Решение дифференциальных уравнений

Примеры решений дифференциальных уравнений.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Решение дифференциальных уравнений»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной является функция одной переменной, причем уравнение содержит не только неизвестную функцию, но и ее производные различных порядков. Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение: они широко используются в механике, астрономии, физике и других науках. Широкое распространение дифференциальных уравнений в естествознании объясняется тем, что многие явления и процессы, происходящие в природе, количественно описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

При решении дифференциальных уравнений главной задачей является определить тип дифференциального уравнения, а затем четко следовать алгоритму решения дифференциальных уравнений этого типа.

ПРИМЕР 1

Задание

Решить дифференциальное уравнение первого порядка

Решение

Данное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные

Проинтегрируем левую и правую части последнего равенства

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Решить дифференциальное уравнение первого порядка

Решение

Запишем уравнение в виде

Данное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой . Считая функцией от , получим:

Подставляя полученные выражения в первое уравнение, приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

Делая обратную замену, окончательно получим:

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Разделим обе части этого уравнения на , получим:

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Введем замену

Подставляя замену в последнее уравнение, будем иметь:

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

Сделаем обратную замену :

Выразим из последнего уравнения :

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Решить дифференциальное уравнение первого порядка

Решение

Имеем линейное дифференциальное уравнение. Решение будем искать в виде произведения двух функций , тогда по правилу дифференцирования произведения: . Подставляя все в исходное уравнение, получим:

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно 0. Тогда имеет место система

Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Положим , тогда . Подставим найденное значение во второе уравнение и решим его:

Учитывая, что мы искали решение в виде , искомая функция

Ответ

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: Прочее.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Решение дифференциальных уравнений

Автор: Каинбаева Лариса Сагижановна

Дата: 09.06.2017

Номер свидетельства: 421226

Похожие файлы

"Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными"

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(123) ""Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными""
    ["seo_title"] => string(71) "reshenie_differentsialnykh_uravnenii_s_razdeliaiushchimisia_peremennymi"
    ["file_id"] => string(6) "622831"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1673473002"
  }
}

Урок по теме "Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными"

object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(132) "Урок по теме "Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными" "
    ["seo_title"] => string(86) "urok-po-tiemie-diffierientsial-nyie-uravnieniia-s-razdieliaiushchimisia-pieriemiennymi"
    ["file_id"] => string(6) "241947"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1445349832"
  }
}

Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(109) "Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений"
    ["seo_title"] => string(61) "kompiuternoe_modelirovanie_i_reshenie_nelineinykh_uravnenii_1"
    ["file_id"] => string(6) "569747"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1610370235"
  }
}

Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(109) "Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений"
    ["seo_title"] => string(61) "kompiuternoe_modelirovanie_i_reshenie_nelineinykh_uravnenii_2"
    ["file_id"] => string(6) "569748"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1610370634"
  }
}

Конспект урока "Решение логарифмических уравнений"

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(95) "Конспект урока "Решение логарифмических уравнений" "
    ["seo_title"] => string(58) "konspiekt-uroka-rieshieniie-logharifmichieskikh-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "156959"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1421510791"
  }
}

Решение дифференциальных уравнений

Просмотр содержимого документа «Решение дифференциальных уравнений»

Похожие файлы

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«Решение дифференциальных уравнений»