Занимательный материал как средство развития УУД на уроках математики

Старинный способ решения задач на процентное содержание

(Н.Г.Зинина г.Арзамас)

На первом этапе основной школы на изучение темы «Проценты» отводится непродолжительное время. В это время учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. В учебниках встречаются задачи на проценты, но в них отсутствует компактное и чёткое изложение вопроса. Текстовые задачи включены в материал итоговой аттестации за курс основной и полной средней школы. Однако задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся, многие из них не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчёты в настоящее время необходимо каждому человеку: прикладное значение велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социальную и другие стороны нашей жизни. В данной работе я покажу применение математического аппарата к решению задач на процентное содержание старинным способом.

Существуют различные способы решения задач на процентное содержание или концентрацию. Сейчас я покажу арифметический способ решения таких задач, которым пользовались ещё в древности, поэтому его часто называют старинным.

Для решения задачи исследуем процесс изменения концентрации. Возьмём по 100 г каждого раствора и в соответствии с процентным составом разделим их содержимое на кислоту и воду:

Затем сравним исходные составы с тем, что должно получится после смешивания:

В результате сравнения приходим к выводу, что необходимо 25 г воды в первом растворе заменить кислотой, а 10 г кислоты во втором – водой. Так как мы можем оперировать растворами только с данными составами, напрашивается мысль об обмене 10 г кислоты из второго раствора на воду из первого.

вода

кислота

Результат взаимообмена:

Получили необходимый состав для 100 г второго раствора. Но в первом осталось ещё 15 г воды, которую нужно заменить кислотой. Где её взять? Возникает следующая идея: нужно взять ещё 100 г второго раствора, а за тем 50 г и выполнить те же действия. Окончательный результат выглядит так:

100 г

50 г

Таким образом, следует, что на каждые 100 г первого раствора необходимо взять 250 г второго, т. е. в отношение 10 : 25, обратном соотношению между недостатком и избытком кислот в исходных растворах.

После рассмотрения принципа взаимообмена весь процесс можно представить в таком виде:

Недостаток избыток

Рассмотренный способ является арифметическим. Его ценность определяется тем, что он рассчитан на образное мышление, а так же позволяет легче запомнить последовательность действий при решении задач на смешивание и добиться автоматизма при выполнении самих действий. Этот способ экономит время, по этому им часто пользовались купцы.[7]

Задача №1.

При смешивании 5% раствора кислоты с 40% раствором кислоты получили 140 г. 30% раствора. Сколько грамм каждого раствора было для этого взято?

Решение:

Теперь выведем схему для решения задач.

Пусть смешали х(г), а %-ного раствора кислоты (г), у(г) –

в %-ного раствора кислоты (г).

Получили х+у(г), с %-ного раствора , где acесли cв или ca, то задача неразрешима.

Уравнение:

ах + ву = сх + су

ву – су = сх – ах

у(в – с) = х(с – а)

Это отношение составляет старинный способ решения задач.

а в - с

с Общий вид схемы

в с - а

5 10

30

40 25

Значит надо взять:

10 частей – 5 %-ного раствора

25 частей – 40 %-ного раствора

140 : (10 + 25) = 4(г) – 1 часть

4 × 10 = 40(г) – 5%

4 × 25 = 100(г) – 40%

Ответ: 40 г; 100 г.