Факультативное занятие для учащихся 8 класса по теме "Числовые неравенства и их свойства"

Данное факультативное занятие презназначено для учащихся 8 класса. Целью занятия является усвоение смысла понятия «числовое неравенство», познакомиться со свойствами числовых неравенств и уметь их применять при доказательствах и решении задач. Предлагаемые задания соответствуют цели занятия, развивают логическое мышление учащихся.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Факультативное занятие для учащихся 8 класса по теме "Числовые неравенства и их свойства" »

Факультативное занятие по математике для учащихся 8 класса по теме «Понятие числового неравенства»

Цель: усвоить смысл понятия «числовое неравенство», знать свойства числовых неравенств и уметь их применять при доказательствах и решении задач.

Ход занятия

Теоретическая часть

Слово учителя. Для любых неравных действительных чисел а и b можно сказать, какое число больше, а какое — меньше. При решении многих задач важную роль играют следующие утверждения:

1. Два действительных числа а и b равны (обозначают a =b ) тогда и только тогда, когда их разность равна нулю, т. е. а - b = 0.

2. Число а больше числа b (обозначают а b) тогда и только тогда, когда разность а – b положительна, т. е. а – b 0.

3. Число а меньше числа b (обозначают а

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Доказать, что 9920

9920 – 999910 = 9910 × 9910 – (99 × 101)10 = 9910 × 9910 – 9910 × 10110 = =9910(9910 – 10110)

Следовательно, 9920

Пример 2. Доказать, что если |а| 0), то -e

Если а — неотрицательное число, то |а| = а и а 0, тогда а 0, то а = |а|. И из условия а

Свойства числовых неравенств.

Перечислим теоремы, выражающие свойства некоторых числовых неравенств (буквами здесь обозначены действительные числа).

Свойство 1. Если а а; если а b, то b

Свойство 2. Если а

Свойство 3. Если а

Итак, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

Следствие. Любое число можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Свойство 4. Если а bс.

Итак, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число и сохранить знак исходного неравенства, то получится верное неравенство; если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Следствие. Если а и b — положительные числа и а .

Свойство 5. Если а

Итак, если сложить почленно два верных неравенства одного знака и сохранить этот знак, то получится верное неравенство.

Свойство 6. Если а d, то a – c

Итак, два верных неравенства противоположного знака можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого вычитали другое неравенство.

Свойство 7. Если а, b, с, d — положительные числа, а

Итак, если перемножить почленно два верных неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство, имеющее тот же знак, что и данное неравенство.

Следствие 1. Если 0

Следствие 2. Если 0 a b, то a b.

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы на все устные упражнения, приведенные ниже. Затем свои ответы сверьте с ответами товарищей или учителя.

1. Верно ли неравенство:

а) - 5 0;

в) - 127 7; г) – 39

д) 0

ж) 3,89

и) 3≤5

л) - 0, 24 - 0,49; м) - 1,5

2. При каких значениях a верно неравенство:

а) a a?

3. Сравните числа a и b, если разность a – b равна:

а) –0,3; б) 0; в) 7; г) ( ; д)

4. Известно, что a b ). Может ли разность a – b выражаться числом:

а) 0,5; б) –7; в) ( ; г) ; д) -|-8| ?

5. Как расположены на координатной прямой точки, изображающие a и b, если:

а) a - b = -3; б) a - b = 2,5 ;

в) b - a = -2, 7; г) b-a = 0?

6. Объясните, почему можно утверждать, что неравенство верно при любых значениях переменной:

а) x + 210; в) (2 - x)² ≥ 0 ; г) - y² - 3

7. При каких значениях переменной a верно неравенство:

а) - a

8. Укажите наибольшее целое k, удовлетворяющее неравенству:

а) k

г) k ≤ 2; д) k ≤ -0 8, ; е) k

ж) k ≤0; з) k ≤ -p.

9. Укажите наименьшее целое m, удовлетворяющее неравенству:

а) m -3; б) m ³≥ -3;

в) m 0; г) m ³≥ p.

Задание 2. Известно, что a

Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:

а) к обеим частям неравенства прибавить действительное число c;

б) из обеих частей неравенства вычесть действительное число c;

в) обе части неравенства умножить на –3;

г) обе части неравенства разделить на 0,5;

д) обе части неравенства разделить на –1.

Задание 3. Известно, что a

Поставьте вместо * знак так, чтобы получилось верное неравенство:

а) - 17a … - 17b; б) … ; в) - 0,5a … - 0,5b; г) 0,7a … 0,7 b.

Задание 4. Определите знак действительного числа a, если известно, что:

а) 3 a б) 6a a;

в) - 2 a г) -10 a -3 a.

Задание 5. Пусть a — положительное число и a

а) a²

Задание 6. Верно ли, что: если a

Задание 7. Сложите почленно неравенства:

а) 21 3 и 13 4; б) –2

в) 4 –2 и –2 –7; г) –5

Задание 8. Вычтите почленно из первого неравенства второе:

а) 3 1; б) 11 4 и –2

в) 14 –3 и –3 –10 и –6 –17.

Задание 9. Перемножьте почленно неравенства:

а) 7 7 и 3 2;

в) 15 11 и 5 4; г) 2

Задание 10. Пусть а 2, b 3, c 1. Докажите, что:

а) а + b + c 6; б) abc 6;

в) 2аb + 3аbc 30; г) a2 + b2 + c

2 13.

Задание 11. Докажите, что:

а) если а 2 и b 5, то 5а + 2b 20;

б) если а 3, то a2 + 6 ³ 15;

в) если а b, то 1 – а

Задание 12. Верно ли утверждение:

а) если одно действительное число больше другого, то и куб первого числа больше куба второго;

б) если модуль одного действительного числа больше модуля другого, то и квадрат первого числа больше квадрата второго?

Задание 13. Пусть а b и числа а, b — отрицательные.

Докажите, что:

а) аn bn, если n — нечетное натуральное число;

б) аn

Задание 14. 9 ручек стоят дороже, чем 11 карандашей. Что дороже — 15 ручек или 17 карандашей?

Задание 15. Пассажир сдает в багажное отделение рюкзак, чемодан, саквояж и корзинку. Чемодан тяжелее, чем рюкзак, саквояж и рюкзак тяжелее, чем корзинка и чемодан вместе, а корзинка и саквояж вместе весят столько, сколько вместе весят чемодан и рюкзак. Какой из этих грузов самый тяжелый, а какой — самый легкий?