Стереометрия есептері

СТEРЕОМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІ

Шардың өзара перпендикуляр екі қимасының ортақ хордасының ұзындығы 12. Қималарының аудандары 100π, 64πболса, шардың радиусын тап.

Шешуі: АВ - хорда , ОҒ - шардың радиусы

Алдымен, О₁Е және О₂Ғ – қималардың радиустарын тауып алайық.

π·О₁Е² = 100π және π·О₂Ғ² = 64π

О₁Е = 10 және О₂Ғ = 8

1) ΔАСО₁: АС = 6; АО₁= О₁Е = 10

О₁С² = АО₁² – АС²

О₁С² = 10² - 6²

О₁С² = 64

О₁С = 8

2) ΔОО₂Ғ: ОО₂ = О₁С = 8

ОҒ² = ОО₂² +О₂Ғ²

ОҒ² = 8² +8²

ОҒ² = 128

Жауабы:

№2 Шардың үлкен дөңгелегінің ауданы 50π. Шардың өзара перпендикуляр қималарының ортақ хордасының ұзындығы 6 см. Егер бір қимасының ауданы 25π болса, шардың центрінен қималарының жазықтығына дейінгі қашықтықты тап.

Шешуі: шардың центрінен қималардың жазықтығына дейінгі ара қашықтықтар ОО₁ және ОО₂-ны табу керек. Ол үшін:

1) шардың үлкен дөңгелегінің ауданы белгілі, ендеше шардың радиусы

R – ді тауып алайық, S=πR²

πR² = 50π

R² = 50

ОҒ = R =

2) Есеп шарты бойынша шардың бір қимасының ауданы 25π. Осы қиманың радиусы О₁В –ның мәнін табайық.

S=πR²

π·О₁В² = 25π

О₁В² = 25

О₁В = 5 см.

3) ΔВО₁Е - тік бұрышты, АЕ = 3см. О₁В = 5 см.

О₁Е² = О₁В² – АЕ²

О₁Е² = 5² – 3²

О₁Е² = 16

О₁Е = 4 см

О₁Е = ОО₂ = 4 см

4) ΔОО₂Ғ - тік бұрышты, ОО₂ = 4см. ОҒ = см.

О₂Ғ² = ОҒ² – ОО₂²

О₂Ғ² = ( )² – 4²

О₂Ғ² = 34

О₂Ғ = см

О₂Ғ = АО₂ = см

5) ΔАО₂Е - тік бұрышты үшбұрышын қарастырамыз, АЕ = 3см. АО₂ = см

О₂Е² = АО₂² – АЕ²

О₂Е² = ( )² – 3²

О₂Е² = 25

О₂Е = 5 см

Сонымен, О₂Е = ОО₁= 5 см

Жауабы: ОО₁= 5 см ОО₂ = 4 см

3) Табанының қабырғасы 9 см және биіктігі 10 см болатын үшбұрышты дұрыс пирамидаға сырттай шар сызылған. Шар радиусын тап.

Б ерілгені: пирамида, шар

ΔАВС - тең қабырғалы: АВ=а = 9 см.

SO₁ = H = 10 см.

т/к: SO - шар радиусы

Шешуі:

1-тәсіл:

SK – шардың диаметрі. SO - шардың радиусы және SO = ½*SK. ендеше шардың радиусын табу үшін SK диаметрін тапсақ болғаны.

1) Алдымен, О₁В – АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер радиусының мәнін есептейік. /R= формуласы бойынша/

О₁В =

О ₁В=

2) ΔSВК – тік бұрышты, О₁К = х см, SО₁= 10 см, ВО₁= см.

ВО₁= (тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузаға жүргізілген биіктігі)

= (екі жағын квадраттаймыз)

10х=27

х = 2,7

Сонда: О₁К = 2,7см.

3) SК= SО₁ + О₁К

SК = 10 + 2,7 = 12,7

SO = ½*SK

SO = 12,7 : 2 = 6,35

2-тәсіл: (формула бойынша)

Есеп шартында пирамиданың табан қабырғасы a =9 см және биіктігі

һ = 10см. Осы пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусын табу қажет.

Ол үшін формуласын қолданамыз.

Жауабы: 6,35 см

№4 (Шың) Сфера радиусы 3 тең бөлікке бөлінгін. Осы нүктелер арқылы радиусқа перпендикуляр жазықтықтар жүргізілген. Қималардың ұзындықтарының айырмасы болса, сфераның ауданын тап.

Шешуі: Алдымен, ОА = ОС =ОВ = R ( шар радиусы)

О₂В = х және О₁С = у деп белгілеп алайық. Сонда:

l₂ – l₁= (есеп шарты бойынша)

2πу - 2πх =

у – х = (*)

1) ΔВОО₂: О₂В= х және ОО₂=

2) ΔСОО₁: О₁С= у және ОО₁=

3) (*) –ның орнына х пен у-тің мәнін қойсақ:

R= 9

4)

Жауабы: 324π

5.Сфера центрінің бір жағында орналасқан, сфераны қиятын параллель қималардың ұзындығы 10π және 24π . Жазықтықтар арасы 7 см болса, сфера бетінің ауданын табыңдар.

Шешуі: О₁О₂ = 7см, ОО₁= х см, ОО₂ = 7 + х, ОВ=R

1) Есеп шарты бойынша қималардың ұзындықтары 10π және 24π . Ендеше олардың радиустары сәйкесінше 5 см және 12 см.

Яғни, О₂В = 5 см ; О₁А= 12 см.

2) ΔОО₂В: ОВ=

ОВ² = 5² +(х+7)²

ОВ² = х² +14х+74 (*)

3) ΔОО₁А: ОА=

ОВ² = х² +12²

ОВ² = х² +144 (**)

4) (*) және (**) теңдіктерінен:

х² +14х+74 = х² +144

14х = 70

х = 5

5) R² = 5² + 144 = 169

R=13 см

6)

Жауабы: 676 π

6.Радиусы 41дм шарды оның центрінен 9дм қашықтықта жазықтық қиып өтеді. Қиманың ауданын табыңдар.

Шешуі: Sқима = π·r² = π·ВО₁²

ΔОВО₁ – тік бұрышты

О В₁²= АО² – ОО₁²

ОВ₁²= 41² – 9² = 1681 - 81=1600

S_қима = π·ВО₁²= 1600π (дм²)

Жауабы: 1600π

7. Шардың диаметрі 1: 3: 2 қатынасындай бөлінген және осы нүктелер арқылы перпендикуляр жазықтықтар жүргізілген. Егер қималардың аудандарының қосындысы 52π болса, шар бетінің ауданын табыңдар.

Шешуі: АВ – шардың диаметрі, АВ = 6х (есеп шартынан)

Сонда шардың радиусы R= 3х болады.

1) О₁С = R₁ және О₂D= R₂ қималардың радиустары

π(R₁² + R₂²) = 52π

R₁² + R₂²= 52 (*)

2) ΔОО₁С: ОС=R= 3х, ОО₁ = 2х,

R₁² = (3х)² – (2х)² = 5х²

3) ΔОО₂D: ОD=R= 3х, ОО₂ = х,

R₂² = (3х)² – х² = 8х²

4) (*) орнына мәнін қойсақ:

5х² + 8х² = 52

13 х²= 52

х²=4

х=2

5) R= 3х

R= 3·2= 6 (см)

Жауабы: 144 π

8. Радиусы шарға іштей дұрыс АВСА₁В₁С₁ призмасы сызылған. АС₁ мен ВСС₁ арасындағы бұрыш 45º болса, призма көлемін табыңдар.

Шешуі: АО – призмаға сырттай сызылған шардың радиусы. АО = ,

Н –призма биіктігі. Призма табанының қабырғасын а деп белгілейік.

1) ΔАСК үшбұрышын қарасырайық: СК=а/2, АС=а

АК=

2) ΔАКС₁ – тең бүйірлі, тікбұрышты үшбұрыш

₁= ₁К =45º

АК=КС₁=

АС₁= (Пифагор теоремасы)

АС₁=

АС₁=

3) ΔАА₁С₁ –тікбұрышты үшбұрыш

АА₁=

АА₁=

АА₁=H

Н=

4) ОО₁= ½*Н

ОО₁=

5) ΔАОО₁ –тікбұрышты үшбұрыш:

АО₁= (үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусы)

АО = ,

АО²= ОО₁² + АО₁²

6) Н= теңдігіне а-ның мәнін қойямыз.

Н=

7) Енді призманың көлемін табамыз:

Жауабы:

9.Үшбұрышты пирамиданың екі бүйір жағы өзара перпендикуляр және олардың

аудандары Р мен Q-ға тең, ал ортақ қырының ұзындығы а-ға тең.

Пирамиданың көлемін тап.

Шешуі: Есеп шарты бойынша АВ=а

S_ΔSАВ =Р және S_ΔАВС =Q

(ΔSАВ) (ΔАВС). Сонда SК – пирамида биіктігі болады

Пирамиданың көлемі:

1)Алдымен, ΔSАВ-ны қарастырамыз

2)

Жауабы:

10.Табан қабырғасы болатын DАВС үшбұрышты дұрыс пирамида берілген. Бүйір қыры табан жазықтығымен 60º бұрыш жасап көлбеген. қосындысы неге тең?

Ш ешуі: = = =

Олай болса, бізге DВ – пирамиданың бүйір қырын табу қажет.

Ол ұшін, ΔDОВ-ны қарастырамыз.

ОВ – АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер радиусы және 30º-қарсы жатқан катет

DВ = 2·ОВ

DВ = 2·1=2

Жауабы: 2

11. DАВС пирамидасында АD қыры биіктігі болады. АС=18, АВ =12, АD=5, . Пирамиданың төбесінен табанының медианаларының қиылысу нүктесіне дейінгі қашықтықты табыңдар.

Ш ешуі: О – медианаларының қиылысу нүктесі.

1)ΔАВС: АС=18 және АВ=12, ВС=

АК – медиана

фориуласын қолданып, АК медианасын тауып алайық.

АК=

2) АО:ОК=2:1 медиананың негізгі қасиетін пайдаланып, ОК-ны есептейміз

АО=АК – ОК

АО= – ОК

Сонда: ОК=

АО= – =

3) ΔАDО - тік бұрышты, АD=5, АО=

ОD =

Жауабы:

12) Тік призмаға іштей сызылған цилиндрдің толық бетінің ауданы 106π. Тік призманың табаны бұрышы 45º болатын ромб. Цилиндр осімен призманың бүйір жағының диагоналі арасы болса, призманың көлемін тап.

Б ерілгені: призма, цилиндр

ЕҒ=

α= 45º

S_т.б= 106π

т/к: V_призма

Шешуі:

ЕҒ=ОК

ОК- ромбқа іштей сызылған шеңбер радиусы.

S_т.б= 2πr(Н + r)

2πr(Н + r)= 106π

r(Н + r)=53 мұндағы r=ОК=

·(Н + )=53

·Н + 50 =53

·Н=3

2) ромбтың биіктігін һ деп белгілесек, һ=2r болады.

Сонда: , һ=2· =

3) Ромб ауданының формулаларын қолданып, оның қабырғасы а-ны тауып алайық

S= а·h және S= а² ·sinα

·а = а² ·sin45º

4) Призманың көлемін табайық.

S= а·h

S= 20· =

Жауабы: 120