Проектная работа. «Разработка контрольных измерительных материалов по математике

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Билярская средняя общеобразовательная школа

Алексеевского района Республики Татарстан

Проектная работа

«Разработка контрольных измерительных материалов по математике

для подготовки к ОГЭ»

Выполнила:

учитель математики Гатауллина Фания Хамитовна

2017 год

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………3

2.Спецификация контрольных измерительных материалов

для проведения в 2017 году основного государственного

экзамена по математике…………………………………………………...5

3.Критерии оценивания………………………………………………........7

4.Приложение 1. Контрольно- измерительные материалы ОГЭ по математике…………………..…………………………………………….8

5. Приложение 2. Ключи к заданиям…………………………………….18

6. Список использованных источников литературы и интернет- ресурсы…………………………………………………………………….23

Введение

Основной идеей федерального компонента государственного образовательного стандарта по математике является развитие логического мышления, пространственного воображения, критического мышления, овладения математическими знаниями и умениями на всех ступенях обучения, использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности.

Очень большой блок заданий связан с решением текстовых задач. Решение задач способствует развитию логического и образного мышления, повышает эффективность обучения математике и смежным  дисциплинам.

Актуальность выбранной темы проектной работы обусловлена:

• реальной возможностью практической реализации проекта;

• развитием лучших дидактико-методических образцов реализации предметной формы знания;

• открытостью характера и интерактивной стратегией преподавания;

Условия выбора:

• наличие дополнительных источников информации (справочная литература, Интернет-ресурс и т.д.);

• достаточное пространство для работы;

• широкие возможности для творчества;

Проблема проекта:

1. Привить интерес к науке математика.

2. Расширить мировоззрение учащихся.

3. Раскрыть познавательные способности, улучшить качество знаний учащихся.

Цель проекта:

• способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, развивать умение анализировать задачные ситуации, строить для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Задачи:

• воспитывать логическую и эстетическую культуру, создавая благоприятный эмоциональный фон обучения, вызывая интерес к процессу поиска решения задач и к самому учебному предмету-математике.

• обогащать опыт мыслительной, культурно-исторической деятельности ученика, используя разнообразные исторические и современные задачи.

• раскрытие внутренних ресурсов личности ученика, выявление заложенных способностей

• помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Целевая группа проекта: школьники 15-16 лет

Объект исследования: Сборник типовых заданий по математике для подготовки по ОГЭ учащихся 9-х классов.

Предмет исследования: контрольные измерительные материалы для результативности освоения основной образовательной программы.

Методы исследования: анализ и классификация измерительных материалов, методической и учебной литературы.

Предполагаемые продукты

• Типология задач и ключи к их решению.

• Разработка методики решения задач, используемых в ОГЭ.

Ожидаемые результаты: успешная сдача ОГЭ

Методический продукт

Разработки контрольных измерительных материалов для 9 класса, в 2 вариантах.

Спецификация

контрольных измерительных материалов для проведения

в 2017 году основного государственного экзамена

по МАТЕМАТИКЕ

1. Назначение КИМ ОГЭ – оценить уровень общеобразовательной подготовки по математике выпускников IX классов общеобразовательных организаций в целях государственной итоговой аттестации выпускников. Результаты экзамена могут быть использованы при приёме обучающихся в профильные классы средней школы.

ОГЭ проводится в соответствии с Федеральным законом от 29.12.2012

№ 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации».

2. Документы, определяющие содержание КИМ

Содержание экзаменационной работы ОГЭ определяется на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего образования по математике (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального, общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).

Кроме того, в экзаменационной работе нашли отражение концептуальные

положения Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 № 1897«Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования»). КИМ разработаны с учётом положения о том, что выпускники должны: овладеть специфическими для математики знаниями и видами деятельности; научиться преобразованию знания и его применению в учебных ситуациях; сформировать качества, присущие математическому мышлению, овладеть математической терминологией, ключевыми понятиями, методами и приёмами.

3. Подходы к отбору содержания, разработке структуры КИМ

Структура КИМ ОГЭ отвечает цели построения системы дифференцированного обучения математике в современной школе. Дифференциация обучения направлена на решение двух задач: формирования у всех обучающихся базовой

математической подготовки, и одновременного создания условий, способствующих получению частью обучающихся подготовки повышенного уровня, достаточной для активного использования математики во время дальнейшего обучения, прежде всего при изучении её в средней школе на профильном уровне.

В целях обеспечения эффективности проверки освоения базовых понятий

курса математики и преподавания интегрированного курса математики в экзаменационной работе выделено три модуля: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика».

4. Связь экзаменационной модели ОГЭ с КИМ ЕГЭ

Содержательное единство государственной итоговой аттестации за курс

основной и средней школы обеспечивается общими подходами к разработке кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников по математике. Оба кодификатора строятся на основе раздела «Математика» Федерального компонента государственного стандарта общего образования.

5. Характеристика структуры и содержания КИМ

Работа состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». В модули «Алгебра» и «Геометрия» входит две части, соответствующие проверке на базовом и повышенном уровнях, в модуль «Реальная математика» – одна часть, соответствующая проверке на базовом уровне.

При проверке базовой математической компетентности обучающиеся должны продемон-стрировать: владение основными алгоритмами; знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, приёмов решения задач и проч.); умение пользоваться математической записью, применять знания к решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях.

Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне. Их назначение – дифференцировать хорошо успевающих школь-ников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленную часть выпускников, сос-тавляющую потенциальный контингент профильных классов. Эти части содержат задания повышенного уровня сложности из различных разделов курса математики. Задания распо-ложены по нарастанию трудности – от отно-сительно простых до сложных, предполагающих свободное владение материалом курса и хороший уровень математической культуры.

Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 – 8 заданий; в части 2 – 3 задания.

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части 1 – 5 заданий; в части 2 –3 задания.

Модуль «Реальная математика» содержит 7 заданий.

Всего в работе 26 заданий, из которых 20 заданий базового уровня, 4 задания повышенного уровня и 2 задания высокого уровня.

На выполнение работы отводится 235 минут.

Критерии оценивания

Максимальное количество баллов, которое можно получить за выполнение всей работы, - 32 балла. Из них - за модуль «Алгебра» - 14 баллов, за модуль «Геометрия» - 11 баллов, за модуль «Реальная математика» - 7 баллов.

Минимальный порог - 8 баллов, набранные по всей работе, из них – не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная математика».

Шкала пересчёта суммарного балла за выполнение экзаменационной работы в целом в отметку по математике

0-7 баллов – отметка «2», 8-14 баллов – отметка «3», 15-21 баллов – отметка «4»

22-32 баллов – отметка «5»

Основные проверяемые требования к работе

№ задания	Элементы содержания, проверяемые заданиями работы
1	Арифметические действия с десятичными дробями
2	Изображение чисел точками координатной прямой. Понятие об иррациональном числе.
3	Свойства степени.
4	Рациональные уравнения, корень уравнения
5	Графики линейной функции
6	Арифметическая и геометрическая прогрессия. Формула общего члена Арифметической и геометрической прогрессии
7	Преобразования выражений
8	Неравенство с одной переменной. Решение неравенства
9	Равносторонний треугольник, его свойства и признаки
10	Центральный, вписанный угол; величина хорды и радиуа
11	Площадь трапеции, ромба.
12	Фигуры на квадратной решётке
13	Геометрические фигуры и их свойства.
14	Представление данных в виде таблиц,
15	Представление данных в виде графиков.
16	Нахождение процента от величины. Решение практических задач.
17	Решение практических расчетных задач.
18	Представление данных в виде диаграмм.
19	Нахождение вероятности.
20	Практические расчеты по формулам.
21	Системы неравенств
22	Решение текстовых задач с помощью уравнения.
23	Построение и чтение графиков функций, построение и исследование простейших математических моделей.
24	Выполнение действий с геометрическими фигурами.
25	Доказательные рассуждения при решении задач, оценивание логических рассуждений, распознавание ошибочных заключений.
26	Выполнение действий с геометрическими фигурами.

Вариант 1

Модуль «Алгебра»

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

2. Одна из точек, от­ме­чен­ных на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, со­от­вет­ству­ет числу 

Какая это точка?

 

1) точка A

2) точка B

3) точка C

4) точка D

1. 1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

 

1)

2) −5

3)

4) 5

1. Ре­ши­те урав­не­ние (x + 2)² = (x − 4)².

2. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

 

Функ­ции

 

А) y = −2x − 4

Б) y = −2x + 4

В) y= 2x − 4

 

Гра­фи­ки

 

1)  2)  3) 

 

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

1. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­я­ми:  . Най­ди­те сумму пер­вых 19 её чле­нов.

2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при ,  .

3. Ре­ши­те не­ра­вен­ство  и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

Модуль «Геометрия»

9. Пе­ри­метр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен 30. Най­ди­те его высоту, делённую на .

Ответ ___________

10. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

Ответ ___________

11. Диа­го­наль AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 25° и 30°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ ___________

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см × 1см изоб­ра­же­н ромб. Най­ди­те его пло­щадь. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

 

1) Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая из вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части.

2) В любом пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3) Для точки, ле­жа­щей на окруж­но­сти, рас­сто­я­ние до цен­тра окруж­но­сти равно ра­ди­у­су.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их но­ме­ра в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ответ ___________

Модуль «Реальная математика»

14.Биз­не­смен Пет­ров вы­ез­жа­ет из Моск­вы в Санкт-Пе­тер­бург на де­ло­вую встре­чу, ко­то­рая на­зна­че­на на 9:30. В таб­ли­це дано рас­пи­са­ние ноч­ных по­ез­дов Москва — Санкт-Пе­тер­бург.

 

Номер по­ез­да	От­прав­ле­ние из Моск­вы	При­бы­тие в Санкт-Пе­тер­бург
038А	00:43	08:45
020У	00:53	09:02
016А	01:00	08:38
116С	01:00	09:06

 

Путь от вок­за­ла до места встре­чи за­ни­ма­ет пол­ча­са. Ука­жи­те номер са­мо­го позд­не­го (по вре­ме­ни от­прав­ле­ния) из мос­ков­ских по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят биз­не­сме­ну Пет­ро­ву.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

1) 038А

2) 020У

3) 016А

4) 116С

Ответ ___________

15. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик из­ме­не­ния силы тока при под­клю­че­нии цепи, со­дер­жа­щей рео­стат, к ис­точ­ни­ку тока. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся сила тока   (в A), по го­ри­зон­таль­ной — время   (в сек). По ри­сун­ку опре­де­ли­те силу тока через 4 се­кун­ды с мо­мен­та под­клю­че­ния дан­ной цепи

Ответ ___________

16. Для фрук­то­во­го на­пит­ка сме­ши­ва­ют яб­лоч­ный и ви­но­град­ный сок в от­но­ше­нии 13:7. Какой про­цент в этом на­пит­ке со­став­ля­ет ви­но­град­ный сок?

Ответ ___________

17. Прин­тер пе­ча­та­ет одну стра­ни­цу за 12 се­кунд. Сколь­ко стра­ниц можно на­пе­ча­тать на этом прин­те­ре за 8 минут?

Ответ ___________

18.  На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 9 млн поль­зо­ва­те­лей.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

 

1) Поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си мень­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше чет­вер­ти об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей.

3) Поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Фин­лян­дии.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше 4 мил­ли­о­нов.

Ответ ___________

19. Ве­ро­ят­ность того, что новая ша­ри­ко­вая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет одну такую ручку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что эта ручка пишет хо­ро­шо.

Ответ ___________

20. Зная длину сво­е­го шага, че­ло­век может при­ближённо под­счи­тать прой­ден­ное им рас­сто­я­ние s по фор­му­ле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое рас­сто­я­ние прошёл че­ло­век, если l = 70 см, n =1400 ? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.

Ответ ___________

2 часть

Модуль «Алгебра»

21. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств  

22. Име­ет­ся два спла­ва с раз­ным со­дер­жа­ни­ем меди: в пер­вом со­дер­жит­ся 60%, а во вто­ром — 45% меди. В каком от­но­ше­нии надо взять пер­вый и вто­рой спла­вы, чтобы по­лу­чить из них новый сплав, со­дер­жа­щий 55% меди?

23. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

Модуль «Геометрия»

24. Окруж­ность с цен­тром на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через вер­ши­ну C и ка­са­ет­ся пря­мой AB в точке B. Най­ди­те AC, если диа­метр окруж­но­сти равен 15, а AB = 4.

25. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

26. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции от­но­сят­ся как 2:3. Через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям. В каком от­но­ше­нии эта пря­мая делит пло­щадь тра­пе­ции?

Вариант 2

Модуль «Алгебра»

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

2. Одна из точек, от­ме­чен­ных на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, со­от­вет­ству­ет числу 

 

Какая это точка?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

1) точка A

2) точка B

3) точка C

4) точка D

1. Вы­чис­ли­ть.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

 

1) 

2) 

3) 

4) 

1. Ре­ши­те урав­не­ние (x − 9)² = (x − 3)².

2. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

Функ­ции

А) y = −2x + 4

Б) y = 2x − 4

В) y= 2x + 4

 

 

Гра­фи­ки

 

 

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В

6. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия (b_n), зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 2, а . Най­ди­те сумму пер­вых шести её чле­нов.

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  при 

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

 

и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

Модуль «Геометрия»

9. Пе­ри­метр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен 60. Най­ди­те его высоту, делённую на

Ответ ___________

10. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ответ ___________

11. Диа­го­наль BD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 65° и 50°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ ___________

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см × 1см изоб­ра­же­н ромб. Най­ди­те его пло­щадь. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах..

Ответ ___________

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

 

1) Цен­тры впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка сов­па­да­ют.

2) Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся ром­бом.

3) Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180° .

 

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их но­ме­ра в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ответ ___________

Модуль «Реальная математика»

14.Сту­дент Пет­ров вы­ез­жа­ет из Наро-Фо­мин­ска в Моск­ву на за­ня­тия в уни­вер­си­тет. За­ня­тия на­чи­на­ют­ся в 9:00. В таб­ли­це при­ве­де­но рас­пи­са­ние утрен­них элек­тро­по­ез­дов от стан­ции Нара до Ки­ев­ско­го вок­за­ла в Москве.

 

От­прав­ле­ние от ст. Нара	При­бы­тие на Ки­ев­ский вок­зал
06:35	07:59
07:05	08:15
07:28	08:30
07:34	08:57

 

Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 40 минут. Ука­жи­те время от­прав­ле­ния от стан­ции Нара са­мо­го позд­не­го из элек­тро­по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят сту­ден­ту.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 

1) 06:35

2) 07:05

3) 07:28

4) 07:34

Ответ ___________

15. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик из­ме­не­ния силы тока при под­клю­че­нии цепи, со­дер­жа­щей рео­стат, к ис­точ­ни­ку тока. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­дыва­ет­ся сила тока (в A), по го­ри­зон­таль­ной — время (в сек). По ри­сун­ку опре­де­ли­те силу тока через 6 се­кунд с мо­мен­та под­клю­че­ния дан­ной цепи.

Ответ ___________

16. Для при­го­тов­ле­ния фарша взяли го­вя­ди­ну и сви­ни­ну в от­но­ше­нии 7:13. Какой про­цент в фарше со­став­ля­ет сви­ни­на?

Ответ ___________

17. Прин­тер пе­ча­та­ет одну стра­ни­цу за 14 се­кунд. Сколь­ко стра­ниц можно на­пе­ча­тать на этом прин­те­ре за 7 минут?

Ответ ___________

18.  На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Ка­зах­ста­на.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии вдвое боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны.

3) При­мер­но треть поль­зо­ва­те­лей — не из Рос­сии.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си более 3 млн че­ло­век.

Ответ ___________

19. Ве­ро­ят­ность того, что новая ша­ри­ко­вая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,06. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет одну такую ручку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что эта ручка пишет хо­ро­шо.

Ответ ___________

20. Зная длину сво­е­го шага, че­ло­век может при­ближённо под­счи­тать прой­ден­ное им рас­сто­я­ние s по фор­му­ле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое рас­сто­я­ние прошёл че­ло­век, если l = 80 см, n = 1600? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.

Ответ ___________

2 часть

Модуль «Алгебра»

21.Решить систему

22.При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 20%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 50%, по­лу­чи­ли рас­твор, со­дер­жа­щий 30% кис­ло­ты. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

23. По­строй­те гра­фик функ­ции  И опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Модуль «Геометрия»

24. Окруж­ность с цен­тром на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через вер­ши­ну C и ка­са­ет­ся пря­мой AB в точке B. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти, если AB = 15, AC = 25.

25.На стороне АС треугольника АВС отмечены точки Д и Е так, что АД=СЕ. Докажите, что если ВД = ВЕ, АВ =ВС

26. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции от­но­сят­ся как 1:2. Через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям. В каком от­но­ше­нии эта пря­мая делит пло­щадь тра­пе­ции?

Ключи к заданиям

№ задания	Вариант 1	Вариант 2
1	0,84	0,44.
2	1	4
3	3	4
4	1	6
5	123	432
6	95	-47,25
7	1,5	1
8	4	1
9	5	15
10	8	5
11	125	65
12	96	48
13	13	3
14	3	2
15	3	4
16	55	85
17	40	40
18	2	3
19	0,81	0,73
20	0,98	1,125
21	(-6;-5)	(−9; −5).
22
23		−1; 3.
24	16	16
25
26	44:81.	7:20

Решения

Вариант 1

21. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

 

 

Ответ: (-6;-5)

22. Пусть пер­вый сплав взят в ко­ли­че­стве x кг, тогда он будет со­дер­жать 0,6x кг меди, а вто­рой сплав взят в ко­ли­че­стве y кг, тогда он будет со­дер­жать 0,45y кг меди. Со­еди­нив два этих спла­ва, по­лу­чим сплав меди мас­сой x + y, по усло­вию за­да­чи он дол­жен со­дер­жать 0,55(x + y) меди. Сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

 

 

Вы­ра­зим x через y:

 

Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние, в ко­то­ром нужно взять спла­вы:

 

 

Ответ: 

23. Упро­стим вы­ра­же­ние:

 

 

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции  с вы­ко­ло­тыми точ­ками  и  По­стро­им гра­фик функ­ции (см. ри­су­нок).

 

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

 

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая  имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно две общие точки при  при­над­ле­жа­щем про­ме­жут­ку 

 

Ответ: 

24.Решение:

AD для треугольника ABM является и медианой, и высотой. А это свойство медианы для равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный с основанием BM. По определению равнобедренного треугольника AB=AM. Т.к. BM - медиана для треугольника ABC, следовательно AM=MC (по определению медианы). Тогда AC=AM*2. Как мы выяснили ранее AM=AB = AC=AB*2=8*2=16. Ответ: AC=16.

25. Решение:

Тре­уголь­ни­ки BKC и AKD равны по трём сто­ро­нам.

Зна­чит, углы CBK и DAK равны. Так как их сумма равна

180°, то углы равны 90°. Такой па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

26. Ре­ше­ние.

Пусть диа­го­на­ли AC и BD тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC = 2a, AD = 3a пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, а пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям и про­хо­дя­щая через точку O, пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но (см. рис.).

 

 

Тре­уголь­ник BOC по­до­бен тре­уголь­ни­ку DOA с ко­эф­фи­ци­ен­том  по­это­му тре­уголь­ник AMO по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC с ко­эф­фи­ци­ен­том  Зна­чит,  Ана­ло­гич­но,  Сле­до­ва­тель­но,  Пусть h₁ и h₂ — вы­со­ты по­доб­ных тре­уголь­ни­ков BOC и DOA, про­ведённые из общей вер­ши­ны O. Тогда  Сле­до­ва­тель­но,

 

 

Ответ: 44:81.

Список использованных источников литературы и интернет –ресурсы.

1. Федеральный закон от 29 декабря 2012г. №273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» // Собрание законодательства РФ. - 2012. - №53. - Ст.7598.

2. Приказ Министерства образования и науки российской Федерации от 17 декабря 2010г. №1897 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования" // «Бюллетень нормативных актов федеральных органов исполнительной власти». - 2011. - №9.

3. http://www.fipi.ru. Открытый банк задач.

4. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2017 году основного государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ подготовлен Федеральным государственным бюджетным научным учреждением «ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»