Задания по теме: «Тригонометрические уравнения, системы уравнений и неравенства с параметром».

Задания по теме:

«Тригонометрические уравнения, системы уравнений и неравенства с параметром».

Определение: Решить уравнение f (х; а) = 0 с параметром а – это значит для каждого действительного значения а найти значения х, удовлетворяющих уравнению, или установить, что таких нет.

При решении тригонометрических уравнений с параметром наряду с единичной окружностью желательно пользоваться координатной прямой для параметра. По мере решения уравнения на прямой появляются точки, разбивающие прямую на части, над каждой из которых мы записываем множество корней уравнения. Если координатная прямая заполнена, то это свидетельствует о том, что решение закончено и можно записывать ответ, что труда уже не составляет. Рассмотрим сначала решение несложных тригонометрических уравнений с параметром.

Пример 1. sin x = a – 1

ОДЗ: х_

a_. |sin x| ≤ 1.

1) Пусть | а - 1| а – 1 а х = (-1)^к arcsin (а – 1) + πк, к _ Z *

2) | а - 1| = 1; а – 1 = 1, а = 2,

а – 1 = -1 а = 0.

если а = 0, то решаем уравнение sin x = -1, х = -_ + 2πn, n_ **

если а = 2, то решаем уравнение sin x = 1, х = _ + 2πm, m _ ***

3) | а - 1| 1, а 2,

а

_

a

0

2

Ответ: если а = 0, то х = -_ + 2πn, n_

если а = 2, то х = _ + 2πm, m _

если 0 а х = (-1)^к arcsin (а – 1) + πк, к _ Z

если а 2,

а

Пример 2. cos _ = m + 1

ОДЗ. m_,

x ≥ 0.

_

m

-2

0

1) пусть |m + 1| m + 1 m _
а) если х = _ то _ = 0; 1; 2; 3…

б) если х = _ то n = 1; 2; 3…

Найдем х:

а) х = (arccos (m + 1) + _)², k = 0; 1; 2; 3… *

б) x = (-arccos (m + 1) + _)², n = 1; 2; 3… **

2) m = -2, cos _ = -1, _ = π + 2πt, t = 0; 1; 2; 3…

x = ( π + 2πt)², t = 0; 1; 2; 3…***

3) m = 0, cos _ = 1, _ = 2πl, l = 0; 1; 2; 3…

x = 4π²l², l = 0; 1; 2; 3…****

4) m

m 0, решений нет.

Ответ: если m = -2, то x = ( π + 2πt)², t = 0; 1; 2; 3…
если m = 0, то x = 4π²l², l = 0; 1; 2; 3…

если -2 m _то х = (arccos (m + 1) + _)², k = 0; 1; 2; 3…

x = (-arccos (m + 1) + _)², n = 1; 2; 3…

если m _ (-∞; -2)_(0; +∞), то решений нет.

Пример 3. tg 2x – tg (x - _ ) = c – 1 ОДЗ x_, k _ Z

c _ R

_

c

0

2

1) Применим формулу тангенса двойного аргумента и тангенса разности. Происходит сужение ОДЗ уравнения на _ +πk, k _ Z. Проверим эти числа подстановкой в исходное уравнение tg π – tg _ = c – 1, -1 = с – 1, с = 0.

если с = 0, то х = _ +πk, k _ Z. *

2) c _ 0 _ = c – 1

2 x + tg²x – 2tg x + 1 = c – 1 – (c – 1) tg²x

tg x_{ } 1

tg²x = _. Обозначим tg x = t, t_{ } 1

t

+

+

-

_{ } 1

t² = _

с _ 0 0 2 c

Если с_(0; 2), то решений нет;

Если с = 2, то tg x = 0;

x = πn, n_Z **

Если с_(-∞; 0) _ (2; +∞), то tg²x = _. Легко видеть, что _{ } 1, х = _ arctg _ + πm, m_Z ***

Ответ: если с = 0, то х = _ +πk, k _ Z;

если с = 2, то x = πn, n_Z;

если с_(-∞; 0) _ (2; +∞), то, х = _ arctg _ + πm, m_Z;

если с_(0; 2), то решений нет.

Пример 4. cos²x + 6 sin x = 4a² – 2

ОДЗ х_

a_.

Пусть sin x = у, | у | ≤ 1.

1 – sin² x + 6 sin x = 4a² – 2,

у² – 6у + 4a² + 2 = 0.

_

D₁ = 4 (3 – a²)

-_ -_{  } a

1) 3 – a² a | _ , решений нет

2) а = _, у² – 6у + 9 = 0

(у – 3)² = 0

у = 3, но | у | ≤ 1, поэтому решений нет.

3) D 0, -_ а _ , у = 3 + 2_ , y 1

у = 3 - 2_

Остается sin x = 3 - 2_

-1 ≤ 3 - 2_ ≤ 1, _ ≤ 2, 3 – а² ≤ 4, а² ≥ -1

-_ а _; _ ≥ 1, 3 – а² ≥ 1, а² ≤ 2

-_ а _; -_ а _; -_ а _;

_ ≤ a ≤ _

-_ а _; | a | ≤ _

если | a | ≤ _, то х = (-1)^k arcsin (3 - 2_ ) + πk, k_Z *

если | a | = _, то х = _ +πn, n _ Z **

если | a | _, то решений нет.

Ответ: если | a | ≤ _, то х = (-1)^k arcsin (3 - 2_ ) + πk, k_Z

если | a | = _, то х = _ +πn, n _ Z

если | a | _, то решений нет.

Пример 5. sin² x - sin x· cos x - 2 cos²x = а

ОДЗ х_

a_.

sin² x - sin x· cos x - 2 cos²x - а sin² x - а cos²x = 0,

(1 – а) sin² x - sin x· cos x – (а + 2) cos²x = 0, разделим уравнение на cos²x_0, получим

1. Пусть cos x _ 0, (1 – а) tg²x – tg x – (a + 2) = 0,

1) a = 1, tg x = -3, x = - arctg 3 + πn, n _ Z *

2) a _ 1, D ≥ 0, D = 9 – 4a² – 4a, 4a² + 4a – 9 ≤ 0

_ , a _ 1

tg x = _,

x = arctg _ +πm, m _Z **

_ v ** *vvv ** vv _ a

_ 1 _

если a = _ , то х = arctg (_ - 3) +πm, m_Z v

если a = _ , то х = arctg (_ - 3) +πm, m_Z vv

2. Пусть cos x _ 0, тогда cos x _ 0, х = _ +πk, k _ Z vvv

sin² x · (а – 1) = 0; a = 1.

Ответ: если а _ (-∞;_)_(_; +∞), то решений нет;

если а_ (_)_(_), то x = arctg _ +πm, m _Z;

если a = _ , то х = arctg (_ - 3) +πm, m_Z;

если а = 1, то х = _ +πk, k _ Z,

x = - arctg 3 + πn, n _ Z;

если a = _ , то х = arctg (_ - 3) +πm, m_Z.

Пример 6. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений

sin x· cos 2у = а² + 1

sin 2у· cos х = а имеет решения и решите систему.

ОДЗ х_

у_

a_.

sin x· cos 2у = а² + 1, + sin (x + 2у) = а² + а + 1, а² + а + 1 ≤ 1, а(а + 1) ≤ 0,

sin 2у· cos х = а; - sin (x – 2у) = а² - а + 1; а² - а + 1 ≤ 1; а(а - 1) ≤ 0.

Видим, что а = 0. Получим систему sin (x + 2у) =1, x + 2у = _ +πk, k _ Z,

sin (x – 2у) = 1; x – 2у = _ +πn, n _ Z;

x = _ +π(k +n),

у = _ (k – n), n,k _ Z;

Ответ: система имеет решение только при а = 0. x = _ +π(k +n),

у = _ (k – n), n,k _ Z.

Пример 7. Найдите все значения параметра а, при которых для любого действительного значения х выполнено неравенство 2а – 4 + а(3 – sin² x)² + cos²x

ОДЗ х_

a_.

Пусть sin² x = t, | t | ≤ 1

2а – 4 + а(3 – t)² + 1 - t

at² – (6a + 1) + 11a – 3

Найдем все значения параметра а, при которых f(t) = at² – (6a + 1) + 11a – 3 будет отрицательным при любом | t | ≤ 1.

1) а = 0, f(t) = - t – 3 меньше нуля для любых | t | ≤ 1.

2) а 0, а 0, а 0

f(0) = 11а – 3 а _,

f(1) = а - 6а – 1 + 11а - 3 а _. 0 а _.

3) а _ 0

а) D = 1 + 24а – 8а²

а _ 0, а _

б) t₁ ≤ t₂

а _ 0,

D ≥ 0,

t₀ = _,

f(0) = 11а – 3 _

в) 1 t₁ ≤ t₂

а _ 0,

D ≥ 0,

_,

f(1) = 6а – 4 _

Ответ: а _ (-∞; _ ).