-3 учащихся повторяют определение

Это должна быть числовая последовательность; её элементы не должны быть равны нулю; любой член последовательности должен быть равен предыдущему, умноженному на одно и то же число

Знаменатель равен 3

Подбором: любой член последовательности можно найти, если предыдущий умножить на 3

Любой член прогрессии разделить на предыдущий

Отвечая «да» или «нет», учащиеся объясняют «почему».

Нет

Да; знаменатель =2

Нет

Да; знаменатель = 1/2

Да; знаменатель = -3

Да; знаменатель = 6

Да; знаменатель = -10

Нет

Да; знаменатель = -1/2

Нет

0,4; 0,04; 0,004;… знаменатель = 1/10

-50; -250; -1250;… знаменатель = 5

Учащиеся приводят примеры своих геометрических прогрессий

Учащиеся дают определение геометрической прогрессии и знаменателя геометрической прогрессии.

Вывести рекуррентную формулу геометрической прогрессии

4. Построение проекта

Что означает слово «рекуррентность»?

Что будет означать это словосочетание в нашей теме?

Как же найти любой член прогрессии, зная предыдущий?

Как называется это число?

Обозначается знаменатель геометрической прогрессии q

А теперь переходим непосредственно к выводу рекуррентной формулы.

Пусть задана геометрическая прогрессия: в₁; в₂; в₃; в₄; в₅;

Объясните как найти:

Второй член прогрессии?

Третий член прогрессии?

Четвёртый член прогрессии?

Девятый член прогрессии?

п+1 член прогрессии

Возьмите в рамочку последнюю формулу – это и есть рекуррентная формула геометрической прогрессии.

Что здесь означает в_п+1; в_п; q?

1. Усвоение рекуррентной формулы.

5. Первичное закрепление

Посмотрим, как эта формула позволяет находить неизвестные члены геометрической прогрессии.

Задание 1.

(в_п) - геометрическая прогрессия.

в₁=4; q=-2. Найдите первые пять членов этой прогрессии.

Учитель записывает решение на доске.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Задание 2.

Выполним №387(а), используя рекуррентную формулу.

Прочитайте задание.

Что известно?

Как будете находить2, 3,4,5 члены геометрической прогрессии?

Выполняйте задание

Проверим правильность выполнения задания.

Кто допустил ошибки? Какие? Как исправляли?

2. …фиксация затруднений

Задание 3. В только что выполненном задании найдите 9 член геометрической прогрессии. (возникает проблема)

Как найти 9 член геом. прогрессии?

Чему равен 8 член прогрессии?

Как выйти из создавшейся ситуации?

Как найти 8 член прогрессии?

Чему равен 7 член прогрессии?

Что делать дальше?

Сколько дополнительно надо найти членов прогрессии, чтобы найти 9 член прогрессии?

А чтобы найти 100 член прогрессии?

Удобна для решения таких задач рекуррентная формула?

Как будем выходить из создавшейся ситуации?

4. Построение проекта выхода из затруднения

Как мы поступили в похожей ситуации при изучении арифметической прогрессии?

Чем она хороша?

Оставьте место для решения, мы ещё вернёмся к этой задаче.

Возвращение назад

Мы должны выяснить, как найти любой член геометрической прогрессии, зная предыдущий член прогрессии.

Предшествующий член геометрической прогрессии надо умножить на некоторое число.

Знаменатель геометрической прогрессии

в₂ = в₁ q

в₃ = в₂ q

в₄ = в₃ q

в₉ = в₈ q

в_п+1 = в_п q

в_п+1 – элемент, стоящий на п+1 месте

в_п – элемент, стоящий на п месте (предшествующий элемент)

q - знаменатель геометрической прогрессии

Учащиеся решают устно (цепочкой)

в₂=в₁ q =4 (-2)=-8

в₃=в₂ q =-8 (-2)=16

в₄=в₃ q =16 (-2)=-32

в₅=в₄ q =-32 (-2)=64

Читают задание.

(в_п)-геометрическая прогрессия,

в₁=6;q=2

Предшествующий член геометрической прогрессии умножим на 2.

Выполняют задание самостоятельно.

в₂=в₁ q =6 2=12

в₃=в₂ q =12 2=24

в₄=в₃ q =24 2=48

в₅=в₄ q =48 2=96

Учащиеся сверяют свои ответы с решением на скрытой доске, исправляют ошибки, если они есть.

Надо 8 член умножить на 2

Неизвестно

Найти 8 член прогрессии

Надо 7 член умножить на 2

Неизвестно

Найти 7 член прогрессии. А чтобы найти 7 член прогрессии, надо знать 6 член прогрессии, который тоже неизвестен

3 члена прогрессии

94 члена прогрессии

Нет

Вывели формулу п^го члена.

Она позволяет найти любой член прогрессии, зная первый и разность арифметической прогрессии

VII. Вывод формулы п^го члена геометрической прогрессии.

Как мы выводили формулу п^го члена арифметической прогрессии?

Итак, мы переходим к последнему пункту плана, т.е. к выводу формулы

п^го члена. Давайте поступим по аналогии с арифметической прогрессией.

Выделите полученную формулу рамочкой. Это и есть формула п^го члена геометрической прогрессии.

Записали, как найти 2^й член прогрессии через 1^й и разность; потом – 3^й член прогрессии через 2^й и разность; и т.д.

Затем сравнили полученные результаты; нашли общее в записях и сделали вывод, как найти п^й член прогрессии

1 сильный ученик выполняет задание на доске.

в₂=в₁ q

в₃=в₂ q =(в₁ q) q =в₁ q²

в₄=в₃ q =(в_1q q² ) q =в₁q³

в₅=в₄ q =(в₁ q³ )q =в₁q³

в_п=в₁q^п-1

VIII. Усвоение формулы п^го члена геометрической прогрессии.

Что означает в этой формуле в_в? q? в₁? п?

Вернёмся к последней задаче и по формуле п^го члена найдём в_9.

Молодцы. Вы хорошо потрудились, а сейчас немного отдохнём и при этом послушаем сообщение

о геометрической прогрессии. Обратите внимание: быстро ли «растут» члены геометрической прогрессии?

5. Первичное закрепление

Для того, чтобы лучше усвоить формулу п^го члена геометрической прогрессии, выполним несколько заданий.

Задание 1) №388

а) О чём идёт речь в задаче?

Что задано??

Что надо выразить?

Какой формулой надо воспользоваться?

Что получили?

Как будете выполнять остальные задания?

Выполняйте.

Проверим. У кого получился другой ответ?

Где ошибся?

6 Самостоятельная работа

Задание 2) №389(а).

Что известно? Что надо найти? По какой формуле надо работать? Какие величины будем подставлять в формулу?

Откройте доски, сверим решения

Какие трудности были при выполнении задания? Какие допущены ошибки? Как исправляли?

Задание 3) Выполним №391(а).

Что известно?

Что надо найти?

Всё ли известно, чтобы найти 7 член прогрессии?

Как найти q ?

Обведите формулу в рамочку

Найдите q для нашего задания?

Как найти в₇?

Выполните задание

в₉=в₁ q⁸=6 2⁸=6 256=1536

Слушают сообщение

Отвечают на вопрос

О геометрической прогрессии

Первый член прогрессии с₁ и знаменатель q

Шестой член прогрессии с₆

Формулой п^го члена

с₆=с₁ q⁵

Аналогично

Учащиеся последовательно отвечают на вопросы.

2 учащихся работают на скрытой доске.

х₇=х₁ q⁶=16 (1/2)⁶=16 (1/64)=1/4

Находят и исправляют ошибки, если они есть

Учащиеся объясняют допущенные ошибки и способы их устранения.

(в_п)-геометрическая прогрессия,

в₁=2;в₂=-6

в₇

Неизвестен знаменатель геометрической прогрессии q

Из рекуррентной формулы: q=в_п+1/в_п

q=-6/2=-3

По формуле п^го члена

в₇=в₁ q⁶=2 (-3)⁶=2 729=1458

IX. Подведение итогов урока.

7. Повторение

С каким новым понятием вы сегодня познакомились?

Дайте определение геометрической прогрессии.

Как называется число, на которое умножается предыдущий член прогрессии?

Как он обозначается?

По какой формуле можно находить члены геометрической прогрессии?

Назовите эту формулу?

Только ли по этой формуле?

Назовите её.

Объясните значение каждой буквы в формулах.

Когда по какой формуле удобнее работать?

Чтобы убедиться, что вы хорошо усвоили геометрическую прогрессию, выполним самостоятельную работу.

8. Рефлексия деятельности (итог урока)

Что нового вы узнали на уроке?

Какие затруднения испытали?

Как справились с ними?

Что полезного для себя вы получили сегодня на уроке?

Геометрическая прогрессия

Дают определение

Знаменатель геометрической прогрессии

q

По рекуррентной

в_п+1 = в_п q

по формуле п^го члена

в_п=в₁q^п-1

Объясняют

Если надо найти несколько первых членов прогрессии, то удобнее работать по рекуррентной формуле. Если надо найти отдельные члены прогрессии, то удобнее формула п^го члена.

Ответы учащихся

X. Домашнее задание.

Откройте дневники, запишем домашнее задание.

1) Пункт 18 (определение геометрической прогрессии, вывод рекуррентной формулы и формулы п^го члена)

2) Задача по выбору:

№391 (любая) –легче, №392 (любая)-труднее

3) Придумать свою задачу на геометрическую прогрессию; условие – на листочке, решение – в тетради.