Исследовательский проект по математике "Золотое сечение"

КГУ «Зевакинский комплекс общеобразовательная

средняя школа - детский сад»

Научная работа

Направление: математика

Научный руководитель: Кожевникова Н.А.

Учитель математики

Подготовила: Черских А.А.

Шемонаиха 2015 г.

Содержание

1. «Золотое сечение» в математике …………………………….. 2

2. «Золотое сечение» в скульптуре……………………………... 3

3. «Золотое сечение» в архитектуре……………………………. 4

4. «Золотое сечение» в живописи ………………………………. 6

5. «Золотое сечение» в природе ……………………………….. 8

6. «Золотое сечение» в геометрических задачах …………….. 9

7. Заключение ………………………………………………….. 12

8. Литература ……………………………………………………. 13

Аннотация

Цель: воспользовавшись различной литературой по геометрии, по черчению, различными справочными материалами для более подробного изучения темы «Золотое сечение», дать наиболее полное представление о данной теме; рассмотреть применение «золотого сечения» в архитектуре.

Гипотеза: Мы предполагаем, что данная тема является важной в курсе математики. «Золотое сечение» используется в скульптуре, живописи, математике, архитектуре.

Задачи проекта:

1.Внести понятие «золотое сечение» (немного об истории). Алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого сечения».

2.Рассмотреть применение «золотого сечения» в искусстве Древней Греции.

3.Рассмотрим золотую пропорцию и связанные с нею отношения.

4.Показать применение «золотого сечения» в эпоху Возрождения.

5.Частично изучив архитектуру, указав наиболее известные здания с применением золотого сечения.

Мы занялись подробным изучением темы «Золотое сечение» после того, как однажды на уроках геометрии услышали о широком применении «золотого сечения» в архитектуре. Рассмотрели различные энциклопедические справочники по математики, учебные пособия по геометрии и черчению. Средства ЭТ(компьютер, сканер, копир) позволили нам наглядно представить собранный материал воедино.

Работа выполнялась автором самостоятельно, руководитель рекомендовал литературу и давал необходимые рекомендации. Материал можно использовать на факультативных занятиях по предмету.

Золотое сечение в математике.

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем.

Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое «золотое сечение» - далеко не все. Расскажем вам об этом «драгоценном камне».

«Золотое сечение» - это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая к большей.

Если длину отрезка АВ обозначить через а, а длину отрезка АС – через х, то а-х длина отрезка СВ, из пропорции (1) принимает вид:

х/а= а-х/х

Из этой пропорции следует, что при золотом сечении длина большего отрезка есть среднее геометрическое или, как часто говорят, пропорциональное длин всего отрезка и его меньшей части:

Х =√х (а-х).

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник - выпуклый и звездчатый.

Из подобия треугольников АСD и ABE можем вывести уже известную пропорцию:

AB/AC=AC/BC

Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохранятся.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

«Золотое сечение» в скульптуре.

Скульптурное сооружение, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния.

Ещё в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения.

Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения».

Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самая знаменитая статуя Зевса Олимпийского и Афины Парфенос (которые считались одним из чудес света).

Было проведено большое число измерений на помещённых в журналах крупных портретах мужчин и женщин, на многих их низ указанные отношения представляют «золотое сечение».

«Золотое сечение» в архитектуре.

Парфенон.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (5 в. До н. э.).

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон(синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

Дом Пашкова.

Одним из шедевров архитектуры в Москве – дом Пашкова- является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова. Прекрасное творение вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа.

Баженов говорил: «Архитектура – главнейшее имеет три предмета; красоту, спокойность и прочность здания… К достижению сего служит руководством здание пропорций, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим является рассудок».

«Золотое сечение» в живописи.

«Золотое сечение» в живописи, проглядывалось в работах и творчесте великого Леонардо да Винчи. Он говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Одним из таких портретов является Монны Лизы (Джоконды), долгие годы привлекают внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует много версий об истории этого портрета. Одна из них:

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекало простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

«Золотое сечение» в природе.

«Золотое сечение» - один из основополагающих принципов природы. Красота природных форм во взаимодействии двух физических сил – тяготения и инерции. Золотое сечение – символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный рост побега до зрелости и замедленный рост до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу.

Одним из первых проявления золотого сечения в природе подметил немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1570-1630 гг.). С ХVII в. наблюдение математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

В 1850 г. немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равно примерно 138 градусов.

Допустим, что две соседние ветки растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами – ветками обозначим через а, а угол, дополняющий его до 360 , - через Р.

Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол К – большая часть этой величины.

360/Р=Р/360-Р.

Получаем квадратное уравнение: Р² + 360 – Р360² =0. Положительный корень Р= -180+√180²+360²= 180·±√5= 180·1,236= 222,48.

а=360°-222,48°=137,52°≈138°.

Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.

«Золотое сечение» в геометрических задачах.

Задача 1. На основании АС золотого треугольника АВС как на диаметре построена окружность. Точки пересечения окружностей и боковых сторон- N и Р. Найти периметр фигуры ANPC, где AN и PC- отрезки сторон треугольника, а NP дуга окружности.

Решение. Пусть точка О - середина АС. ANO и CPO равны, и каждый подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия φ/2, Значит, AN = PC·φ/2 Таким образом,

NA + AC + CP= φ + 1 = ФN ∟NOP = 108° значит длина дуги равна: 3π/5.

Ответ: РΔ= Ф + π/5

Задача 2. На рисунке радиус R описанной и радиус r вписанной окружностей золотого треугольника. Доказать что R ∙r = sin18°. Решение. Из треугольника BDO (рис.1) имеем:

R=φ/2 cos18° = 2φ/2√2+φ = φ/√2+φ.

Из треугольника BEO(рис.2):

BO = r/sin18°.

Из треугольника BHC:

BH/HC = ctg18° 2( r + r/sin18°) = ctg18°,

2r(sin18°+ 1) = cos18°, r = cos18°/2sin18°+2.

Подставляя сюда значения sin18° и cos18°,выраженные через φ ,получим:

r = √2+φ/2(φ+1) = √2+φ/2φ².

Перемножим R и r :

= φ/√2+φ ∙√2+φ = 1/2φ = φ/2 = sin18°

Ответ: R = φ/√2+φ, r = √2+φ/2φ².

Заключение.

Мы думаем, что наша работа является мини- пособием для изучения «золотого сечения». Возможно, не все подробно, но в проекте затронуты все опорно- полагающие аспекты. Также мы рассмотрели применение «золотого сечения» в искусстве с древнейших времен до наших дней. Секрет того могучего эмоционального воздействия, которое эти здания открывают на зрителя, многие искусствоведы искали и находили в соотношениях «золотой пропорции».

В нашем проекте мы описали применение «золотого сочения» только на нескольких зданиях, но здания, при построении которых применяли «золотое сечение». Таким образом доказали, что «золотое сечение» играет важную роль в искусстве, в математике, в природе.

«Золотое сечение» используется в живописи, в скульптуре, архитектуре.

Как говорил Иоганн Кеплер : «золотое сечение- действительно является драгоценным камнем».