Теория вероятностей в ЕГЭ

7

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Курсовая работа

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, КОМБИНАТОРИКИ И СТАТИСТИКИ

Выполнила:учитель математики

лицея при УлГТУ

Карасева А.Г.

Ульяновск

2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………3

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ……………………………………4

	1.1. Основные понятия…………….……………………………...- 1.2. Классическое определение вероятности…………………….6	9
	1.3. Геометрическое определение вероятности…………………-
	1.4.Элементы комбинаторики………..………………………….7 1.5. Условные вероятности. Вероятность произведения и суммы событий………………………………………………….10 1.6.Формула полной вероятности……………………………….11 1.7.Формула Бернулли……………………………………………-. 1.8. Частота события……………………………………………..12 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ……………………………………12 3.ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ………………………………...21 4.ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ………………………………….28 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

Впервые задача по теории вероятностей появилась в ЕГЭ в 2012 году. Появление такой задачи потребовало включения в раздел математики средней школы изучение элементов теории вероятностей и комбинаторики. Ранее этот раздел входил в программу углубленного изучения математики. Задачи по теории вероятностей сначала вызывали большие затруднения. Сложно было и учителям. Пособий для отработки заданий, методических рекомендаций для школьников было мало.

Сейчас положение изменилось. Простые задачи по теории вероятностей включены и в ОГЭ, ученики привыкли и не боятся, как правило этой задачи. Однако, сложность задач , представленных в базе данных по ЕГЭ растет. Иногда встречаются задачи, вызывающие затруднение и у учителей. В тексте задачи встречаются лишние условия, которые запутывают ученика. Также могут встретиться завуалированные условия, увидеть которые могут не сразу.

Постепенно в пособиях по ЕГЭ появляются формулы и теоремы, которые ранее не были в школьном курсе, но они значительно облегчают решение задачи. Формулы Бернулли и полной вероятности ученики вполне усваивают, что часто упрощает решение.

В работе приведены краткие теоретические сведения по теории вероятностей, комбинаторике и математической статистике в том разрезе, который нужен для решения задач ЕГЭ. Приведены примеры решения задач. Подобраны задачи для самостоятельного решения.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Основные понятия

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

Цель теории вероятностей – осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, ограничение сферы действия случайности.

Пусть проводится некоторый опыт, исход которого заранее нельзя предсказать. При этом рассматриваются только такие закономерности, которые можно повторять, хотя бы теоретически, при неизменном комплексе условий произвольное число раз.

Случайным событием (или просто событием) называется любой исход опыта, который может произойти. Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями и обозначаются – это неразложимые и взаимоисключающие исходы этого опыта .Элементарные события называются также случаями, точками, элементами, исходами.

Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий (ПЭС) и обозначается Ω=.Событие называется достоверным (обозначается также символом Ω), если оно обязательно наступит в результате данного опыта и невозможным ( если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A, B,C. Событие A – любое подмножество множества Ω ().

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте. В противном случае события называются совместными. События называются попарно несовместными, если любые два из ниx несовместны. Несколько событий образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и в результате опыта происходит одно и только одно из них.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если все события имеют равные «шансы».

Суммой событий A и B называется событие C = A+B, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Произведением событий A и B называется событие , состоящее в совместном наступлении этих событий. События A и B называются несовместными, если .

Противоположным событию A называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

Событие A влечет событие B , если из того, что происходит событие A , следует, что происходит событие B ().

События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна: достоверное событие Ω обозначается прямоугольником, элементарные случайные события –точками прямоугольника, случайные события – областью внутри него.

Несколько событий образуют полную группу событий, если их сумма представляет все пространство элементарных событий, а сами события являются несовместными:

Например, – полная группа событий.

1. Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт с n исходами, которые можно представить в виде полной группы несовместных равновозможных событий. Такие исходы называют случаями, шансами. Случай w, который приводит к наступлению события A, называют благоприятным ему, т.е. случай w влечет событие A:

В этих опытах вероятность события A можно рассчитать по формуле:

Где m – число случаев, благоприятствующих событию A, n – общее число всех случаев в данном опыте. Вероятность P(A) обладает следующими свойствами:

1. 

2. P(⦰) = 0,

3. P(Ω) =1,

4. P(A+B) = P(A)+ P(B), если .

1. Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности применяется в том случае, когда исходы опыта равновозможны, а Ω (ПЭС) – бесконечное несчетное множество. Множество является несчетным, если его элементы нельзя пронумеровать с помощью множества N. Пример несчетного множества: наблюдаем за временем безотказной работы некоторого агрегата – t (t, . Исходов у опыта бесконечно, Ω –несчетно.

В области Ω случайно выбирается точка X (бросаем X в область D). При этом попадание точки в область Ω –достоверное событие, в область D – случайное. Предполагаем, что все точки области Ω– равноправны (все элементарные события равновозможны). Вероятность попадания в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы. Пусть , т.е. брошенная точка попадет в область D. Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области D к площади области Ω.

.

Если Ω– линейная область, то

,

где –длина области D, –длина всей области Ω.

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами классической вероятности.

1.4.Элементы комбинаторики

Комбинаторика –раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам.

В классическом определении вероятности события ,

m – число благоприятствующих ему исходов. Требуется найти число возможных вариантов осуществления некоторого действия. При этом бывают полезны правила суммы и умножения.

Правило суммы: если некоторый объект x можно выбрать способами, а объект y можно выбрать способами, причем первые и вторве способы не пересекаются, то любой из указанных объектов можно выбрать способами.

Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект можно выбратьспособом, а после каждого такого выбора второй объект можно выбрать , то оба объекта в указанном порядке можно выбрать способами.

При решении вероятностных задач часто требуется узнать: сколькими способами можно выбрать m элементов из n различных элементов рассматриваемого множества.

Существуют две схемы выбора:без возвращения(без повторений) и с возвращением (с повторениями).В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно: можно сразу отобрать m элементов или последовательно отбирать по одному.

Схема выбора без возвращения

Размещением из n элементов по m элементов ( называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов. Число таких комбинаций находится по формуле:

или .

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов. Перестановки- это комбинации, состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Количество таких комбинаций определяется по формуле:

Сочетанием из n элементов по m элементов ( называется любое подмножество, которое содержит m элементов данного множества. Сочетания – это комбинации, каждая из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов, которые отличаются только составом элементов. Число таких комбинаций определяется формулой:

.

Схема выбора с возвращением

Размещения с повторением могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов:

.

Например, число комбинаций ,=9 , перечислим их:

,

Перестановки с повторениями из n элементов данного множества могут отличаться числом повторений каждого элемента. Их количество определяется формулой:

) =.

Сочетания с повторениями могут также содержать одинаковые элементы. Их количество находят по формуле:

.

1.5.Условные вероятности. Вероятность произведения событий

Пусть A и B – два события в данном опыте. Наступление одного события может влиять на наступление другого. Условной вероятностью называется вероятность события A при условии, что событие B произошло и обозначается P(A|B):

P(A|B) =

Вероятность произведения событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого события:

P(.

P(= P(

Событие A называется независимым от события B, если появление его условная вероятность равна безусловной:

Р(A|B) = P(A).

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности другого. Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

P(A,

P(.

Вероятность суммы событий

Если события A и B несовместны (A), то вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A) +P(B).

Для совместных событий вероятность суммы двух событий определяется по формуле:

P(A+B) = P(A)+P(B) – P(A.

1.6.Формула полной вероятности

Пусть события образуют полную группу событий, т.е. , i. Пусть событие A может произойти только вместе с каким-то из событий . Тогда

P(A) =

События называются гипотезами – это всевозможные предположения относительно исходов как бы первого этапа опыта, A – один из возможных исходов второго этапа. P(A) – полная вероятность события A.

1.7.Формула Бернулли

Пусть производится последовательность испытаний, то есть опыт повторяется многократно при данном комплексе условий. Пусть вероятность наступления некоторого события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Такие испытания называются независимыми. Примерами независимых испытаний является подбрасывание монеты n раз, стрельба по мишени без поправок, вынимание шаров, если шары после просмотра возвращаются назад. При каждом испытании событие A может произойти с вероятностью p или не произойти с вероятностью q =1–p.

Вероятность того, что событие A произойдет m раз определяется по формуле Бернулли:

, m= 0,1,2,…,n

1.8.Частота события

Чтобы найти вероятность, нужно количество благоприятных исходов разделить на общее количество исходов. Точно так же находится и частота события В чем же отличие? Вероятность – это прогнозируемая величина, а частота – констатация состоявшегося факта.

Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Чтобы найти моду, надо упорядочить числа по возрастанию.  Если определенное значение входит в выборку несколько раз, при упорядочении чисел не забудьте записать это число столько раз, сколько оно повторяется в выборке. Найдите число, которое встречается наиболее часто. Такое число является модой выборки. Помните, что у выборки может быть несколько мод или ни одной моды.

 Медиана –– это такое число выборки, при котором половина значений выборки больше него, а другая половина меньше. Чтобы найти медиану надо упорядочить числа по возрастанию, записывая число столько раз, сколько оно встретилось. Затем находим число посредине полученного ряда. Если числовой ряд включает четное количество чисел, вычислите среднее арифметическое двух чисел, расположенных посередине выборки.

Например, дан числовой ряд 0,1,2,3. Посредине числа 1 и 2. Медиана будет равна 1,5.

1. Примеры решения задач

Задача 1. . В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение: Определим данные для расчета: n – это общее количество младенцев, в нашем случае, n =5000, m – это количество рождающихся девочек. Так как в условии задачи дано количество мальчиков, надо найти количество девочек, вычтя число мальчиков из общего числа младенцев. m=5000-2512=2488. Теперь найдем саму частоту: =2488\5000 = 497,6 1000 0,498=0,4976

Задача 2. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение. Мы уже знаем, что частота события находится по той же формуле. Что нам известно? Что из 1000 проигрывателей 51 пришлось ремонтировать. Значит, частота этого события равна =51:1000=0,051. А вероятность равна 0,045. Что это значит? Значит, в этом отдельно взятом городе событие «гарантийный ремонт» происходит чаще, чем предполагалось. =0,051-0,045 = 0,006. Значит, на 6 проигрывателей больше.

Задачи по статистике для самостоятельного решения

1. В некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев 1237 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

2. Найдите среднее арифметическое ряда чисел 2, 5, 15, 7, 3, 6,4.

3. Найдите медиану ряда чисел 23, 18, 38, 11, 6, 42, 123, 4.

4.Найдите моду ряда чисел 7, 8, 9, 8, 7, 6, 5, 6, 7.

5.В классах 9 "А" и 9 "Б" провели медицинское обследование. При этом измерили вес учеников (с точностью до 5 кг). Результаты предоставлены в таблице:

9 «А»	60	55	65	45	70	65	60	70	50	65	75
9 «Б»	50	55	70	60	65	60	70	60	55	60	75

Найдите разность между модами измерений для классов "А" и "Б".

Задача 3. Найти число возможных результатов подбрасывания трёх игральных костей, если кости считаются неразличимыми. •

Решение. С первой кости берём числа от 1 до 6, со второй тоже с 1 до 6, с третьей с одного до 6. Три набора, все числа повторяются, порядок учитывается. Следовательно, это размещение с повторениями .

Задача 4. .Водитель-дальнобойщик отправляется в рейс «Москва—Екатеринбург». Во время рейса он планирует сделать ровно 5 остановок в городах, где живут его друзья. Однако на пути следования ему встретятся 18 таких городов, в том числе Нижний Новгород, где живет Вася — лучший друг. Сколькими различными способами дальнобойщик может выбрать города?

Решение. В данном случае на трассе порядок городов не будет меняться, лишь надо выбрать из 18 городов 5, с учетом того, что 1 город – Нижний Новгород, следовательно остаётся выбрат

=2380.

Задача 5. В холодильнике лежат 8 видов кошачьего корма в консервах и 4 вида молока. Ежедневный рацион кота состоит из 2 видов корма и 2 видов молока. Сколькими способами можно накормить кота, если в рацион обязательно должно входить молоко марки «Русское» стоимостью 87 рублей за 1 литр? •

Решение. В рацион должно входить молоко марки «Русское», поэтому надо выбрать ещё 1 молоко из оставшихся 3-х • и 2 вида корма из 8 видов корма в консервах. • И выбор молока сочетаем с количеством выбора корма

.

Задача 6. В ящике лежат цветные карточки: 12 красных, 9 зеленых и 5 синих. Сколькими способами можно достать из ящика 2 карточки одного цвета? •

Решение. .

Задача 7. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?

Решение. Искомое число трехполосных ф лагов:

Задача 8. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение. Искомое число расстановки 8 ладей

Иногда в задачах присутствует лишняя информация, которая может запутать ученика.

Если в условии задачи сказано, что порядок определяется жребием, жеребьевкой, то совершенно не важно, каким там по счету должен выступать спортсмен или профессор. Просто «забываем» эту информацию, как лишнюю.

«М. будет выступать шестым» – случайное событие, и оно равновероятное относительно другого порядка выступлений. Вероятность того, что этот конкретный человек окажется шестым по счету не отличается от вероятности того, что он же будет начинать эту конференцию или соревнования. А раз вероятности этих событий одинаковые, события называются равновероятными. А находим вероятность мы по той же классической формуле.

Задача 9. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортс-менка, выступающая пятой, окажется из Китая.

Решение. В условии задачи есть слово «жребий», поэтому забываем о порядке выступления. Важно лишь то, что спортсменка должна быть из Китая. n=20. Вычтем число спортсменов из других стран . m=20-15=5. Подставляем в формулу: р=m\n=5\20=0,25

Задача 10. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдѐт в магазин?

Решение. В условиях этой задачи очень легко запутаться. Нужна ли нам эта информация о туристе A, который хотел бы пойти в магазин? Нет. Все подчиняются жеребьевке. Значит, и А. подчиняется. Значит, есть 2 свободных места для пяти человек. Соответственно, m=2, а n=5. Рассчитываем по формуле: р=m\=2\5=0,4.

Задача 11. Таня и Маша бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если количество очков совпадает, это ничья. Найдите вероятность того, что Маша проиграла, если в сумме у них выпало 8 очков.

Решение. Составим таблицу всех возможных исходов, учитывая, что на кубике никак не может выпасть 7 очков, а поэтому случай 7+1 мы не рассматриваем!

Т М

2 6

6 2

5 3

3 5

4 4

Итак, получилось всего n =5 возможных исходов. Сколько же случаев удовлетворяет условию «Маша проиграла»? Во втором и третьем случае Маша выбросила меньше очков, чем Таня. Так что m равно 2. Отсюда вероятность р=2\5=0,4.

Задача 12. На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Решение. Нам не дано количество стран, известны лишь названия трех стран. Обозначим их заглавными буквами: Д, Ш, Н. И рассмотрим все варианты расстановки в списке выступающих (вне зависимости от того, какими по счету они будут выступать) : ДШН ШДН НШД ДНШ ШНД НДШ Всего получилось 6 вариантов перестановок этих групп. Значит, n = 6. А сколько из этих случаев удовлетворяют условию «Дания после…» обеих стран? Те, в которых буква «Д» стоит на последнем месте. Таких случаев m =2. Рассчитываем вероятность по формуле: р=m\n=2\6=0,33(3) Теперь необходимо округлить до сотых. Ответ: 0,33 Задача 13. В классе 9 учащихся, среди них два друга — Михаил и Андрей. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в одной группе. Решение. Возьмем, к примеру, первую группу и найдем вероятность попадания друзей именно в нее. Вероятность, что Михаил окажется в первой группе, равна 1/3. Вероятность же, что и Андрей окажется в ней же, будет несколько иная. Во-первых, мест в этой группе уже осталось не 3, а 2, а во-вторых, и учеников-то в классе теперь не 9, а 8. Значит, вероятность Андрея оказаться в данной группе равна 2\8=1\4. А вероятность того, что и Михаил, и Андрей окажутся в первой группе равна произведению вероятностей: Р=1\31\4=1\12. Так, вероятность появления этих товарищей в первой группе мы нашли. Но ведь групп-то 3! И они все одинаковые. Значит, вероятность попадания друзей или в первую, или во вторую, или в третью группу равна: р=1\12+1\12+1\12=3\12=1\4=0,25. Эту задачу можно решить проще! Пусть Миша уже попал в некую группу. Тогда вероятность того, что Андрей окажется в этой же группе рассчитывается следующим образом: сколько осталось мест в группе? 2. Сколько детей осталось в классе, если Мишу уже распределили? 8. Значит, вероятность равна р=2\8=0,25.

Задача 14. Вероятность того, что на тесте по математике Таня верно решит больше 12 задач, равна 0,78. Вероятность того, что Таня верно решит больше 11 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что она верно решит ровно 12 задач.

Решение. Так как Таня не может одновременно решить в контрольной 12 и 13, скажем, заданий, то все события образуют полную группу событий, суммарная вероятность которых, равна 1. Рассмотрим возможные случаи:

Ребенок решит менее 12 задач	Ребенок решит ровно 12 задач	Ребенок решит более 12 задач
Это не более 11 задач,.. Вероятность того, что Таня решит более 11 задач, равна 0,88. Значит, вероятность того, что она решит НЕ более, равна р=1-0,88=0,12	1–0,12–078=0,1	0,78

Ответ:0,1.

Задача 15. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Решение. Обозначим A=. Вероятность того, что стекло будет бракованным, зависит от того, на какой фабрике оно изготовлено. Значит, надо выдвинуть гипотезы: Вероятность бракованного стекла, изготовленного на первой фабрике, равна

, на второй– .

Тогда по формуле полной вероятности P(A) =

вычисляем искомую вероятность P(A) =

:

Задача 16. Стрелок 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составит 0,8.

А теперь рассмотрим все случаи:

Случай 1. Спортсмен попадет 5 раз.

Решение: Мы уже знаем, что для того, чтобы найти вероятность наступления и одного, и другого события, их вероятности необходимо перемножить.

р=0,80,80,80,80,8=0,32768

или по формуле Бернулли .

Случай 2. Спортсмен попадет ровно 4 раза.

Решение:

Случай 3. Спортсмен попадет не менее 3х раз.

Решение. Условию, чтобы спортсмен попал не менее трех раз, удовлетворяют исходы: «попал 3 раза», «попал 4 раза», «попал 5 раз». Вероятности последних исходов мы нашли, теперь найдем вероятность попадания ровно 3 раза:

Можно заметить, что если спортсмен попал ровно 3 раза из 5, он никак вместе с этим не может попасть 5 раз из 5, а значит, события у нас несовместные. Спортсмен может попасть или 3 раза, или 4, или 5, а значит, итоговая вероятность равна:

р=0,2048+0,4096+0,32768=0,924.

Случай 4: Стрелок не попадет ни разу

Решение: Вероятность НЕ попадания равна р =1–0,8=0,2. А значит, он должен НЕ попасть и первый, и второй, и третий, и четвертый, и пятый раз.

р=0,20,20,20,20,2=0,00032 .

Случай 5. Спортсмен попадет в мишень хотя бы один раз.

Решение. Хотя бы один раз – это все случаи, кроме «не попадет ни разу», а значит, вероятность равна р =1–0,00032=0,99968.

Задачи по теории вероятности для самостоятельного решения

1. Бросают три монеты. Найдите вероятность того, что выпадет ровно одна решка.

2. Бросаются два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

3. Бросается игральный кубик. Найдите вероятность того, что появившееся число очков кратно 3.

4. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 4.

5. Бросают три монеты. Найдите вероятность того, что выпадут ровно два герба.

6. В партии из 5 деталей находится 2 бракованных. Из партии наугад выбирают 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными?

7. Из колоды из 36 карт вытаскивают две карты. Какова вероятность того, что среди них хотя бы один туз?

8. Из ста карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 100, вытаскивают одну, затем еще одну. Какова вероятность того, что число, написанное на второй карточке, на 2 больше числа, написанного на первой?

9. Найдите вероятность того, что в написании наудачу взятого двузначного числа встречается цифра 5.

10. Одновременно бросили две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков не будет превышать трех?

11. В мешке находится 3 черных кубика и 5 белых. Случайным образом из мешка достают два кубика. Какова вероятность того, что оба кубика белые?

12. В корзине лежат 3 красных, 4 зеленых и 5 синих шаров. Найдите вероятность того, что наугад извлеченный шар окажется зеленым или синим.

13. В пенале лежат 10 простых карандашей, из них 8 мягких и 2 твердых. Из пенала последовательно достают карандаши по одному. Чему равна вероятность того, что первый вынутый наудачу карандаш будет твердым?

14. На случайным образом выбранное поле шахматной доски 8 х 8 поставили короля. Найдите вероятность того, что король оказался в угловой клетке.

15. Вася бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадет четное число очков, большее 3-х?

16. Одновременно бросили два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма выпавших чисел равна 4.

17. Вероника загадала число от 1 до 5 . Рита и Таня пытаются угадать его , записывая каждая свой вариант на отдельном листе бумаги , и не знают о числах друг друга до того , как отдадут их загадавшей . Какова вероятность того , что обе девочки угадают число с первой попытки ?

18. K человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. (K2). Найдите вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

19. Определите вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.

20. На десяти карточках написаны буквы Т, М, М, А, А, А, К, И, Е, Т. После перестановки вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найдите вероятность того, что на карточках будет написано слово «МАТЕМАТИКА».

21. В лифт двенадцатиэтажного дома на первом этаже вошли пять человек. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на одном и том же этаже; б) на восьмом этаже.

22. На полке в случайном порядке расставлено 20 книг, среди которых находится трехтомник Я. Купалы. Найдите вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).

23. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенты 3 вопроса. Найдите вероятность того, что студент знает все эти вопросы.

24. Вероятность попадания в первую мишень для данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определите вероятность поражения второй мишени.

25. Для некоторой местности среднее число ясных дней в июле равно 25. Найдите вероятность того, что первые два дня в июле будут ясными.

26. В обществе, состоящем из 2n человек, одинаковое число мужчин и женщин. Места за круглым столом занимаются наудачу. Определить вероятность того, что два лица одного пола не займут места рядом.

27. Имеется группа из k космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью p. За группой объектов ведут наблюдение независимо друг от друга m радиолокационных станций. Найдите вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены.

28. Определите вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 5% всей продукции является браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

29. Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть не принятой, если она содержит 5% неисправных деталей?

30. Производятся испытания прибора. При каждом испытании прибор выходит из строя с вероятностью p. После первого выхода из строя прибор ремонтируется; после второго - признается негодным. Найдите вероятность того, что прибор окончательно выйдет из строя в точности приk-м испытании.

31. Вероятность того, что некоторое устройство космического корабля испортится, равна p. Сколько запасных устройств нужно иметь на корабле, чтобы обеспечить вероятность правильной работы не меньше p?

32. По мосту производится бомбометание из двух самолетов. Вероятность попадания из первого самолета 0,8,второго – 0,6.Мост будет разрушен, если в него попадет хотя бы одна бомба. Какова вероятность того, что в результате одного бомбометания из двух самолетов мост будет разрушен?

33. В коробке лежат 5 красных, 7 зеленых и 3 синих игральных кубика. Случайным образом из коробки берут кубик, а затем бросают. Какова вероятность того, что выпадет 5 очков на зеленом кубике?

35. В кошельке находятся 4 монеты достоинством 2 рубля, 8 монет достоинством 5 рублей и 8 монет достоинством 1 рубль. Случайным образом из кошелька вытаскивают одну монету, а затем подбрасывают. Какова вероятность того, что выпадет решка пятирублевой монеты?

37. В кармане у Сережи находятся 7 монет достоинством 5 рублей, 10 монет достоинством 1 рубль и 8 монет достоинством 2 рубля. Мальчик случайным образом вытаскивает одну монету из кармана, а затем подбрасывает. Какова вероятность того, что выпадет орел монеты достоинством один рубль?

38. Лена засушила для гербария 6 ромашек, 10 маргариток и 4 астры, причем среди цветов каждого вида было поровну экземпляров с четным и нечетным количеством лепестков. Случайным образом из гербария взяли один цветок. Каково вероятность того, что вытащили ромашку с нечетным количеством лепестков?

39. Из пакета, в котором 6 пряников с начинкой и 3 – без начинки, наудачу последовательно по одному достают пряники до первого появления пряника без начинки. Найдите вероятность того, что пряник без начинки извлекут четвертым.

40. Из пакета, в котором 3 синих, 4 зеленых и 5 красных карандашей, наудачу последовательно по одному достают карандаши до первого появления зеленого карандаша. Найдите вероятность того, что придется производить четвертое извлечение.

41. Десять рукописей разложены по 30 папкам (на одну рукопись приходится три папки). Найдите вероятность того, что в случайно отобранных 6 папках не содержится целиком ни одна рукопись.

42. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Какова вероятность того, что две наудачу вынутые пуговицы будут одноцветными.

43. В лифт 9 этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Известно, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на каждом из этажей, начиная со второго. Найдите вероятность, что все пятеро выйдут на шестом этаже.

44. Какова вероятность того, что из шести отмеченных в карточке «Спортлото» чисел (игра 6 из 36) kчисел будут выигрышными. Ответ указать для k= 6.

45. В папке «Мои документы» лежат 6 файлов, 2 из которых являются файлами вируса. Пользователь наугад удалил 4 файла из этой папки. Какова вероятность того, что оба файла вируса были удалены?

46. Из колоды карт (36 карт, 4 масти) наугад вынимают карту, затем кладут ее обратно, перемешивают колоду и снова наугад вынимают карту. Какова вероятность того, что оба раза выпадала не карта червонной масти?

47. В коробке лежат 5 красных, 4 зеленых, 2 желтых и 9 белых шаров. Школьник берет шар наудачу и кладет его обратно. Данную процедуру он проделывает два раза. Какова вероятность того, что он достанет один красный и один зеленый шар?

48. Николай бросает монету три раза. Какова вероятность того, что решка выпадет не меньше 2-х раз?

49. Какое минимальное число раз надо бросить монету наудачу, чтобы решка выпала хотя бы один раз с вероятностью не меньше 99%?

50. В кармане лежат 6 игральных кубиков белого цвета и 9 – черного. Наудачу достается один кубик и подкидывается. Какова вероятность того, что выпадет четное число очков на белом кубике?

51. Андрей наугад называет четное число, не превышающее 200. Какова вероятность того, что оно делится на 3, но не делится на2?

52. У двух школьников по четыре шариковых ручки (красная, зеленая, синяя и черная). Они наугад обменялись одной ручкой. Какова вероятность того, у одного из них окажется две ручки черного цвета?

53. Из колоды (36 карт, 4 масти) наугад вынимают карту. Какова вероятность того, что карта червонной масти выпадет хотя бы один раз?

54. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

55. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы равны по 0,9, на третий 0,8.Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого надо ответить хотя бы на два вопроса?

56. На первом заводе на каждые 100 лампочек производится в среднем 90 стандартных., на втором – 95, на третьем – 85, а продукция их составляет 50,30 и 20% всех электролампочек, поставляемых в магазины района. Найти вероятность приобретения стандартной электролампочки.

57.Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7.Какова вероятность, что лицо, имеющее 6 билетов, выиграет по двум билетам?

58. У сборщика имеется 10 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них четыре первого, по две второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, две- второго и одна третьего?

59.Заводом послана машина за различным материалом на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0,9,на второй – 0,95, на третьей – 0,8, на четвертой-0,6.Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала?

60. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступ-лений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьѐвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

4. Задачи по комбинаторике

1.В бассейне 10 дорожек. Сколько существует способов размещения четырех пловцов на разных дорожках?

2.В забеге учувствуют 5 спортсменов. Сколько существует способов разместить их на разных беговых дорожках, если на стадионе всего 8 дорожек?

3. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых используются лишь цифры 7, 2 и 1?

4. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра 5?

5. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых вторая цифра 7?

6. Сколько всего можно составить четырехзначных чисел, начинающихся с цифры 3 и состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, в записи которых все цифры, кроме цифры 3, встречаются по одному разу, а цифра 3 – не более двух раз?

7. Сколько различных чисел можно составить, переставляя цифры числа 121232?

8. Сколько встречается трехзначных чисел, в записи которых цифры 2, 3 и 4 встречаются по одному разу?

9. Сколько встречается четных четырехзначных чисел, в записи которых цифры 3,4 и 6 используются по одному разу?

10. В автомашине 6 мест. Сколькими способами шесть человек могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только двое из них?

11. В парке 10 различных аттракционов. Сколько существует способов выбрать 4 различных аттракциона?

12. У мамы 3 яблока и 4 груши. В течение недели она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами она может это сделать?

13. У Тани есть 3 разноцветные ручки, 6 разноцветных фломастеров и 4 разноцветных карандаша. Сколькими способами можно составить набор из одной ручки, одного фломастера и одного карандаша?

14. Сколько существует вариантов раскраски всех клеток доски 1 х 9 в белый и черный цвета, если в каждом варианте должно быть в точности 8 клеток одного цвета? (Если один вариант раскраски доски с первой по девятую клетку совпадает с другим вариантом раскраски с девятой по первую клетку, то какие варианты считать различными.)

15. Сколько различных последовательностей из четырех фигур можно создать, имея достаточное количество одинаковых кругов, квадратов, треугольников и трапеций?

16. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы R. Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из трех букв (из 10 возможных), причем эти буквы могут повторятся?

17. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из четырех букв (из 10 возможных), которые не повторяются?

18. Имеются 3 разноцветных мяча, 5 разноцветных кубиков и 4 разноцветных скакалки. Сколькими способами можно получить набор из двух мячей, двух кубиков и двух скакалок?

19. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из четырех символов, если номер состоит из одной буквы (из 26) латинского алфавита, за которой следуют три цифры, отличные от нуля?

20. Сколькими способами можно рассадить 12 рыцарей за круглым столом? (Два способа считать одинаковыми, если один из другого получается поворотом стола.)

21. На детской карусели есть 10 одинаковых посадочных мест,расположенных по кругу. Покататься на карусели пришли 9 детей. Сколькими способами их может рассадить контроллер? Два способа считать одинаковыми,если один из другого получается поворотом карусели.

22. У людоеда в подвале 10 пленников. Сколькими способами он может выбрать трех из них соответственно себе на завтрак, обед и ужин?

23. В классе 25 учеников. Найдите количество способов выбрать из них 2-х дежурных.

24. Имеется 6 различных книг, 5 различных журналов и 4 различных блокнота. Сколькими способами можно получить набор из трех книг, одного журнала и двух блокнотов?

25. В шкафу лежат вперемешку разные носки – 3 серых и 4 синих. Сколькими способами можно достать 2 разноцветных носка?

26. Для участия в фотовыставке было отобрано 32 фотографии. На стендах можно разместить только 30 фотографий. Сколько существует различных вариантов размещения 30 фотографий на стендах?

27. Сколькими способами можно выбрать 3 пирожных из 17 различных?

28. После уроков 6 школьников собрались играть в футбол. Сколькими способами они могут разделится на две равные по числу игроков команды?

29. В каждый угол прямоугольного потолка комнаты нужно повесить по шарику. Сколькими способами это можно сделать, если имеется 8 разноцветных шариков?

30. В одну коробку помещается 5 мячей, а в другую – 3. Сколькими способами можно разложить в эти коробки 8 мячей из 9 различных?

31. На замке с кодом 8 кнопок с цифрами от 0 до 7. Сколькими способами можно составить шифр из четырех цифр, если все они различны?

32. На полке стоят 27 CD-дисков и 15 DVD-дисков, причем 9 CD-дисков с музыкой, а остальные – с офисными программами. Сколькими способами можно выбрать 2 CD-диска с музыкой, 1 с офисными программами и 1 DVD-диск, если все диски различны?

33. Сколькими способами три человека могут разместится в маршрутном такси, если в нем 12 мест?

34. В классе 13 мальчиков. Для участия в футбольном турнире необходимо собрать команду из 11 мальчиков. Сколько различных команд можно составить из ребят этого класса?

35. В классе всего 17 учеников. Из них 15 мальчиков. Для участия в соревнованиях нужно собрать команду из 2-х мальчиков и 1-й девочки. Сколько различных команд можно составить из учеников этого класса?

36. Сколькими способами на шахматной доске можно выбрать белый и черный квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?

37. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске белую и черную ладьи, чтобы они не били одна другую? (Ладья бьет клетки своей вертикали и горизонтали.)

38. Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга? (Ладья бьет клетки своей вертикали и горизонтали.)

39. Сколько существует пятизначных четных чисел, в которых ни одна цифра не повторяется дважды?

40. Сколькими способами можно выбрать 3 краски из имеющихся 5 различных красок?

41. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в первых трех цифрах которых не встречается 0 и 9?

42. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?

43. Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способами можно составить посылку из 3 книг и 5 журналов?

44. В классе 6 сильных математиков. Сколькими способами из них можно составить команду для участия в районной олимпиаде по математике, если от класса можно послать команду от 2 до 4 человек?

45. Имеется три карандаша: красный, синий и зеленый. Сколькими способами можно выложить в ряд эти карандаши?

46. Имеется 10 разноцветных шариков, 5 различных открыток и 3 разноцветные ленточки. Сколькими способами можно составить набор из двух шариков, одной открытки и одной ленточки?

47. Из 6 цветов краски, представленных в магазине, необходимо выбрать два различных цвета для стен в комнате и один, возможно, совпадающий с одним из них, для потолка. Сколькими способами это можно сделать?

48. Сколькими способами можно разместить 10 из 12 различных кубиков по двум коробкам, если в одну из них помещается 3 штуки, а в другую – 7?

49. В одном из залов кинотеатра в день проходит по 4 сеанса. Сколько существует способов составить расписание на 1 день так, чтобы не было повторов, если в репертуаре кинотеатра 5 фильмов?

50. На кодовом замке 10 кнопок с цифрами от 0 до 9. Сколькими способами можно составить ключевой шифр из трех цифр, если все они различны?

51.Номера машин состоят из 3 букв русского алфавита (33 буквы) и 4 цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?

52. На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 6 звуков?
53. Сколько есть шестизначных чисел, делящихся на 5?
54. Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в три кармана?
55. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?

56. Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?

57. Сколько есть пятизначных чисел, делящихся на 5, в записи которых нет одинаковых цифр?

58. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
59. Из слова РОТ перестановкой букв можно получить еще такие слова: ТОР, ОРТ, ОТР, ТРО, РТО. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова ЛОГАРИФМ?

60.  девочек и  мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из  мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы никакие две девочки не сидели рядом?

Список используемых источников

1) Демоверсии ЕГЭ-2012, ЕГЭ-2013

2) http://mathege.ru/

3) http://live.mephist.ru/

4) http://shpargalkaege.ru/

5) http://решуегэ.рф/

6) http://ege.yandex.ru/mathematics/

7) В.В. Прилепова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ В ЕГЭ И ОГЭ vk.com/mat24