Решение прикладных задач с использованием формул комбинаторики и теории вероятностей

Харьковская гимназия № 152 учитель математики

Пономаренко

Юлия Викторовна

Использование формул комбинаторики и теории вероятностей при решении прикладных задач

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач на перебор различных вариантов, удовлетворяющих каким-либо правилам или условиям.

Блез Паскаль

Пьер Ферма

Октысюк У. С. 2007

Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма и голландский ученый Х. Гюйгенс

Б.Паскаль

П.Ферма

Х. Гюйгенс

Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано с именами советских математиков С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова.

Важнейший этап теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли. Им было дано доказательство частного случая закона больших чисел, так называемой теоремы Бернулли .

Я. Бернулли

А. Н. Колмогоров

С. Н. Бернштейна

Применение теории вероятностей

Теория вероятностей

В гуманитарных

науках(для шифровки

и дешифровки текста

В азартных

играх

В точных

науках

(математике,

физике)

В природоведческих

науках(биология,

генетика)

Актуальность

• В НАШЕ ВРЕМЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ МОГУТ ПРИМЕНЯТЬСЯ В САМЫХ РАЗЛИЧНЫХ И ПОРОЙ НЕОЖИДАННЫХ ОБЛАСТЯХ ЖИЗНИ: ПРИ ИГРЕ НА БИРЖЕВОМ РЫНКЕ, В ИГРОВЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ, В СПОРТЕ, БИЗНЕСЕ. ТАКИМ ОБРАЗОМ, МЫ ПОРОЙ САМИ МОЖЕМ И НЕ ДОГАДЫВАТЬСЯ О ТОМ,ЧТО ПРАКТИЧЕСКИ ЛЮБУЮ СИТУАЦИЮ В ЖИЗНИ МОЖНО РАССЧИТАТЬ, ИСХОДЯ ИЗ УЧЕНИЙ О ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ЧТО ПОДТВЕРЖДАЕТ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕОРИИ В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ!!!

Ожидаемый результат:

• Научимся применять формулы комбинаторики и теории вероятностей к решению прикладных задач;
• Научимся численно характеризовать возможность наступления того или иного события;
• Удостоверимся, что теория вероятностей, представляет собой средство одной из важнейших способностей ума – способности представлять явления в разных комбинациях;
• Рассмотрим практическую направленность науки теории вероятностей;
• Будем развивать любознательность, логическое мышление, память.

• Ахматова

Сероглазый король (1910)

Слава тебе, безысходная боль!

Умер вчера сероглазый король.

Вечер осенний был душен и ал,

Муж мой, вернувшись, спокойно сказал:

«Знаешь, с охоты его принесли,

Тело у старого дуба нашли.

Жаль королеву. Такой молодой!..

За ночь одну она стала седой».

Трубку свою на камине нашел

И на работу ночную ушел.

Дочку мою я сейчас разбужу,

В серые глазки ее погляжу.

А за окном шелестят тополя:

«Нет на земле твоего короля…»

Широк и жёлт вечерний свет

Нежна апрельская прохлада

Ты опоздал на много лет,

Но всё-таки тебе я рада.

Сюда ко мне поближе сядь,

Гляди весёлыми глазами:

Вот эта синяя тетрадь –

С моими детскими стихами.

Прости, что я жила скорбя

И солнцу радовалась мало.

Прости, прости, что за тебя

Я слишком многих принимала.

1915г. 

5 1 4 8 4

Широк и жёлт вечерний свет,

5 10 8

Нежна апрельская прохлада.

2 7 2 5 3

Ты опоздал на много лет,

2 7 4 1 4

Но всё-таки тебе я рада.

Теоретический материал

• Генеральная совокупность – это множество всех элементов (предметов), подлежащих изучению. Выборка – та часть генеральной совокупности, с которой непосредственно работает исследователь.

• По мере того как мы будем рассматривать новые понятия, мы будем заполнять “паспорт” выборки.

• Среднее, среднее значение, математическое ожидание – среднее арифметическое всех результатов, входящих в выборку.

• Мода – наиболее часто встречающееся значение.

М(о)

• Медиана – это центральное значение в упорядоченном ряду данных, если n – нечётное, и среднее арифметическое двух центральных значений, если n –чётное.

М(е)

• Размах ряда – это разность между максимальным и минимальным значением выборки.

R = X max – X min

• Дисперсия – показатель уровня рассеивания данных от среднего значения.

∑ (Xi – M) (Xi – M)

D = -------------------------------

n*

Алгоритм вычисления

Алгоритм нахождения дисперсии.

• 1. От каждого значения отнять среднее.
• 2. Полученную разность возвести в квадрат.
• 3. Просуммировать квадраты.
• 4. Разделить на n*, где

n* = n, если n30; n - 1 , если n

Правило трёх сигм

δ = √ D

Забудут?

– Вот чем удивили!

Меня забывали сто раз.

Сто раз я лежала в могиле,

Где, может быть, я и сейчас.

Задача 3

Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строчка – «Хочу пойти гулять куда-нибудь», а остальные строки все разные и получены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении?

Указание: В строке 4 разных слова, закодируйте их цифрами.

Проверь себя!

Октысюк У. С. 2007

Решение

Хочу пойти гулять куда-нибудь

Хочу пойти куда-нибудь гулять

Хочу гулять пойти куда-нибудь

Хочу гулять куда-нибудь пойти

Хочу куда-нибудь пойти гулять

Хочу куда-нибудь гулять пойти

Пойти хочу гулять куда-нибудь

Пойти хочу куда-нибудь гулять

Пойти гулять хочу куда-нибудь

Пойти гулять куда-нибудь хочу

Пойти куда-нибудь хочу гулять

Пойти куда-нибудь гулять хочу

Гулять хочу пойти куда-нибудь

Гулять хочу куда-нибудь пойти

Гулять пойти хочу куда-нибудь

Гулять пойти куда-нибудь хочу

Гулять куда-нибудь хочу пойти

Гулять куда-нибудь пойти хочу

Куда-нибудь хочу пойти гулять

Куда-нибудь хочу гулять пойти

Куда-нибудь пойти хочу гулять

Куда-нибудь пойти гулять хочу

Куда-нибудь гулять хочу пойти

Куда-нибудь гулять пойти хочу

Октысюк У. С. 2007

• Любое упорядоченное подмножество из m элементов данного множества, содержащая n элементов, где m

Воспользуемся формулой

m

А = n ( n -1)( n -2)…( n - m +1).

n

m

Если m = n , то А =Р = n !

n n

4

А =Р = 4! =1*2*3*4*= 24

4 4

Ответ:

Наибольшее количество строк в стихотворении может быть 24.

Задача 4

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

Октысюк У. С. 2007

Решение

*

Ф

В

Р

В

Р

В

Ф

Ф

Р

В

В

Ф

Ф

Р

Р

ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР

3!=6

Октысюк У. С. 2007

22

Задача 5

Человек, пришедший в гости, забыл код, открывающий дверь подъезда, но помнил, что он составлен из нулей и единиц и содержит четыре цифры. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть дверь?

Октысюк У. С. 2007

22

Используем формулу числа

комбинаций из n элементов по m элементов:

m n !

С = ------------

n m ! ( n - m )!

Отсюда

1 4 2 4*3 3 4*3*2

С =--=4; С =---- =6; С =---------=4.

4 1 4 1*2 4 1*2*3

Следовательно 4+6+4=14(попыток)

Чему сегодня научились на уроке?

• Научились применять формулы комбинаторики и теории вероятностей к решению прикладных задач;
• Научились численно характеризовать возможность наступления того или иного события;
• Удостоверились, что теория вероятностей, представляет собой средство одной из важнейших способностей ума – способности представлять явления в разных комбинациях;
• Рассмотрели практическую направленность науки теории вероятностей;
• Развивали любознательность, логическое мышление, память.

Итог урока

На нашем уроке мы увидели,

что теория вероятностей не бесполезная бумажная наука,

а наука,

имеющая практическую направленность,

что даёт ей право на жизнь.