Учимся решать задачи на смеси и сплавы

Бутко Сергей Васильевич-учитель математики высшей категории К.Г.У. Вечерняя средняя общеобразовательная школа при Е.С. учреждение 164\3 г Петропавловска Сев.Каз.обл.

В школьном курсе математики предлагается очень мало задач на «смеси и сплавы». Эти задачи предлагаются на ЕНТ, вступительных экзаменах в вузы на экономические специальности на факультетах, связанных с легкой промышленностью и народным хозяйством. Задачи на «смеси и сплавы» встречаются на олимпиадах.

Учимся решать задачи на «смеси и сплавы»

Цель: объяснить решение задач на «смеси и сплавы»

Методы: объяснение, решение задач.

Ход занятия

Объяснение нового материала.

Задача 1. Имеется кусок сплава меди с оловом общей мас­сой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?

Решение.

1. 12 • 0,45 = 5,4 (кг) — чистой меди в первом сплаве;

2. 5,4 : 0,4 = 13,5 (кг) — вес нового сплава;

3. 13,5 - 12 = 1,5 (кг).

Ответ: надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 2. Имеется два сплава, состоящие из меди, цинка
и олова. Известно, что первый сплав содержит 40%
олова, а второй—26% меди. Процентное содержа­ние цинка в первом и втором сплавах одинаково. Спла­вив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получи­ли новый сплав, в котором оказалось 30% цинка.
Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.

Для решения задачи полезно составить таблицу:

	Медь	Цинк	Олово	Масса
1-й сплав		30%	40%	150 кг
2-й сплав	26%	30%		250 кг
3-й сплав		30%	? кг	400 кг

Так как процентное содержание цинка в первом и втором сплавах и в третьем сплаве оказалось 30%, то в первом и втором сплавах процентное содержание цинка 30%.

Дальше задача легко решается по действиям:

1. 250 · 0,3 = 75 (кг) — цинка во втором сплаве;

2. 250 · 0,26 = 65 (кг) — меди во втором сплаве;

1. 250 - (75 + 65) = 110 (кг) — олова во втором сплаве;

1. 150-0,4 = 60 (кг) — олова в первом сплаве;

5) 110 + 60 = 170 (кг) — олова в третьем сплаве.
Ответ: 170 кг.

3. В сплаве весом 10 кг отношение меди к цинку равно 4 : 1, во втором сплаве весом 16 кг отношение меди к цинку равно 1:3. Сколько надо добавить чи­стой меди к этим сплавам, чтобы получить сплав, в котором отношение меди к цинку равно 3 : 2?

Таблица поможет решить задачу.

Пусть добавили Х кг чистой меди.

Медь Цинк Масса

1-й сплав 4 части 1 часть 10 кг

2-й сплав 1 часть 3 части 16 кг

3-й сплав 3 части 2 части (10 + 16 + Х) кг

1) 10 : 5 • 4 = 8 (кг) — чистой меди в 1-м сплаве;

2) 16 • =4 (кг) — чистой меди во 2-м сплаве.

12+х = (26+х), х=9.

Ответ: 9 кг.

Задача 4. Кусок сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

36∙0,45 =16,2 (кг) – меди в 1-м сплаве.

Пусть добавили х кг меди.

Меди во 2-м сплаве (16,2+х) или (36+х)0,6.

16,2+х = 0,6(36+х), х=13,5

Ответ: 13,5 кг.

.

Задача 5. Имеется лом стали двух сортов содержание никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

5% никеля 40% никеля

х т у т

30 % никеля

140 т

По схеме учащиеся легко составляют систему уравнений

х+у=140,

0,05х+0,4у=0,3∙140

Решая систему, получаем 40 т и 100 т.

Задача 6. В двух различных сплавах железо и олово на­ходятся в отношении 2:5 и 4:3.Сколько килограм­мов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 14 кг нового сплава с равным содержанием железа и олова?

Учащиеся по условию задачи делают вывод, что железа и олова в сплаве должно быть по 7 кг. Отсюда легко получается система

х +у = 7,

х +у = 7.

где х кг и у кг — массы первого и второго сплавов.

Ответ: 3,5 кг железа и 10,5 кг олова.

Задача 7. В сплаве золота на 200 г больше, чем серебра. После того, как из сплава выделили золота и 80% серебра, вес сплава оказался равным 80 г. Сколь­ко весил сплав первоначально?

Разберем подробно решение.

Пусть в сплаве х г золота, серебра — у г. Разница в весе (х - у) г, или по условию 200 г.

Имеем уравнение х - у = 200 . В сплаве золота осталось

Х - Х = х.

Серебра осталось у - 0,8у = 0,2у. Вес сплава стал (х +0,2у) г, или 80 г.

Имеем уравнение х + 0,2у = 80.

Так как х в каждом уравнении имеет один и тот же смысл и у обозначает в каждом уравнении одно и то же, то имеем систему

х – у = 200,

х+0,2у = 80.

Решая эту систему, получим: у = 25, х = 225. Итак, первона­чально сплав весил 250 г.

Ответ: 250 г

Задача 8. Имеется смесь из двух веществ массой 900 г. После того как выделили первого вещества и 70% второго, то второго вещества осталось на 18 г боль­ше, чем первого в смеси. Сколько осталось каждого вещества? х + у = 900,

0,Зу - х = 18; х = 540, у = 360.

1) 540 ∙ = 90 (г); 2) 360 ∙ 0,3 = 108 (г).

Ответ: 90г и 108г.

Задача 9 . 36 г цинка в воде весят 31г, а 23г свинца в воде весят 21 г. Сплав цинка и свинца весом 118г весит в воде 104 г. Сколько цинка и сколько свинца содержится в сплаве?

Эту задачу можно решать так.

х — частей цинка в сплаве;

у — частей свинца в сплаве.

Тогда сплав весит 36х + 23у или 118 г. Имеем уравнение 36х + 23у= 118. В воде этот сплав весит 31х + 21у, или 104. Имеем второе уравнение:

31х + 21у= 104.

Решая систему 36х + 23у = 118,

31х +21у = 104. х = 2, у =2

Значит, 36 • 2 = 72 (г) цинка и 23 • 2 = 46 (г) свин­ца в сплаве.

Ответ: 72 г цинка, 46 г свинца.

Эту задачу можно решить, если за неизвестное обозначить массу металлов.

х (г) — цинка в сплаве,

у (г) — свинца в сплаве.

Составляем систему х + у = 118,

х + у = 104, решаем ее и получаем ответ.

Задача 10. 24г одного металла в воде весят 21г, а 14г другого металла в воде весят12г. Сплав из этих ме­таллов весом 100 г весит в воде 87 г. Сколько каждого­ металла содержится в сплаве?

24x + 14у= 100,

21х + 12у = 87;

х = 3, у = 2.

1) 24 • 3 = 72 (г);

2) 14-2 = 28 (г).

Ответ: 72 г и 28 г.

Задача 11.Имеются три слитка массой в 5 кг,3 кг и 2 кг. Каждый представляет собой сплав серебра и меди. Если сплавить первый и второй слитки, то в этом
сплаве будет 75% серебра; если сплавить первый и третий слитки, то в этом сплаве будет 78% серебра; если же сплавить второй и третий слитки, то в этом сплаве будет 85,2% серебра. Сколько процентов се­ребра содержится в каждом слитке? (Потери при пе­реплавке не учитывать.)

Пусть а, в и с — процентное содержание серебра в каждом слитке.

Тогда составляем уравнения по мас­се серебра в слитках.

5а + 2с = 7 ∙ 0,78,

3в + 2с = 5∙ 0,852,

5а + 3в = 8 ∙ 0,75: а = 0,72, в = 0,8, с = 0,93.

Получаем: 72%, 80%, 93%.

Задача 12. Если к сплаву меди и цинка прибавить 20 г меди, то содержание меди в сплаве станет равным 70%. Если к первоначальному сплаву добавить 70 г сплава, содержащего 40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.

Решить задачу помогут схемы.

1.

Медь, цинк

медь

х г 20 г

70 % меди, цинк

(х + 20) г

2.

Медь, цинк

40% меди, цинк

х г 70 г

52% меди, цинк

(х + 70) г

Пусть у процентное содержание меди в первоначальном сплаве, тогда:

1. 0,7 ∙ (х + 20) = 20 + 0,01ух,

или 14 + 0,7х = 20 + 0,01ху;

1. 0,52 ∙ (х + 70) = 0,4 ∙ 70 + 0,01ух,

или 36,4 + 0,52х = 28 + 0,01ху.

Имеем:14 + 0,7х = 20 + 0,01ху,

36,4 + 0,52х = 28 + 0,01ху;

1400 + 70х = 2000 + ху, х ∙ (52 - у) = -840,

36400 + 52х = 2800 + ху; х ∙ (70 - у) = 600;

х = 80, у = 62,5.

Ответ: 80 г.

7