Задачи на процентный прирост и вычисление сложных процентов

План-конспект факультативного занятия

Бологова М.А.,учитель математики

МБОУ-СОШ № 5 г.Орла

Тема: "ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТНЫЙ ПРИРОСТ И ВЫЧИСЛЕНИЕ "СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ."

Цель занятия: ввести понятие процентного прироста и рассмотреть примеры вычисления "сложных процентов".

Ход занятия

1. Введение.
На первый взгляд, финансовая математика сводится к арифметике. В повседневной жизни дело обстоит именно так: совершая покупку, трудно бывает обойтись без калькулятора. Однако ситуация резко усложняется, если речь идет даже о небольших коммерческих операциях, не говоря уже о банковской деятельности.

Поэтому кроме арифметики в коммерческих и финансовых расчетах испльзуются алгебраические методы, методы математического анализа, теории вероятноятей, математической статистики и других разделов современной математики.

Эти методы могут быть элементарными, доступными школьнику, более сложными, изучаемыми в вузе, и весьма сложными, требующими привлечения профессиональных математиков. Существуют проблемы, для которых еще не найдены методы решения. Работа над ними ведется в университетах и исследовательских центрах многих стран, включая Россию.

2. Сообщение теоретических сведений.

Пусть некоторая переменная величина А, зависящая от t, в начальный момент времени t=0 имеет значение А₀, а в некоторый момент времени t₁ имеет значение А₁.

Абсолютным приростом величины А за время t₁ называется разность А₁ - А₀ , относительным приростом величины А за время t₁ – отношение

и процентным приростом величины А за время t₁ величина

× 100%.

Процентный прирост обозначим p%.

А₁ – А₀

р % = × 100%
А₀

А₁ –А₀ = А₀ р / 100 А₁= А₀+А₀ р/100=А₀(1+р/100) (1)

Формула (1) позволяет по заданному значению А₀ и р найти А₁, т.е. значение А в момент времени t₁. Пусть делее известно, что при t  t₁ величина А имеет процентный прирост р%. Тогда в момент времени t₂=2 t₁ значение А₂=А(t₂) будет равно А₂=А₁(1+р/100)=А₀(1+р/100)²

в момент времени t_n= t₁ × n А_n= А₀(1+р/100)ⁿ

Если же процентный прирост за t₁изменился на р₁%, за t₂ на р₂%… t_n p_n%, то А_n =А₀(1+р₁/100)(1+р₂/100) … (1+р_n/100)

3.Решение упражнений. ЗАДАЧА 1.

Предприятие работало 3 года. Выработка продукции за второй год работы предприятия возросла на р% , а на следующий год она воз росла на 10% больше, чем в предыдущий. Определить на сколько про центов увеличилась выработка за второй год, если известно, что в общей сложности за два года она увеличилась на 48,59%.

РЕШЕНИЕ.

Обозначим количество продукции, произведенной за первый, второй и третий годы работы предприятия через А₁, А₂, А₃ .

По условию задачи процентный прирост за второй год составил р%, а за третий – (р+10)%, т.е. А₂-А₁/А₁×100%=р% А₃-А₂/А₂×100%=(р+10)%

По условию известно, что за два года производство возросло на 48,59%, т.е. А₃-А₁/А₁×100%=48,59%

Запишем полученные равенства в виде системы:

А₂=А₁(1+р/100) (1)

А₃=А₂(1+(р+10)/100) (2)

А₃=А₁(1+48,59/100) (3)

Подставим (1) в (2).

А₃=А₁(1+р/100)(1+(р+10)/100) ()

Из () и (3) получим

(1+р/100)(1+(р+10)/100)=1+48,59/100

(100+р) (100+р+10) 148,59

10000 100

10000+100р+1000+100р+р²+10р-14859=0

р² +210р-3859=0

Д=210² -4(-3859)=44100+15436=59536

-210+244 34

р₁= = = 17 р₂=-454/2=-227

2 2

Ответ: 17%.

ЗАДАЧА 2.

Сберкасса начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма удвоится?

РЕШЕНИЕ.

А_n=А₀(1+р/100)ⁿ

А_n=2А₀ р=3

2А₀=А₀(1+3/100)ⁿ

2=(103/100)ⁿ

log₂2=n log₂103/100

n=1/ log₂1,03= lg2/ lg1,030,301029/0,012837223,38

Ответ: 24 года

ЗАДАЧА 3.

Население города ежегодно увеличивается на 1/50 наличного числа жителей. Через сколько лет население утроится?

РЕШЕНИЕ.

1/50=2/100=2%

А_n=А₀(1+р/100)ⁿ

А_n=3А₀
3А₀=А₀(1+р/100)ⁿ

3=(1+0,02)ⁿ

3=1,02ⁿ

lg 3=n lg1,2

lg3 0,47712

n=   55

lg1,02 0,00860017

Ответ: 55лет

4. Домашнее задание. – решить задачи.

1. За три года население города увеличилось с 2 000 000 до 2 315 250 человек.
Найти средний годовой процент прироста населения.

2. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к

концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в 1-ый банк, оставшиеся деньги- во 2-ой банк . К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 денежных единицам, а к концу следующего – 749 денежным единицам. Было подсчитано, что если бы первоначально 5/6 исходного количества денег положили во 2-ой банк, а оставшуюся часть в 1-ый, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки была бы равной 710 денежным единицам. В предположении, что исходное количество денег первоначально положено в 1-ый банк целиком, определить величину вклада по истечении 2-х лет.

Список литературы

1.Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией Сканави М.И. М.: «Высшая школа» ,1988г.

2.Крамор В.С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начало анализа». М., «Просвещение» 1990 год. 

3.Журнал «Математика в школе.» 1998г.№5