Задачи из старого учебника. Задачи на прямую пропорциональность

Тема: задачи из старого учебника. Задачи на пропорциональные величины (зависимости)

Класс: 6 класс

Цель: научиться решать задачи на пропорциональные величины, когда этих величин более двух

С начала века и до 60-х годов в 5-6 классах учились по учебнику «Арифметика», Андрея Петровича Киселёва.

Первоначально он назывался «Систематический курс арифметики» и впервые был издан в 1889 году. Впоследствии учебник много раз переиздавался, и от издания к изданию автор вносил в него изменения, стремясь сделать его совершеннее. Книга выдержала 36 изданий. Во второй половине 30-х годов учебник был переработан выдающимся ученым и педагогом Александром Яковлевичем Хинчиным (1894—1959). В 1938 году учебник был утверждён в качестве учебника арифметики для 5-6 классов средней школы. Именно он являлся единственным и официальным учебником по математике для 5-6 классов советской школы. В 1955 году вышло его 17-ое издание. К нынешнему времени эта удивительная книга стала редкостью. Между тем она представляет не только исторический интерес: все ее содержание и сейчас входит в школьную программу (и не может быть из нее исключено так же, как не может быть исключено обучение чтению и письму), а используемые в ней способы изложения никак нельзя считать устаревшими. В 2002 году вышло переиздание «Арифметики» Киселева. Во времена Киселева и Хинчина у учителей и учеников, кроме учебников, были задачники. Задачник доставлял учителю большой выбор задач и тренировочных примеров, а в учебниках задач и упражнений было немного или не было совсем. Учебник Киселева удачно дополнялся «Сборником задач и упражнений Е.С.Березанской. Также в интернете мы нашли задачник Березанской.

Сегодня из этого учебника рассмотрим тему «Пример задачи на пропорциональные величины, когда этих величин более двух». В учебнике математика 6 Н.Я.Виленкина, по которому мы учились нет такой темы.

Андрей Петрович Киселев

Андрей Петрович Киселев родился 12 декабря 1852 г. в Мценске Орловской губернии. Киселевы были бедной многодетной мещанской семьей. По материальны. По причинам еще на школьной скамье он был вынужден зарабатывать репетиторством, и, возможно, эта практика учительствования в юном возрасте определила его дальнейшую судьбу педагога.

В 1871 году он окончил её с золотой медалью и поступил на физико-математический факультет Петербургского университета. В университетские годы Киселёв слушал лекции П. Л. Чебышёва, профессоров А. Н. Коркина, Е. И. Золотарёва и О. И. Сомова. В эти годы он вобрал в себя всё лучшее, что мог дать Петербургский университет — один из крупнейших в Европе. Тогда же он сделал первые шаги в собственном математическом творчестве.

В те времена питомцы университетов России, одновременно с освоением науки и приобщением к исследованиям, готовились к педагогической работе, прежде всего – в системе образования. Поэтому не удивительно, что выпускник университета (1875 г.) А.П.Киселев со степенью физико-математического факультета Петербургского университета по математическому разряду назначается преподавателем математики, механики и черчения Воронежского реального училища. Так началась его блестящая учительская карьера, протекавшая позже в Харьковском реальном училище, а затем снова в Воронеже – в кадетском училище. Обладая незаурядными педагогическими способностями, прекрасно владея предметом, постоянно интересуясь новыми достижениями науки, имея богатый опыт работы с учащимися, он снискал авторитет одного из самых ярких деятелей педагогического образования.

В 1901 году он вышел в отставку и стал заниматься главным образом литературной работой. Принимал активное участие в общественной жизни города Воронежа: 7 раз избирался в городскую думу, был гласным в 1887—1910 годах.

В 1901 году приобрёл у землевладельца Плясова усадьбу Отрадное (начало XIX века) в хуторе Литаева (ныне часть села Хреновое) на реке Усманке. При усадьбе была открыта школа. В усадьбе Киселёв бывал до 1918 года, когда усадьбу национализировали и превратили в детский дом.

В 1918—1921 годах преподавал математику в Воронежском институте народного образования, педагогических курсах, высших командных курсах. С 1922 года жил и работал в Ленинграде.

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Все, что мы можем измерить, обозначить числом, мы называем величиной. Две величины могут быть связаны друг с другом (говорят, величины зависят друг от друга) или не связаны (не зависят друг от друга). Пропорциональные зависимости – это те, при которых изменение в несколько раз одной величины приводит к изменению в такое же количество раз другой величины, при этом пропорциональные зависимости могут быть как прямыми (прямо пропорциональная зависимость, или прямая пропорциональность), так и обратными.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Пример 1. За 2,8 кг овощей заплатили 210 рублей. Сколько стоят 8 кг овощей?

Количество товара Стоимость товара

2,8 кг 210 рб

8 кг ? рб

Пример 2. Два трактора вспахали поле за 6 дней. За сколько дней вспашут это поле 4 трактора, если будут работать с той же производительностью?

Количество тракторов Количество дней

2 6

4 ?

В каждом примере мы имели дело с пропорциональными зависимостями. Чем отличаются эти два примера? В примере с сахаром величины изменялись в одну сторону, значит, это прямая зависимость. А в другом примере между количеством тракторов и временем зависимость была обратная.

Итак, существуют прямо пропорциональные зависимости и обратно пропорциональные зависимости.

Решая задачи на пропорциональную зависимость, важно разбить решение на такие этапы:

1. Условие задачи записать в виде схемы.

2. Определить тип зависимости между величинами.

3. Прямо пропорциональная зависимость обозначается одинаково направленными стрелками. Обратно пропорциональная зависимость – стрелками противоположно направленными.

4. Обозначить неизвестное через х, записать пропорцию и найти неизвестный член.

Задача из учебника Киселева А.П.

Задачи на пропорциональные величины, когда этих величин несколько

Задача. На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 часов ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 часов в день?

Расположим данные этой задачи так:

Керосинки День Час в день Количество керосина

5 24 6 120 л

9 х 8 216 л

Как видим, все величины изменяются и учесть сразу влияние всех этих изменений трудно, поэтому допустим, что изменяется какое-нибудь одно из данных чисел, например, запас керосина, а другие остаются неизменными. Мы получим такую задачу:

Керосинки День Час в день Количество керосина

5 24 6 120 л

5 х 6 216 л

На сколько дней хватит 216 л керосина, если же 5 керосинок будут гореть по-прежнему по 6 часов в день? Так как число дней прямо пропорционально количеству сгоревшего керосина, то 216 л хватит на дней.

Керосинки День Час в день Количество керосина

5 6 126 л

9 х 6 216 л

Теперь будем изменять число керосинок, оставляя неизменными запас керосина (216 л) и время ежедневного горения (6 ч). Число керосинок обратно пропорционально числу керосинок, поэтому составляем такую запись:

Керосинки День Час в день Количество керосина

9 6 126 л

9 х 8 216 л

Остается изменить число часов ежедневного горения. Число часов ежедневного горения и число дней горения обратно пропорциональны, поэтому получаем такую запись:

= 18 (дней)

Таким образом

Задачи на пропорциональные величины

1. 5 насосов в течение 3 час. Выкачали 1800 вёдер воды. Сколько воды выкачают4 таких же насоса в продолжение 4 час.?

2. Для 5 лошадей на 30 дней запасли 9 ц овса. Сколько овса надо запасти для 12 лошадей на 18 дней, исходя из той же нормы?

3. Если барабан делает 60 оборотов в мин., то на него навивается 240 м проволоки в течение 3 час.20 мин. Во сколько времени на барабан навьется 100 м проволоки, если он будет делать оборота в 1 мин.?

4. В книге 156 страниц, на каждой странице 42 строк, в каждой строке 27 букв. На скольких страницах будет напечатана та же книга, если на странице будет 54 строки и в строке 36 букв?

5. Деревянная балка в 4 м длины, 30 см ширины и 20 см толщины весит 144 кг. Сколько будет весить балка из другого дерева, 2 куб.см которого весят столько же, сколько 3 куб.см первого дерева, если ее длина 5 м, ширина 40 см, толщина 30 см?

6. Для возведения стены длиной 18 м, толщиной 0,8 м и высотой 2,1 м требуется 16800 кирпичей. Какой высоты стену можно возвести при длине ее 15 м, толщине 0,6 м, имея 6000 таких же кирпичей?

7. 1,5 курицы за 1,5 дня несут 1, яиц. Сколько яиц несут 6 куриц за 6 дней?

Заключение

Задачи на пропорциональную зависимость развивают логическое мышление, учат анализировать и находить связи между величинами. Поэтому умение решать такие задачи просто необходимо.