Конспект урока алгебры в 9 классе "Размещение"

Размещение

Цели: ввести понятие размещения из п элементов по k, где k ≤ n; вывести формулу нахождения числа размещений с помощью комбинаторного правила умножения; формировать умение решать комбинаторные задачи с применением данной формулы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Составить всевозможные двухбуквенные слова, используя буквы:

а) ы, т, в (ты; вы); б) н, о, а (но, на, он, ан).

3. Анна (А), Белла (Б) и Вера (В) купили билеты в кинотеатр на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять эти три места.

(Р₃ = 3! = 6: АБВ, АВБ; БАВ, БВА; ВАБ, ВБА.)

III. Проверка домашнего задания.

С обязательным вынесением на доску решения.

№ 750 (б).

Р е ш е н и е

(п + 1)! · п = п! (п + 1) · п п! (п + 1) в п раз.

IV. Объяснение нового материала.

1. Для актуализации знаний предложить для решения № 839 (а, б).

Р е ш е н и е

а) = n + 1;

б) .

2. З а д а ч а. Из четырех конфет – ириска (и), леденец (л), карамель (к), шоколадная (ш) – Марина решила последовательно съесть три. Перечислите все варианты, которыми это можно сделать.

Это задача о выборе трех элементов из четырех с учетом порядка выбора.

Начинаем перечисление с анализа условия: первую конфету можно выбрать одним из четырех способов; для каждой первой конфеты вторую можно выбрать тремя способами из трех оставшихся; для каждой второй третью конфету можно выбрать двумя способами из двух оставшихся. Мы сразу видим количество вариантов – по правилу умножения их 4 · 3 · 2 = 24 – и алгоритм записи в таблицу (в первой строке комбинации, начинающиеся с «и», во второй – с «л» и т. д.).

Каждую такую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением из четырех элементов по три.

3. Определение. Размещением из п элементов по k (k  n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.

О б о з н а ч е н и е. (читается «А из п по k»).

Подчеркиваем, что в этом определении важен не только выбор, но и порядок элементов в выборе.

4. Формулу можно вывести по правилу умножения, причем, для частного случая, мы уже знаем алгоритм. Можно сильному классу попробовать вывести самостоятельно:

– формула вычисления числа размещений из п по k.

Очень важный момент при изучении этой формулы – рассмотреть случай, когда п = k. Тогда получается размещения из п элементов по п отличаются друг от друга только порядком элементов, то есть представляют собой перестановки из п элементов.

Будем считать по определению 0! = 1, в этом случае

, то есть .

5. Рассмотрим примеры 1 и 2 со с. 181–182 учебника.

V. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 754.

Р е ш е н и е

Пронумеруем места в купе (с 1 по 4) и будем «выдавать» каждому из трех членов семьи номер места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться выборки по 3 элемента, при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в ней элементов. Число способов равно числу размещений из 4 по 3:

= 2 · 3 · 4 = 24.

О т в е т: 24 способа.

№ 756, № 757. Самостоятельное решение с последующей проверкой.

При решении этих заданий следует уделять внимание обоснованию выбора формулы для подсчета числа размещений, не допуская формализма.

Ученики могут решить эти задания не только по формуле, но и применяя комбинаторное правило умножения. Следует поощрять и этот способ решения, так как он позволяет осознать структуру самой формулы и лучше ее запомнить.

№ 760.

Р е ш е н и е

а) Выбираем 2 места для фотографий из 6 свободных мест в альбоме:

.

б) Выбираем 4 места для фотографий из 6:

.

в) Выбираем 6 мест из 6 (делаем всевозможные перестановки из 6 фотографий):

= Р₆ = 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

О т в е т: а) 30 способов; б) 360 способов; в) 720 способов.

№ 762.

Р е ш е н и е

а) Выбираем 4 цифры из 5 данных, порядок выбора имеет значение:

= 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

б) Выбираем 4 цифры из 5, но на первое место нельзя выбирать ноль. Используем метод исключения лишних элементов: если на первое место выбран ноль, то после этого выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем = 2 · 3 · 4 = 24 «нулевых» комбинаций, которые недопустимы.

Количество всех четырехзначных чисел, которые можно составить из данных 5 чисел, равно: = 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

Значит, допустимых – = 120 – 24 = 96.

О т в е т: а) 120 чисел; б) 96 чисел.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется размещением из п элементов по k?

– Запишите формулу для вычисления числа размещений из п элементов по k.

– Чему равно 0!? 1!?

Домашнее задание: № 755, № 758, № 759, № 767.