Элементы комбинаторики. Сочетания

Тема «Сочетания»

Определение: Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (неупорядоченные выборки).

В размещении учитывается порядок элементов при выборе, а в сочетаниях – не учитывается.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается : = , которую можно записать также в виде:

= (1)

Кроме того, при решении задач используют следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

= (0 (2) (3)

Примеры:

1. Вычислить: ;

2. Решить систему уравнений:

=66

3. Решить уравнение: =21

4. Сколько вариантов распределения 3х путевок в санаторий различного профиля можно составить для 5 претендентов?

5. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

6. В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

7. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

8. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных б) старосту и его заместителя?

9. Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из указанных букв по три.

10. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

11. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать?

12. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом?

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Основные элементы комбинаторики

Пример 1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение: 

Пример 2. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

Решение: 

Пример 3. В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение:   способов.

Пример 4. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных

Решение:

б) старосту и его заместителя

Решение: 

Пример 5. Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из указанных букв по три.

Решение: Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены, например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не учитываются.

Пример 6. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

Решение:

1)  .

2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти  .

3)  .

Пример 7. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Пример 8. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом?

Решение: если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять.

 переставляются, 4 определенные книги можно переставлять  . Тогда всего перестановок по правилу умножения будет 

Пример 9. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных.

Решение:  .

Белые шары 

Черных шаров 

Тогда 

Пример 10. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый участник сыграл с каждым по одной партии, а партий было сыграно в 10 раз больше числа участников.

Решение: Если участников - n человек, партий будет сыграно   штук.

Составим уравнение  , решив которое, найдем: