Основные элементы комбинаторики и бином Ньютона.Применение комбинаторики и бинома Ньютона в теории вероятности.

Ашық сабақтың технологиялық картасы

Технологическая карта открытого занятия

Пәні / дисциплина :математика

Сабақтың тақырыбы/Тема занятия : «Основные элементы комбинаторики и бином Ньютона. Применение комбинаторики и бинома Ньютона в теории вероятности».

Сабақтың мақсаты / Цель занятия:

білімділік/образовательная: изучить основные элементы комбинаторики- размещения, перестановки, сочетания; изучить понятие факториала; формулу бинома Ньютона; изучить способы решения задач на нахождение числа групп , на вычисление факториала; возведение двучлена в . Закрепить знания, умения и навыки решения задач по данной теме;

тәрбиелік / воспитательная: формирование мировоззрения, сотруднических отношений в классе при решении проблемы, эстетическое воспитание, привитие интереса к предмету;

дамытушылық /развивающая: формирование навыков применения элементов комбинаторики в теории вероятности, развитие мышления и математической речи; развитие исследовательских способностей, навыков самостоятельного решения задач, развитие вычислительных навыков, внимательности, смекалки, и логики.

Сабақтың типі / тип занятия: урок диспут.

Сабақтың түрі / вид занятия: изучение новых знаний.

Сабақтың жабдықталуы / обеспечение занятия:

а)оқу көрнекілік құралдары /учебно-наглядные пособия:презентации;

б)үлестірмелі материалдар /раздаточные материалы: приложение к уроку: учебник алгебра и начала анализа за 10 класс; приложение 1.

в)ТОҚ / ТСО : интерактивная доска, проектор, компьютер, доска.

Пән аралық байланыс/межпредметная связь: высшая математика, основы электротехники и физика.

Қолданылған әдебиеттер/Литература: «Алгебра и начала анализа» 10 класс. Алматы. «Мектеп». 2010 г. Абылкасымова А.Е.

Сабақтың өту барысы / Ход занятия :

I. Ұйымдастыру кезеңі / Организационный момент.

Организация рабочего места, выявление отсутствующих,

сообщение темы и цели урока.(4 минуты).

Сегодня на уроке мы будем изучать основные элементы комбинаторики- размещения, перестановки, сочетания; изучим понятие факториала; формулу бинома Ньютона; изучим способы решения задач на применение элементов комбинаторики , на вычисление факториала, на применение . Закрепим знания, умения и навыки решением задач по данной теме.

II. Оқушылардың біліктілігі мен дағдысын тексеру

Проверка знаний и умений обучающихся: актуализация опорных знаний и постановка проблемы (10 минут).

Давайте рассмотрим и решим 2 примера, и вам будет понятно что изучает комбинаторика.

Сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов?

Задача 1.(приложение 1)

Из букв А,В и С сколько можно составить групп по 2 элемента?

Перечислим их:

Ответ: АВ, АС, ВС, ВА, СА, СВ . Всего 6.

Усложним задание. Решим задачу 2.

Задача 2. (приложение 1)

Из 5 букв нужно составить группы по 3 элемента. (Записать предложенные варианты ответов).

Устно это сделать очень сложно, тем более наша задача- не составить и назвать эти группы, а только узнать, сколько вариантов возможно? Поэтому есть формула для вычисления.

III. Жаңа тақырыптың мазмұны мен жүйесі

Содержание и последовательность изложения новой темы (конспект).(30 минут).

Данное понятие называется «Размещением» (слайд 1: определение размещения).

1 ученик.

Размещениями из n элементов по k элементов называется такие комбинации, каждая из которых, содержит k элементов, и отличаются друг от друга либо составом, либо порядком расположения этих элементов.

Общее число размещений из n элементов по k элементов определяется по формуле:

Здесь = 1*2*3*…*!=1.

Так мы подошли к понятию факториал.

В математике произведение натуральных чисел от 1 до называется факториалом и обозначается !

Примеры:

3! Это 1*2*3 = 6

4! Это 1*2*3*4 = 24

5! Это 1*2*3*4*5 = 120

6! Это 1*2*3*4*5*6 = 720.и т.д.

Составим пример на вычисления факториала:

10! / 8!*2! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 / 1*2*3*4*5*6*7*8 *1*2 = 45.

Или

10! Сократим с 8! и получим произведение 9*10/ 1*2 = 9*5 = 45.

Применяя второй способ записи, решим еще два примера:

6! /4! = 5* 6 = 30.

8! * 6! / 5!*7! = 8 * 6 = 48.

С помощью предложенной формулы решим задачу 1 и 2.

= 2*3 = 6. (задача 1)

= 4*5 = 20. (задача 2) И сверим предложенные варианты ответов.

Следующее понятие- это перестановки.

2 ученик. ( Слайд 2. Определение понятия «перестановки»)

Перестановками из данных элементов называется такие комбинации, каждая из которых содержит все данных элементов и отличаются друг от друга только порядком расположения. Общее число перестановок определяется по формуле:

P_n = n( n-1)... ( n- n +1) = n! или

P_n = n!

Задача.3. (см. приложение 1.)

Сколько различных перестановок можно образовать из букв слов «книга» и «учебник»

n = 5.

P_n = n! P_n = 5! = 1*2*3*4*5 = 120.

n = 7.

P_n = n! P_n = 7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5040.

Рассмотрим понятие: «сочетание» (слайд 3)..

Ученик 3.

Сочетаниями из n по k элементов называется такие комбинации, каждая из которых содержит k элементов и отличается друг от друга только составом элементов.

Общее число сочетаний определяется по формуле:

Рассмотрим формулу тесно связанную с числом сочетаний из n элементов по элементов.

Задача 4. (приложение 1)

Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке, если все три кнопки нажимаются одновременно и всего 10 кнопок.

Решение:

= 8 *9 * 10/ 6 = 120 вариантов.

Из курса алгебры 7 класса вам известны формулы сокращенного умножения. Например, формулы квадрата суммы и куба суммы двучлена:

(х +2у)² = х² +4ху + 4у²

(а - 2)³ = а³ - 3а² 2 +3а 2² - 2³= а³ - 6а²+12а -8.

(а+2у)³ = а³ + 3а²2у +3а(2у)² +(2у)³= а³ + 6а²у +12ау² +8у³.

А как вычислить

(с+а)⁴ =? Или (с+а)⁶ =? Для этого нам надо изучить Бином Ньютона. Слайд (4-6).

Слайд 4. Формула бинома Ньютона имеет вид: (a+b)ⁿ = Сaⁿ+ Сa^n-1 b + Сa^n-2 b² +:.+ Сa^n-r b^r +:.+ Сbⁿ.

Равенство называется формулой бинома Ньютона, числа С- биномиальными коэффициентами.

Свойства: (см слайд 5)

Число слагаемых на 1 больше степени бинома.

Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля.

Коэффициенты симметричны.

Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.

Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.

Определение. Треугольник Паскаля - это треугольник, составленный из чисел, являющихся коэффициентами в формуле бином Ньютона.

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей. (Свойство (1).

Треугольник можно продолжать до бесконечности. (Слайд 6).

Ученик 3. Исторические сведения про И Ньютона и Б. Паскаля. (Слайд 7)

Исаак НЬЮТОН 1643- 1727 г нам знаком больше из предмета физики. Исаак Ньютон - английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Это мы сейчас изучаем в 10-11 классе.

Открыл дисперсию света, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света. Построил зеркальный телескоп. Сформулировал основные законы классической механики. Открыл закон всемирного тяготения, создал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики. Это его труды по физике и астрономии.

Слайд 8.

Блез Паска́ль 1623- 1662 г.

Французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники. В 1641г. сконструировал суммирующую машину. Автор основного закона гидростатики. Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятностей.

Треугольник Паскаля состоит из биномиальных коэффициентов 

Таблицу следует читать по строкам.  В каждом горизонтальном ряду находятся биномиальные коэффициенты для определенного n , при этом k принимает значения от 0 до n .

Применим треугольник Паскаля для решения задач.

Например.

Задача 5.

Запишите разложение двучлена, применяя треугольник Паскаля.

Решение:

Если в левой части «+» поменять на «-», то знаки будут чередоваться, начиная с «+».

IV. Жаңа материалды бекіту,біліктілік пен дағдыны қалыптастыру

Закрепление нового материала ,формирование умений и навыков. (20 мин)

Приведем примеры.

Если в левой части «+» поменять на «-», то знаки будут чередоваться, начиная с «+».

Почему? Потому что второе выражение стоящее в скобках со знаком «-» в нечетной степени дает знак «-», а в четной степени знак «+».

Приведем примеры:

Далее работаем с учебником. Решаем № 322.323.

Вычислите; Р₆.

Докажите тождество:

Решение:

P_n = n! Р₆= 6!=1*2*3*4*5*6= 720.

Сабақтың қорытындысы / Подведение итогов занятия: (4 мин). выставление оценок.

1 Изучили основные понятия комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки;

2. Изучили понятие факториала;

3. Изучили бином Ньютона, разложение бинома;

4. Решали задачи на усвоение и закреплене материала по теме различными способами;

Рефлексия. ( слайд 9).(5 мин).

Я узнала....

Я запомнила....

Элементы теории вероятности: это......

Бином Ньютона можно представить в виде......

Узнала, что факториал- это........

Можно применить........

Бағалау / оценка : ___________

V.Үй тапсырмасы / Дом.задание: (7 минут). Учебник алгебра 10 кл.

Стр 155-168. № 325, № 330, 332.

Коментарий по выполнени. д/з.

Вычислить число перестановок. Сочетаний и перемещений, применяяя знание вычисления факториала. Возведение суммы (разности) в n-ю степерь, применяя бином Ньютона.

Решение примеров на применение бинома Ньютона.

Решение задач на закрепление знаний и умений по теме урока.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Задача 1.(приложение 1)

Из букв А,В и С сколько можно составить групп по 2 элемента?

Перечислим их:

Ответ:

Задача 2. (приложение 1)

Из 5 букв нужно составить группы по 3 элемента.

Задача.3. (см. приложение 1.)

Сколько различных перестановок можно образовать из букв слов «книга» и «учебник»?

Задача 4. (приложение 1)

Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке, если все три кнопки нажимаются одновременно и всего 10 кнопок.

Задача 5.

Запишите разложение двучлена, применяя треугольник Паскаля.

Слайд 1

Слайд 2.

Слайд 3.

Слайд 4.

Слайд 5.

Слайд 6.

Слайд 7.

Слайд 8.

Слайд 9.