Числовая функция у = sin x, её график и свойства.

Тригонометрические функции числового аргумента.

График и свойства функции у = sin x.

Цели урока:

1. Повторить и систематизировать знания об основных тригонометрических формулах и их применении.

2. Ввести понятие функции у = sin x. Научиться строить график данной функции. Изучить свойства данной функции.

3. Совершенствовать умения применять основные формулы тригонометрии при решении примеров.

Дополнительное оборудование: компьютер, проектор, слайд-презентация к уроку, раздаточный материал на напечатанной основе с заданиями для самостоятельной работы.

Тип урока: комбинированный. Проверка знаний и умений студентов по пройденному материалу. Изложение нового материала. Первичное закрепление изученного учебного материала.

План урока:

1.Организационный момент, сообщение темы и цели урока.

2. Проверка домашнего задания.

3. Проверка знаний и умений по пройденному материалу.

4. Изложение нового материала.

5. Закрепление нового материала.

6. Применение полученных знаний.

7. Контроль и самопроверка.

8. Коррекция деятельности.

9. Подведение итогов.

10. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.

2. Проверка домашнего задания. Выборочно собрать тетради с домашним заданием у 3-4 студентов. Остальные, если не возникло вопросов по выполнению домашнего задания, в это время повторяют основные формулы тригонометрии.

3. Проверка знаний и умений по пройденному материалу.

Опрос - беседа по следующим вопросам:

1). Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса;

2). Градусная и радианная меры углов;

3). Знаки функций по четвертям.

1). Учитель: - Продолжая изучение алгебры, мы начали с вами знакомство с курсом алгебры и начал анализа. Первая тема, которую будем изучать – тригонометрические функции числового аргумента. В школьном курсе алгебры вам уже ввели понятия о данных функциях. Теперь мы должны будем подробно изучить каждую функцию, ее основные свойства, а также научиться строить графики этих функций. Кто мне скажет, сколько существует основных функций и как они называются?

Студенты:- Существует 4 основные функции тригонометрии: синус, косинус, тангенс и котангенс.

На интерактивной доске появляется слайд-презентация к этому вопросу.

Учитель: -Чтобы четко понимать, что же это за функции, и каким образом можно их получить, давайте рассмотрим треугольник АВС с острым углом α. Теперь, опираясь на свои знания по геометрии из школьного курса, дайте мне определение для каждой функции? На интерактивной доске появляется слайд-презентация к этому вопросу.

Студенты:

-Синус угла α – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус угла α – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенс угла α– это отношение прилежащего катета к противолежащему. Учитель: -Из данных определений функций следуют основные тригонометрические тождества (на интерактивной доске появляется слайд-презентация к этому вопросу)

Запишите их в тетради. К ним мы вернемся позже, а пока рассмотрим следующий вопрос.

Если мы изобразим треугольник АВ₁С₁ подобный данному, с фиксированным углом α, то нетрудно увидеть, что синус и косинус зависят лишь от угла α и не зависят от размеров треугольника.

Поэтому при изучении свойств синуса и косинуса можно в качестве гипотенузы брать радиус r = 1 окружности, т. е. отсчитывать углы, пользуясь единичной окружностью. Если полный оборот такого радиуса относительно центра круга считать углом в 360°, то ясно, что любой угол можно измерить в градусах. Обычно отсчет ведется от направления оси Ох, начиная от 0°, причем поворот радиуса против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке - отрицательным.

2). Вот мы подошли ко второму вопросу, поставленному перед нами, - градусной и радианной мерам углов. Как оказалось на практике, градусная мера угла не всегда удобна, прежде всего потому, что определенные ранее нами синус и косинус не попадают в класс функций действительного переменного, для которых аргументом являются числа, а не элементы других множеств (в данном случае углов, поскольку

1 градус- это угол, получаемый в результате разделения круга радиусом на 360 равных частей). Например, если числа мы можем умножать и складывать, то с углами проделать те же операции невозможно. В итоге запись sin (α · β), где α и β – углы, смысла иметь не будет.

Поэтому вводят еще числовую меру углов, называемую радианной.. Делается это путем построения

следующего изображения (на интерактивной доске появляется слайд-презентация к этому вопросу).

Каждому углу α сопоставляется длина дуги х единичной окружности. Например, при α = 90° х = π/2; при α = 45° х = π/4; при α = 180° х = π.

3). И, наконец, третий вопрос - знаки функций по четвертям.

Первоначально знаки синуса и косинуса были определены лишь для острых углов. Теперь появляется возможность расширить это определение. Для этого достаточно поместить центр окружности в начало координат и брать величины а и b в соответствии с теми знаками, которые будут иметь проекции точек окружности на оси координат.

(на интерактивной доске появляется слайд-презентация по данному вопросу).

Таким образом, знаки функций по четвертям будут располагаться следующим образом:

(на интерактивной доске появляется слайд-презентация по данному вопросу)

Аналогично можно рассчитать знаки для тангенса и котангенса.

Также для дальнейшего изучения материала вам понадобится знание таблицы значений тригонометрических функций. Ее вы тоже изучали в рамках школьного курса. Заданием вам на дом было повторение данной таблицы. Чтобы проверить, как вы справились с ним, я предлагаю вам заполнить следующие таблицы. В одной колонке уже вписаны значения радианной меры углов, в другой вы самостоятельно дописываете то значение функции, которое она будет принимать.

4. Изложение нового материала. Функция у = sin x.

Учитель:- Давай с вами сначала вспомним, что же такое функция? Кто даст мне точное определение функции?

Студенты:- Функция – это зависимость переменной У от переменной Х, причем такая, что каждому значению переменной Х соответствует единственное значение переменной У.

Учитель:- Совершенно верно. Так как мы для удобства ввели радианную меру углов, то, основываясь на это, строят график функции синуса. Делается это путем построения следующего отображения множества углов в числовое множество. Другими словами градусы переводят в числа.

Рассмотрим функцию у = sin x. Теперь дадим определение этой функции. Числовая функция, заданная формулой у = sin x, называется синусом. Запишите определение синуса в тетради.

Свойства функции у = sin x.

Учитель:- Рассмотрим свойства функции у = sin x. (на интерактивной доске появляется слайд- презентация по данному вопросу)

1) Область определения этой функции – множество всех действительных чисел.

Обозначается: D (sin x) = R.

(R – множество всех действительных чисел)

2) Областью значения функции синус является отрезок [- 1; 1], поскольку и ординаты, и абсциссы точек единичной окружности принимают все значения от -1 до 1.

Обозначается: Е (sin x) = [- 1; 1].

3) Следовательно, функция имеет период 2π, т. е. ее значения повторяются при сдвиге аргумента вдоль оси 0х на любое число, кратное 2π. Отсюда следует еще одно свойство функции синуса:

sin (x + 2πn) = sin x (n – произвольное целое число);

3) Еще известными свойствами этой функции является то, что для любого х справедливы следующие равенства:

sin (-x) = - sin x;

sin x = 0, при х = πn, n € Z (Z – множество всех целых чисел);

sin x = 1, при х = π/2 + 2πn, n € Z;

sin x = -1, при х = - π/2 + 2πn, n € Z;

Исходя из этих свойств функции, можно сделать вывод:

1) на отрезке [- π/2; π/2] функция синуса является строго монотонно возрастающей;

2) функция четная;

3) периодическая, с установленным периодом 2π.

4) функция непрерывна.

График функции у = sin x.

Построим теперь график функции синуса на отрезке [0; 2π]. Для этого отметим на оси ординат точки с координатами (0;-1) и (0;1), а на оси абсцисс - точку с абсциссой 2π. Для построения точки графика с абсциссой α воспользуемся определением синуса на множестве действительных чисел. Отметим точку Р_α на единичной окружности и проведем через эту точку прямую, параллельную оси абсцисс (0х). Точка пересечения этой прямой и прямой х = α искомая, так как ее ордината совпадает с ординатой точки P_α, а по определению sin α равен ординате Р_α (на интерактивной доске появляется слайд-презентация по данному вопросу).

На рисунке показано построение нескольких точек графика. Соединяя их плавной линией, получаем эскиз графика функции синуса на отрезке [0; 2π]. А так как из свойств этой функции мы знаем, что синус – функция периодическая с установленным периодом 2π, то на всей прямой с помощью параллельных переносов вдоль оси 0х (вправо и влево) строим график функции.

Определение: график функции у = sin x называется синусоидой. Отрезок [- 1; 1] оси ординат, с помощью которого мы находим значения синуса, иногда называют линией синусов (на интерактивной доске появляется слайд-презентация по данному вопросу).

5. Закрепление нового материала.

Учитель: -Ребята, мы с вами рассмотрели числовую функцию, заданную формулой у = sin x. Разобрались, какими свойствами обладает данная функция, научились строить ее график. А теперь ответьте мне на следующие вопросы:

а) какой период задан для функции синуса?

б) зачем вводится радианная мера углов?

в) какой отрезок является областью значения для данной функции?

Студенты: а) 2π

б) градусная мера угла не всегда удобна, поэтому вводят еще числовую меру углов, называемую радианной.

в) [- 1; 1]

Как видно из ваших ответов, данную тему вы усвоили хорошо.

6. Применение полученных знаний.

Учитель: -Теперь попробуем с вами применить полученные знания при выполнении заданий.

Задание: Найдите область определения и область значения функции у = 2 sin x. Постройте ее график (на интерактивной доске появляется слайд-презентация к данному заданию).

Задания для самостоятельной работы:

• І вариант

Найдите область определения и область значения функции у = 1/2 sin x. Постройте ее график.

• ІІ вариант

Найдите область определения и область значения функции у = 3 sin x. Постройте ее график.

7. Контроль и самопроверка.

Учитель:- Ребята, а теперь поменяйтесь тетрадями и самостоятельно проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.

8. Коррекция деятельности.

Выяснить какие возникли проблемы или недочеты во время выполнения заданий самостоятельной работы.

9. Подведение итогов.

Учитель:

1. -Ребята, сегодня наше занятие, на мой взгляд, прошло результативно. Вами хорошо усвоена данная тема. Вы с успехом справились с поставленными перед вами целями. То есть,:1) повторили и систематизировали знания о мерах углов, понятии синуса, косинуса, тангенса и котангенса;

2) ввели понятие функции синуса;

3) научились строить график функции у = sin x;

4) изучили свойства функции у = sin x.

2. Выставление оценок.

10. Домашнее задание.

Д/З под запись: 1) выучить свойства функции у = sin x;

2) найдите область определения и область значения функций: у = -1/2 sin x, у = sin 3x, у =3 + sin x; постройте их графики. (Задание сопровождается комментарием преподавателя).

.

8