Использование формул комбинаторики и теории вероятностей при решении прикладных задач

Урок

Класс 11

Тема: Использование формул комбинаторики и теории вероятностей при решении прикладных задач

Цель:

• Формировать навыки решения прикладных задач, используя для решения формулы комбинаторики и теории вероятностей

• Показать, что теория вероятностей представляет собой средство одной из важнейших способностей ума – способности представлять явления в разных комбинациях;

• Дать возможность учащимся численно характеризовать возможность наступления того или иного события;

• Показать практическую направленность науки теория вероятностей;

• Дать пищу естественной любознательности учащихся;

• Создавать благоприятные возможности для активности учащихся.

1. Оргмомент

2. Актуализация знаний и умений учащихся по данной теме

1. Устный опрос учащихся:

• Кто из ученых - математиков является основоположниками теории комбинаторики и теории вероятностей?

• В результате чего началась развиваться эта наука?

• В каких областях современных наук применяется теория вероятностей и комбинаторика?

1. Решение задач :

Задача 1.( у доски один учащийся с последующим обсуждением)

Требуется составить расписание отправления поездов на различные дни недели. При этом необходимо, чтобы: 3 дня отправлялись по 2 поезда в день, 2 дня – по 1 поезду в день, 2 дня по 3 поезда в день. Сколько можно составить различных расписаний?

Обсуждение решения:

• Какую формулу использовали для решения данной задачи? (перестановки и сочетания с заданным числом повторений, т.е. число различных выборок одного состава называется числом перестановок из m элементов с заданным числом повторений n 1,n2,… nk.

Это число вычисляется по формуле

m!

Pm (n1,n2,…nk) = - --------------

n1! n2! …nk!

Решение:

Количество поездов, отправляемых в день ( числа 1.2.3) это 3 группы одинаковых элементов, из которых должна быть составлена выборка. При этом в расписании на неделю число 1 повторяется 2 раза, число 2 повторяется 3 раза, число 3 повторяется 2 раза. Число различных расписаний равно

7!

Р (2,3,2)₌ ------------ ₌ 210

2! 3! 2!

Ответ: можно составить 210 различных расписаний.

Задача 2.( у доски самостоятельно один учащийся, с последующей проверкой)

В первой команде 6 мастеров спорта и 4 перворазрядника, а во второй 6 перворазрядника и 4 мастера спорта. Сборная, составленная из игроков первой и второй команд, содержит 10 человек: 6 человек из первой команды и 4 из второй. Из сборной команды наудачу выбирают одного спортсмена – капитана команды. Какова вероятность того, что он мастер спорта?

Обсуждение решения:

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из нескольких несовместимых событий В1, В2,…Вn, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на условную вероятность события А при условии, что данное событие наступило:

Р(А)=Р(В1)Р(А/В1)+Р(В2)Р(А/В2)+…+Р(Вn)Р(А/В)n

Решение:

Пусть событие Ві (i=1,2) состоит в том, что наугад выбранный спортсмен – член і-й команды. Тогда вероятность событий Ві равны соответственно

Р(В1) = 6/10=3/5

Р(В2)=4/10=2/5

Пусть событие А состоит в том, что наудачу выбранный спортсмен – мастер спорта. Тогда условные вероятности события А при условии, что выполнено событие Ві (т.е. известно, из какой команды спортсмен), равны соответственно

Р(А/В1)=3/5

Р(А/В2)= 2/5

Используя формулу полной вероятности, получаем

Р(А)=3/5 ∙3/5 + 2/5∙2/5 = 13/25

Ответ: 13/25

ІІІ. Сообщение темы и целей урока.

Ожидаемый результат:

• Научимся применять формулы комбинаторики и теории вероятностей к решению прикладных задач;

• Научимся численно характеризовать возможность наступления того или иного события;

• Удостоверимся, что теория вероятностей, представляет собой средство одной из важнейших способностей ума – способности представлять явления в разных комбинациях;

• Рассмотрим практическую направленность науки теория вероятностей;

• Будем развивать любознательность, логическое мышление, память.

Не секрет, что такая наука как теория вероятностей - новая и непривычная для восприятия. Много вопросов возникает по поводу необходимости её изучения, по её практическому применению. С помощью сегодняшнего урока мы определим место изучаемой науки в современном мире.

Группа биографов: (Сведения из истории. Краткая биография Анны Андреевны Ахматовой.)

Анна Андреевна Ахматова (псевдоним; настоящая фамилия – Горенко) родилась 11 июня 1889 года в Одессе, в семье морского инженера. Детские годы прошли в Царском Селе. Окончила Киевскую гимназию, училась на Высших историко-литературных курсах в Петербурге. В 1910-1912 годах путешествовала по Европе. Печататься начала с 1907 года . Умерла Ахматова в Москве, 5 марта 1966 года.

Группа литераторов:

Стихи Ахматовой отличает неповторимое звучание, особая музыкальность, передающая чувство гармонии. Многие произведения поэтессы положены на музыку. (Звучит одно из произведений на слова Ахматовой, например, “Сероглазый король” в исполнении Вертинского. Это произведение и именно в исполнении Вертинского выбрано не случайно: невидимый исполнитель очень талантливо обыгрывает стихотворение).

Группа экспертов:

Применяя числовые характеристики теории вероятностей, рассмотрим одно из произведений Анны Андреевны Ахматовой.. Сразу обратим ваше внимание на то, что с помощью изучаемых нами методов можно определить, действительно ли данное произведение принадлежит автору. В частности, с помощью теории вероятностей доказали, что “Тихий Дон” принадлежит перу Михаила Александровича Шолохова, а не какому-то ни было другому автору. (Один из учащихся читает стихотворение). Посчитаем количество букв в каждом слове первого четверостишия стихотворения.

5 1 4 8 4

Широк и жёлт вечерний свет,

5 10 8

Нежна апрельская прохлада.

2 7 2 5 3

Ты опоздал на много лет,

2 7 4 1 4

Но всё-таки тебе я рада.

Сюда ко мне поближе сядь,

Гляди весёлыми глазами:

Вот эта синяя тетрадь –

С моими детскими стихами.

Прости, что я жила скорбя

И солнцу радовалась мало.

Прости, прости, что за тебя

Я слишком многих принимала.

Выпишем числовой ряд данных:

5 1 4 8 4 5 10 8 2 7 2 5 3 2 7 4 1 4

Генеральная совокупность – это множество всех элементов (предметов), подлежащих изучению. Выборка – та часть генеральной совокупности, с которой непосредственно работает исследователь.

Пример. Генеральная совокупность – это все произведения Анны Ахматовой; выборка – данное стихотворение.

По мере того как мы будем рассматривать новые понятия, мы будем заполнять “паспорт” выборки.

Среднее, среднее значение, математическое ожидание – среднее арифметическое всех результатов, входящих в выборку.

Упорядочим данные:

1 1 2 2 2 3 4 4 4 4 5 5 5 7 7 8 8 10.

Xi

М= ------------------- = 82/18=4,6

n

Вспомним, что

• Мода – наиболее часто встречающееся значение.

М(о)=4

• Медиана – это центральное значение в упорядоченном ряду данных, если n – нечётное, и среднее арифметическое двух центральных значений, если n –чётное.

М(е)= (4+4)/2=4

• Размах ряда – это разность между максимальным и минимальным значением выборки.

R = X max – X min =10 – 1 =9

• Дисперсия – показатель уровня рассеивания данных от среднего значения.

∑ (Xi – M) (Xi – M)

D = ------------------------------- , следовательно

n*

2(1-4,6)(1-4,6)+3(2-4,6)(2-4,6)+(3-4.6)(3-4,6)+ 4*0,6*0,6+3(5-4,6)(5-4,6)+2(7-4,6)(7-4,6)+2*3,4*3,4+

D= ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

18 -1

+(10-4,6)(10-4,6) 25,92+20,28+2,56+1,44+0,48+11,52+23,12+29,16

------------------------- = ---------------------------------------------------------------------- = 6,7

17

Алгоритм нахождения дисперсии. Правило трёх сигм.

δ = √D

1. От каждого значения отнять среднее.

2. Полученную разность возвести в квадрат.

3. Просуммировать квадраты.

4. Разделить на n*, где

n* = n, если n30; n - 1 , если n

Отсюда, δ = √6,7 = 2,6

В промежуток (М - δ , М + δ ) попадает 68,8% всех данных, в промежуток (М -2 δ , М + 2δ )

попадает 94% всех данных.

Вывод:

Математическим методом было проверено, что Анна Андреевна Ахматова употребляет чаще всего слова, состоящие из двух, трёх, четырёх, пяти, шести, семи символов (букв).

Группа критиков:

Мы полностью согласны с таким выводом, и предлагаем в завершении ещё одно четверостишие из поздних произведений Анны Андреевны.

Забудут? – Вот чем удивили!

Меня забывали сто раз.

Сто раз я лежала в могиле,

Где, может быть, я и сейчас.

В этом стихотворении звучит боль и настроение одиночества, так как, к сожалению, Анну Андреевну Ахматову в послевоенное время практически перестали печатать, обвинили в антисоциалистическом настрое. После Анны Андреевны осталась масса переводов восточных и западноевропейских поэтов; статьи, посвящённые творчеству Александра Сергеевича Пушкина. Стихи Анны Ахматовой переведены на многие языки мира.

ІУ. Формирование навыков и учений учащихся решать задачи на применение формул комбинаторики и теории вероятностей.

( пример решения задач приводится на компьютере)

Задача 3.

Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строчка – «Хочу пойти гулять куда-нибудь», а остальные строки все разные и получены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении?

Указание: В строке 4 разных слова, закодируйте их цифрами

Задача 4.

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута

Задача 5.

Человек, пришедший в гости, забыл код, открывающий дверь подъезда, но помнил, что он составлен из нулей и единиц и содержит четыре цифры. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть дверь?

У.Обобщение и систематизація знаний.

На нашем уроке вы увидели, что теория вероятностей не бесполезная бумажная наука, а наука, имеющая практическую направленность, что даёт ей право на жизнь.

УІ. Домашнее задание.

Составить “паспорт” записанного в буклете стихотворения Анны Андреевны Ахматовой.

УІІ. Обучающая самостоятельная работа ( применение комп’ютера)

Министерство образования и науки Украины

Управление образования Ленинского в г. Харькове совета

Харьковская гимназия № 152

Учитель математики

Харьковской гимназии № 152

Пономаренко

Юлия Викторовна