Вопросы методики изучения темы « Неравенства» в 7-9 классах.

Вопросы методики изучения темы « Неравенства» в 7-9 классах.

В программы учебного курса «Алгебра» основной школы содержательно-методическая линия: «Уравнения и неравенства» занимает одно из основных мест.

Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Неравенства используются в различных разделах математики при решении важных прикладных задач. Например, неравенства используются при изучении свойств функции (монотонность, ограниченность, нахождение промежутков знакопостоянства и др.), решении задач, связанных с прогрессиями, а также текстовых задач, в которых построение математической модели приводит к неравенству или системе неравенств.

С помощью неравенств на математическом (символьном) языке записываются важные задачи реальной действительности.

Поэтому основная учебная цель изучения линии неравенств является овладение учащимися приемами решения неравенств, как алгебраического, так и графического.

Изучение темы неравенств можно разделить на следующие этапы:

• пропедевтический (1-6 класс);

• основной (курс алгебры 7-9 классы основной школы);

• завершающий (10-11 классы старшей школы).

Дети приобретают опыт в обращении с понятиями «больше», «меньше», «не равно» до прихода в школу. С соотношениями «больше», «меньше» между числами и знаками этих соотношений дети знакомятся в начальной школе при изучении натуральных чисел.

В начальной школе обучающиеся должны научиться также сравнивать простейшие числовые выражения. Использовать понятия на больше, на меньше при решении текстовых задач.

5 кл. - Должны уметь сравнивать и упорядочивать натуральные числа, сравнивать в простейших случаях обыкновенные дроби, десятичные дроби.

6 кл- Должны уметь сравнивать и упорядочивать целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, сравнивать числа одного и разных знаков. Вводится правило сравнения с помощью координатной прямой.

7 кл- Учатся сравнивать и упорядочивать рациональные числа. Решать линейные уравнения с одной переменной. Применять графические методы при решении линейных уравнений и их систем. Должны уметь изображать на координатной прямой точки, соответствующие заданным координатам, лучи, отрезки, интервалы, записывать числовые промежутки.

8 кл- Изучается большая часть основного теоретического материала темы « Неравенства».

Учатся применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств.

9 кл- Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов. Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство, изображать решение системы неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов. Использовать неравенства при решении различных задач.

Рассмотрим более подробно особенности изучения темы «Неравенства» в 8, 9 классах

На изучение главы « Числовые неравенства и их свойства» выделяется 9 уроков.

Основная цель изучения данного материала состоит в том, чтобы познакомить учащихся с алгебраическим истолкованием понятий «меньше» и «больше». Показать возможность применения этих свойств для оценки значений выражений, а также познакомить учащихся с использованием этих понятий на практике.

Изложение материала «Числовые неравенства» начинается с введения определения понятий «меньше» и «больше» с помощью разности.

Это определение является опорным при сравнении значений выражений, доказательстве неравенств. Рассмотрим примеры.

Далее доказываются теоремы о свойствах неравенств.

Эти теоремы составляют основу алгоритма решения линейных неравенств с одной переменной, с которым учащимся предстоит познакомиться. Пример заданий

2. Известно, что . Сравните:

3. Известно, что . Оцените:

Далее доказываются теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств. Эти теоремы используются для оценки значений суммы, разности, произведения и частного двух чисел в случаях, когда указаны границы, в которых эти числа заключены.

Важно обратить внимание учащихся на широкое применение в данном пунктеаппарата неравенств для решения задач с геометрическим содержанием. Пример.

Задания по данной теме очень широко представлены в кимах ОГЭ. Пример:

Таким образом, итогом изучения темы является : умение учащимися доказывать неравенства, используя определение понятий «меньше», «больше» и теоремы о свойствах числовых неравенств, применять теоремы о сложении и умножении неравенств для оценки значений суммы, разности, произведения и частного двух чисел в случаях, когда указаны границы, в которых эти числа заключены.

Следующая глава – «Неравенства с одной переменной».

В этой теме учащиеся, используя знания по теме «Линейные уравнения» и свойства неравенств, формируют умение решать неравенства с одной переменной, используя для этого свойства равносильности неравенств. А так же овладевают умением решать системы неравенств, и двойные неравенства с одной переменной.

Изучение данного параграфа начинается с введения понятий пересечения и объединения множеств с помощью кругов Эйлера для наглядной иллюстрации. Учащиеся должны усвоить соответствующие определения и научиться пользоваться введёнными обозначениями.

В пункте «Числовые промежутки» учащиеся знакомятся с достаточно большим количеством понятий и символов. Облегчить их усвоение помогает таблица, в которой приведены названия и обозначения числовых промежутков разного вида, показано их изображение на координатной прямой.

Важно обратить внимание на отработку данных понятий. Для этого можно использовать различные задания. Например.

И ,наконец, учащиеся знакомятся с алгоритмом решения неравенств с одной переменной, сводящихся к линейным.

Вводятся понятия решения неравенства и равносильных неравенств. Формулируются и разъясняются на примере условия перехода от одного неравенства к другому, ему равносильному с помощью свойств неравенств.

Примеры.

Завершает изучение параграфа тема решение систем, в котором учащиеся знакомятся с определением и алгоритмом решением систем, составленных из неравенств с одной переменной. При выполнении упражнений от учащихся требуется, как обычно, достаточное внимание и аккуратность. Можно ознакомить учащихся с удобной формой записи, когда при решении двойного неравенства используется последовательный переход от одного двойного неравенства к другому, ему равносильному. Примеры из ОГЭ.

В курсе алгебры 8 класса учащиеся познакомились с решением неравенств первой степени с одной переменной. Теперь им предстоит овладеть умением решать неравенства второй степени с одной переменной, т. е. неравенства вида ax² + bx + c 0 или ax² + bx + c

Графический способ основан на известных учащимся сведениях о графике функции y = ax² + bx + c. Учащиеся должны проанализировать, как в данном конкретном случае расположен в координатной плоскости график соответствующей квадратичной функции: куда направлены ветви параболы (вверх или вниз), пересекает ли парабола ось абсцисс и если пересекает, то в каких точках. Примеры. Задания из ОГЭ первой и второй части.

Основная цель изучения материала, представленного в данном параграфе, состоит в том, чтобы познакомить учащихся с геометрической интерпретацией на координатной плоскости множеств решений некоторых неравенств с двумя переменными и их систем.

Примеры.