Проценты на все случаи жизни

Рудовский филиал МБОУ «Пичаевская СОШ»

Проценты на все случаи жизни

Исследовательская работа

Автор –

Пономарёв Сергей Дмитриевич,

обучающийся 9 класса

Руководитель –

Зайцева Елена Михайловна,

учитель математики

2016-17 учебный год

Содержание

1. Введение 3

2. Процентные расчёты в жизнедеятельности человека 5

3. Заключение 14

4. Список используемой литературы 15

Введение

Математике должны учить в школе еще с той целью,

чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными

для обыкновенных потребностей в жизни.

Н.И. Лобачевский

Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, экономическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Данная тема сейчас весьма актуальна, ибо понятие «кредит» (будь то ипотека, или авто-кредит) прочно вошло в жизнь современного человека. Люди берут банковские кредиты и, как правило, не могут правильно рассчитать процентные выплаты. Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные. Текстовые задачи на проценты включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы и средней (полной) школы (во второй части материалов ЕГЭ)

Цель работы: выяснить широту применения процентных вычислений.

Задачи:

• Изучить научную литературу по теме исследования.

• Показать применение процента при решении

реальных задач из разных сфер жизнедеятельности человека.

• Провести самостоятельное исследование по процентным вычислениям.

• Обобщить результаты работы.

Основополагающий вопрос

Можно ли прожить в современном мире без процентных расчетов?

Проблемные вопросы

Как возникли проценты?

Учебные вопросы

Что такое проценты? Какие основные задачи на проценты мы должны уметь решать? В каких жизненных ситуациях применяются процентные расчеты в настоящее время?

Процентом называется сотая часть числа. Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в  1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды).

Знак % произошёл благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменялось словом «cento» (сто) и писали сокращённо – cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.

Процентные расчёты в жизнедеятельности

Столкнувшись с процентами в первый раз мы вдруг замечаем, что они сопровождают нас повсюду - не только в школе (на уроках математики, физики, химии, биологии, географии и т.д.), но и в повседневной жизни: в магазине (особенно во время предпраздничных скидок), на работе (повышение и понижение зарплаты), в банке, в СМИ, Интернете и многом другом. Ориентироваться в мире процентов на хорошем уровне не так уж и просто!

При сортировке задач на проценты, можно выделить 3 основные

группы: обычные задачи на проценты (повседневные, вычисления процентов

от числа); задачи на смеси, растворы, сплавы; задачи банковских систем

(кредиты, вклады).

Решение задач на проценты

При решении задач на проценты в 5 - 6 классах применяют следующие правила:

1. Нахождение процентов от числа:

Чтобы найти проценты от числа нужно, проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число.

1. Нахождение числа по его процентам:

Чтобы найти число по его процентам нужно, проценты превратить в десятичную дробь и число разделить на эту дробь.

1. Нахождение процентного отношения чисел:

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100.

Некоторые из них:

Задача 1. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда

грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов

после подсушивания?

Решение.

Так как влажность грибов составляет 99%, это означает, что на так

называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е. 1 кг, после сушки

влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е. 1кг это

0,02 подсушенных грибов, 1 кг : 0,02=50 кг.

Ответ. 50 кг

Задача 2. Вода при замерзании увеличивается на 1/9 своего объёма. На сколько процентов своего объёма уменьшится лёд при превращении в воду?

Решение.

Если V – объем воды, то (1 + 1/9) х V = 10/9 х V – объём льда.

объём льда – объём воды

Искомое решение = ________________________ х 100 %;

объём льда

подставив необходимые величины, получим, что объём льда уменьшится на 10%.

Ответ: на 10 %.

Задача 3. Если первую цифру двузначного числа увеличить на 25 %, то получим его вторую цифру, а если вторую цифру этого двузначного числа уменьшить на 20 %, то получим первую цифру. Найдите это двузначное число.

Решение.

Пусть а – первая цифра двузначного числа;

b – вторая цифра двузначного числа.

Имеем систему уравнений:

1,25a = b;

0,8b = a,

учитывая, что а, b – цифры, получим, что а = 4 и b = 5.

Ответ: Искомое двузначное число – 45.

Задача 4 . В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за 2 месяца?

Решение.

Утверждать, что цена выросла на 50%, нельзя, поскольку «первые» 30% подсчитываются от цены в конце декабря, а «вторые» 20% - от другой величины, цены на конец января.

Потом будем рассуждать последовательно, обозначив для удобства первоначальную цену S. В конце января она стала равна 1,3S, а в конце февраля – 1,2 * (1,3S) = 1,56S. Следовательно, она выросла на 56%.

Решение можно записать так:

Пусть S – первоначальная цена.

1)1,3S – цена в конце января (130% от S).

2)1,2 * (1,3S) = 1,56S – цена в конце февраля (120% от 1,3S).

3)1,56S составляет 156% от S.

156% - 100% = 56%

Ответ: за 2 месяца цена выросла на 56%.

Задача 5. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

Решение.

Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в единицу времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%

Ответ. 150 %

Вывод: Задачи с процентами можно решать разными способами: уравнением, составлением таблицы, применяя пропорцию, по действиям, используя правила.

Решение задач на сложные проценты.

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход. Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.

х (1+ 0,01а)ⁿ - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов,

где х - начальный вклад, сумма.

а – процент(ы) годовых

n- время размещения вклада в банке

Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01а)ⁿ - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

Так как в задачах используется такое понятие, как депозит, поэтому необходимо разъяснить что это такое.

Задача 1. Банк обещал своим клиентам годовой рост вклада 30%. Какую сумму денег может получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей?

Решение.

1) 4500 * 0,3 = 1350(руб.) – «прирост» за год.

2) 4500 + 1350 = 5850(руб.)

Ответ: в конце года на счете будет находиться 5851 руб.

Задачу можно было бы решить и иначе: сначала найти, сколько процентов составит сумма на счете в конце года от первоначальной – 100% + 30% = 130%, а затем вычислить 130% от 1500 руб.

Задача 2. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 руб.?

Решение.

1. 100% + 25% = 125% - составляет 1000 руб. от первоначального вклада.

2. 125% = 1,25 = 800 (руб.) – сумма вклада.

Ответ: сумма вклада 800 руб.

Задача 3. В банке открыт срочный депозит на сумму 50000 рублей по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму, если проценты: а) простые; б) сложные.

Решение:

По формуле простых процентов:

Sn = (1 + 3*0.12)*50000 = 68000 рублей

По формуле сложных процентов:

Sn = (1 + 0.12)³ *50000 = 70246 рублей .

Задача 4. В банке открыт срочный депозит на сумму 50000 рублей по 12 % на 3 года. Рассчитать наращенную сумму, если проценты начисляются ежеквартально.

Решение:

По формуле сложных процентов:

Sn = (1 + 0.12/4)^3*4 *50000 = 1.03¹²*50000 = 71288 рублей

Задача 5. Банк предлагает два варианта депозита:

1. под 120% с начислением процентов в конце года.

2. под 100% с начислением процентов в конце каждого квартала.

Определить более выгодный вариант размещения депозитов на один год.

Решение:

Более выгодным считается тот вариант, при котором наращенная за год сумма будет больше. Для оценки вариантов начальную сумму примем равную 100 рублей.

По первому варианту наращенная сумма будет равна

(1+1.2)*100 = 220 рублей

По второму варианту проценты начисляются ежеквартально. По окончании первого квартала наращенная сумма равна

(1+1.0/4)*100 = 125 рублей

По окончании второго квартала (1+1.0/4)*125 = 156 рублей или (1+1.0/4)²*100 = 156 рублей

За год наращенная сумма равна

(1+1.0/4)⁴*100 = 244 рубля.

Вывод: Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.

Применение процентов в жизни. Исследование бюджета семьи:

Проценты широко применяются в повседневной жизни. Я покажу это на примере бюджета семьи. При составлении семейного бюджета я использовал правило нахождения процентов от числа для того, чтобы узнать процентный доход в бюджет каждого из родителей.

Вычисления:

Для того чтобы найти в процентах зарплату, надо сумму умножить на 100 и разделить на 32000.

1.  = 54%

1.  46%

№п.п	Ф.И.О.родителей	Зарплата, руб	%
1	Пономарёв Дмитрий Александрович	17 000	54
2	Пономарёва Жанна Николаевна	15 000	46
итого		32 000	100

Вывод: составил бюджет своей семьи, применил свойство нахождения процентов от числа и представил данные в виде диаграммы.

Чтобы наглядно увидеть распределение семейного бюджета я составил таблицу.

№	Расход	сумма , руб	%
1	Коммунальные услуги	3000 руб.	9 %
2	Плата за электроэнергию	500 руб.	1,5 %
3	Плата за услуги сотовых телефонов	600 руб.	2 %
4	Питание	12000 руб.	37,5 %
5	Одежда	10000 руб.	31 %
6	Расходы на лекарство	500 руб.	1,5 %
7	Моющие средства	250 руб.	0,9 %
8	Покупка корма для домашних животных	250 руб.	0,9 %
9	Транспортные средства	1000 руб.	3 %
10	Покупка школьных принадлежностей	800 руб.	2,5 %
11	Предметы личной гигиены	500 руб.	1,5 %
12	ИТОГО	29400 руб.	91,3 %

Из таблицы видно, что наибольшее число процентов семейного бюджета расходуется на питание (37,5%), приобретение одежды (31%), на транспортные средства.

Вычисления:

Для того чтобы найти проценты от суммы ,надо сумму умножить на 100 и разделить на 1400.

1.   ; 2)  ; 3)  ;

4)  ; 5)  31% ; 6)  ;

7)  ; 8) ; 9)   ;

10)   ; 11)  .

Вывод: с помощью процентов можно спланировать свои расходы.

Применение процентов при обработке информации

Также мною исследованы данные о размерах площадей таких административных единиц как Тамбовская область, Пичаевский район и с. Рудовка , они собраны в таблицу.

Наименование Административной единицы	Площадь территории муниципалитета кв. км	Сравнение в%
Тамбовская область	34300	100
Пичаевский район	1294	3
Рудовский сельсовет	112	0,3

Применение процентных вычислений широко, я показал в процентах качество знаний моих одноклассников

Качество знаний учащихся 9 класса Рудовского филиала МБОУ «Пичаевская СОШ» по математике за 1 четверть, 2016-17 учебный год

№п\п	Ф.И уч-ся	Оценка за 1 ч.	% обученности по классу	% качества знаний по классу
1	Андреева Юлия	3	100	55
2	Бабунова Оксана	3
3	Брюнчалин Николай	4
4	Ермолаев Александр	3
5	Клемешова Алина	4
6	Мешков Георгий	4
7	Пономарёв Сергей	4
8	Соловьёва Анастасия	3
9	Сазонов Павел	5

Вывод: проценты помогают наглядно обрабатывать информацию

Заключение

Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

В своей работе я показал применение понятия процента при решении реальных задач только из некоторых сфер жизнедеятельности человека. В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что проценты помогают нам:

• Грамотно разбираться в большом потоке информации.

• Правильно вкладывать деньги.

• Грамотно брать кредиты, выбирая более выгодный вариант.

• Совершать выгодные покупки, экономя на скидках.

• Решать математические задачи.

Трудно назвать область, где бы не применялись проценты.

Как известно, выводы опираются на анализ. Люди не знают более удобного способа анализировать, чем процентный.

Он наиболее точен и прост в применении. Его суть понятна даже ребёнку.

Применение в жизни процентных расчетов полностью рассмотреть очень сложно, так как проценты применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Данная тема оставляет широкое поле для дальнейших исследований.

Список используемой литературы

1. Виленкин, Н. Л. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989. – С. 73.

2. Виленкнн, Н. Л., Жохов, В. И., Чесноков, А. С., Шварцбурд, С. И. Математика 6. – М.: Дрофа, 2011.

3. Быков А.А. и др В помощь поступающим в ГУ – ВШЭ, Математика, М: ГУ-ВШЭ, 2010.

4. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др., Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика, М: Интеллект- Центр, 2009.

5. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математике М: Наука, 2008.

6. Семенко Е.А. и др., Готовимся к ЕГЭ по математике, Краснодар, Просвещение-Юг, 2012.

7. Алгебра, 9, под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение, 2010

8. http://ru.wikipedia.org/wiki/

17