Проект "Удивительный мир чисел"

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Большеанненковская средняя общеобразовательная школа»

Фатежского района Курской области

ПРОЕКТНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

Математика

предмет

«Удивительный мир чисел».
_________________________________________________________

Тема работы

Исполнитель:

учащиеся 6 класса

Руководитель: Кирсанова Светлана Евгеньевна,

учитель первой квалификационной категории

Дата защиты ____________________________

№ протокола______________________________

Баллы __________________________________

Председатель жюри:

________________________________________

должность_______________________________

д. Большое Анненково

2017

Оглавление

I.Введение ………………………………………………………………………... 3

Цели и задачи.

II.Основное содержание работы…………………………………………………6

Глава 1…………………………………………………………………………….6

1.1 История развития числа…………………………………………………….6

Глава 2…………………………………………………………………………….8

2.1 Символика чисел………………………………………………….................8

2.2 Красота совершенных чисел………………………………………………. 9

2.3 Узы дружбы в мире чисел………………………………………………….11

2.4 Простые числа……………………………………………………...............13

2.5 Числа – близнецы……………………………………………………………15

2.6 Числа – палиндромы………………………………………………………..16

2.7 Исследовательская работа

«Вычисление приближенного значения пи»………………………………….17

III.Заключение…………………………………………………………………..18

IV.Список используемой литературы…………………………………………19

V. Приложения.………………………………………………………………….20

I.Введение

«Если бы ни число и его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь им само по себе, ни в его отношениях к другим вещам. Мощь чисел проявляется во всех деяниях и помыслах людей, во всех ремеслах  и в музыке».         Пифагореец Филолай, 5 в. до н. э.

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.  Существует большое количество определений понятию «число».  Первое научное определение числа дал Евклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

        Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору. В своей «Общей арифметике» (1707г.) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое  число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».

Проблема исследования:  Как в процессе развития человека возникли первые числа.

Актуальность исследования, на наш взгляд, обусловлена все возрастающим интересом класса к понятиям числа разных периодов жизни. Новизна работы состоит в том, чтобы показать различные определения чисел математиков разных лет

Цель работы: на основании учебно – популярной литературы попытаться воспроизвести историю возникновения и развития понятия «число».

Задачи:

• изучить соответствующую литературу;

• выяснить удивительные факты из мира чисел, неизучаемые в школьном курсе;

• опробовать получение некоторых фактов.

Предмет исследования:
Арифметика

Объект исследования:
понятие «число».

Этапы и организация работы по исследованию:

I этап – Подготовка и планирование работы.

На первом занятии обучающиеся познакомились со стартовой презентацией, затем ответили на вопросы анкеты для выявления интересов обучающихся. В соответствии с ответами ребят по выбору направления деятельности были сформированы 3 группы-математики, информатики и регулировщики (по интересам), необходимые для реализации проекта. Ребята познакомились со списком рекомендуемых книг, электронных материалов, ссылками на Интернет-ресурсы, были даны рекомендации по проведению проекта. Так же бы Интернет, правила соблюдения авторских прав и этикета, правила поиска информации. Вместе с обучающимися обсудили продукты деятельности групп (как и в какой форме будут представлены полученные результаты исследования, школьники ознакомились с критериями оценивания результатов деятельности по проекту. Проинформировали родителей об участии детей в проекте, ознакомили с целями и задачами учебного проекта.

II этап – Этап сбора, анализа и оформления полученных материалов

На консультациях совместно со школьниками составили и обсудили с план работы в каждой из групп. Определили основные источники и способы поиска информаци, были даны рекомендации - своевременно фиксировать все используемые источникии информации (лист учёта используемых ресурсов). Каждой группе дано задание и необходимые рекомендации для подготовки необходимых материалов для подготовки итогового продукта исследования групп – презентации. На консультациях проводилась самооценка деятельности каждого члена группы, вносились корректировки в деятельность школьников по поиску информации. Каждая группа с помощью учителя анализировала, отбирала и систематизировала информационные материалы. Затем в ходе совместного обсуждения каждая группа создавала итоговые материалы - презентации школьников по темам «История возникновения и развития представлений о числах».

III этап – Этап представления проекта

Провели урок-защиту проекта. Каждая группа представила и защищала результаты своей работы, которую оценивали одноклассники. Были проведены рефлексия участников проекта и итоговое оценивание работы каждой группы в соответствии с принятыми в начале проекта критериями.

Методы исследования:

1. Сбор группами информационных материалов из разных источников в соответствии с проблемными вопросами.

2. Анализ и отбор собранных материалов.

3. Проведение промежуточного оценивания работы каждого из участников группы.

4. Обсуждение и систематизация собранных материалов.

5. Совместная работа в группах по созданию продуктов проектной деятельности-презентаций,

Планируемый результат: Презентации школьников по теме «Удивительный мир чисел»

Гипотеза: Две стихии господствуют в математике - числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Само возникновение понятия числа - одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительно, числа не только что-то измеряют. Числа сравнивают и вычисляют, рисуют и проектируют, сочиняют и играют, делают умозаключения и выводы.

II.Основное содержание работы.

Глава 1

1.1 История развития числа

Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Подсчитывать числа люди научились еще в каменном веке – палеолите, десятки тысяч лет назад. Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше животных. Первым понятием математики, с которыми столкнулись люди, были «меньше», «больше» и «столько же». Если одно племя меняло пойманных им рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой один нож, чтобы обмен между племенами состоялся.  Первобытный человек мог сказать, что он собрал достаточно ягод. Охотник с первого взгляда мог определить, что потерял одно из копий. Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. И вот более 8 тысяч лет тому назад древние пастухи  стали делать из глины кружки – по одному на каждую  овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное зайдет в загон.  Но потом оказалось, что удобнее сравнивать все множества с одним и тем же множеством – посредником. Так как пальцы всегда были при себе, то и стали считать по пальцам.  Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: 1 –«энэа» и 2 – «петчевал». Другие числа они выражали составными числительными: 3 – «петчевал-энэа», 4 – «петчевал-петчевал».

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Например, жители острова Фиджи число 10 называли «боло», считая лодки, «каро» - считая кокосовые орехи. Аналогично поступали живущие на Сахалине и берегах Амура нивхи. Мы и сейчас используем разные числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча» и т.д. Но шло время и человек стал нуждаться в определении количества, то есть в числах. Пастухи должны были считать поголовье животных. Фермерам нужно было отсчитывать сроки сезонных работ. В связи с этим  и придумывались новые числа: «три», «четыре» и т.д. Долгое время пределом познания было число «семь». О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течении семи дней и принимать каждодневно по семь ложек». Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

 Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка – сороковка – сорок ведер и т.д. Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления.            

           Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ – просветитель Даламбер (1717 -1783 гг).

Глава 2

2.1 Символика чисел

        Символика чисел характерна для ранних стадий развития человечества, начиная с родового общества. Особенное развитие получила в древнееврейских государствах, в еврейском жречестве с его пристрастием к кабалистике и мистицизму чисел и счета, у пифагорейцев, у алхимиков средневековой Европы, а позднее у масонов.

     Уже у первобытного человека число 1 означало мужчину, число 2 – женщину, и от них произошел весь мир, ибо 1+2=3 числу, означающему единство. Тройка считалась с древнейших времен у многих народов совершенным числом, ибо 3.3 давало сразу 9, чего не происходило с 2, так как 2+2=2*2. Четные числа всегда считались более совершенными, чем нечетные, ибо четные всегда делились без остатка на 2, нечетные лишь в редких случаях (на 3, на 5, на 7).

        Число 4 поэтому считалось совершеннее 3, ибо было и четным и служило для завершения полноты (1+2+3+4=10). Число 10 рассматривалось как число окончания и служило символом мирового порядка, ибо у человека по 10 пальцев рук и ног.                 Христианство восприняло эту символику , дав 10 заповедей. Число 5- половина 10 и отсюда символ середины, равновесия,  равноудаленности.  Число 7 считалось символом святости у многих народов, и прежде всего у семитов. От них эту символику восприняли и некоторые современные народы ( в Европе, в США), где агент 007 не случайно был наделен именно этим, счастливым номером, в целях утверждения правоты и святости, его действий и поступков. Дело в том, что  число 7 состоит из двух совершенных чисел 3 и 4, и потому 7  не только святое число, но и символ разума в семитской (еврейской и арабской) символике. Оно же символ союза Бога и человека в библейской символике, отсюда 7 дней недели первичного отрезка времени в истории человечества, в истории мира, созданного Богом. Отсюда и по христианской церковной символике юбилейный год наступал через 7*7=49 лет, т.е. на 50-м году.

       Число 4 поэтому считалось совершеннее 3, ибо было и четным и служило для завершения полноты (1+2+3+4=10). Число 10 рассматривалось как число окончания и служило символом мирового порядка, ибо у человека по 10 пальцев рук и ног.                 Христианство восприняло эту символику , дав 10 заповедей. Число 5- половина 10 и отсюда символ середины,  же мнения придерживались и греки-пифагорейцы, также внесшие свой вклад в разработку символики чисел.

Число 8 символ любви, дружбы, творчества, согласия, ибо оно лишено противоречий, оно свободно, легко, многократно делимо.

Число 9 не имеет в библейской и древнееврейской символике самостоятельного значения, оно просто трижды три, трижды троица. Этого же мнения придерживались и греки-пифагорейцы, также внесшие свой вклад в разработку символики чисел.

          Число 12 – число высшего совершенства, так вслед за библейской символикой считается во всем мире. Дюжина составлена из умножения двух совершенных чисел 3*4=12, следовательно, она и есть верх совершенства. Само название этого числа на большинстве языков «дюжина» означает дюжее, т.е. крепкое, здоровое, совершенное. Отсюда шло стремление ряда народов основывать разные системы счета (веса, денежного деления, музыкального измерения и даже исторической хронологии) на 12-ти кратном исчислении. Так, например, октава заключает 12 полутонов, в истории Иудеи насчитывалось 12 колен Израилевых, так называемый восточный (китайский, японский) календарь делится на 12 годичных циклов и т.д. Вообще в библейской символике числа 7 и 12 , а не только 10 рассматриваются и употребляются как «круглые числа», т.е. в любых других числах учитывается полная кратность семерки и дюжины, а не только десятки.

       От числа 40 происходят и сорокодневный пост, и счет мехов, шкур на «сорока», и поминки на сороковой день. А половина числа 40- 20 дала основание для некоторых денежных систем и систем расчета ( например в Англии, Швеции).

         Символика  числа была тесно связана с мистикой чисел, с угрозой и наведением страха на людей. Так. Число 666 давало на протяжении исторического развития много поводов расшифровывать его как «антихрист», «конец света». Сам Христос угрожал нечестивцам тем, что волосы на их головах им сосчитаны, т.е. ему  якобы известно о каждом человеке все до единого волоса.

        Вообще владение счетом, понимание чисел и умение толковать их считалось и в древности, и в эпоху средневековья таким знанием, которое граничило с колдовством или было волшебством. Символика чисел на протяжении истории неоднократно служила средством для ряда сектанских движений и тайных обществ оказывать воздействие на своих приверженцев и аргументом для «доказательства» массам разных реакционных постулатов.  

 

2.2. Красота совершенных чисел

Среди всех натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и дружественные числа. Совершенными называются числа, равные сумме своих делителей ( то есть, всех делителей, включая единицу и исключая само число). Таковы , например, числа 6 и 28. Делители 6: 1, 2, 3, 6. И 6= 1+2+3. Делители 28: 1,2,4,7,14,28. 28=1+2+4+7+14. Ранние комментаторы Ветхого завета пишет в своей книге «Математические новеллы»  Мартин Гарднер, усматривали в совершенстве чисел 6 и 28 особый случай. Разве не за 6 дней был сотворен мир. Восклицали они, и разве Луна обновляется не за 28 суток? Древнегреческая мера длины локоть содержала 28 пальцев. В Древнем мире существовал обычай отводить на пирах шестое место самым знатным и почётным гостям.  На руке Святого Сикста шесть пальцев (картина Рафаэля «Сикстинская Мадонна» 1515-1519). Обычно, говоря о совершенных числах, имеют в виду чётное совершенное число. (Приложение №1)

Совершенными числами увлекались пифагорейцы. Одна из теорем в девятой книге Евклидовых «Начал» посвящена свойству совершенных чисел: если число р=1+2+4+…+2n=2n+1-1 простое число, то 2n*p совершенное. Это правило помогло Никомаху из Герасы (7 век) найти совершенные числа: 622, 496, 8128 (при n=1,2,4,6). Пятое совершенное число 33550336 (при n=12) было обнаружено в 15 веке. В честь французкого проповедника и ученого Марена Мерсенна простые числа вида Мр*2p-1.

Свойства совершенных чисел.

С математической точки зрения чётные совершенные числа по своему уникальны.

• Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

• Сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, взяв делители совершенного числа 28, получим: 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2.

• Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1.

-33550336    |9_____                                                -28 |9

 27                3727815                                               27 3

  -65                                                                              1 (ост)

   63

    -25

     18

      -70

       63

         -73 

          72

           -13

              9

             -46

              45

                1(ост)                                

До сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа, хотя многие исследования в 20 веке говорят: если есть такие числа, то они подчиняются многочисленным условиям. Современный немецкий математик Вальтер Боро сказал: «Работы с нечетными совершенными числами похожа на охоту за приведениями: никогда его не видели, но проведено много исследований того, как оно может выглядеть».

2.3. Узы дружбы в мире чисел

      От совершенных чисел повествование непременно перетекает к дружественным числам.

      Два натуральных чисел m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей m ,меньше  m, равна n, а сумма собственных делителей n, меньше n, равна m.

     Примером дружественных чисел является пара натуральных чисел 220 и 284.

Делители 220: 1,2,4.5,10,11,20,22,44,55,110,220.

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

Делители 284: 1,2,4,71,142,284.

1+2+4+71+142=220

      На вопрос, кого следует считать своим другом, Пифагор ответил: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284».

      Древние математики давали следующий секрет влюблённым: «Чтобы добиться взаимности  в любви, нужно на чём – либо написать числа 220 и 284, меньшее дать объекту любви, а большее съесть самому».

      Для нахождения дружественных чисел, арабский ученый Сабит ибн Курра (9 век) предложил хитроумный способ: задавшись натуральным числом n, подсчитать вспомогательные величины р=3*2n-1-1, g=3*2n-1 и r=9*22n-1-1. Если числа p,g,r простые, значит числа А=2n*p*g и В= 2n*r дружественные.

    Пифагорова пара 220 и 284 получается по этому методу при n=2. Следующая пара чисел – 17296 и 18416 – обнаружили независимо друг от друга марокканский учёный Ибн аль- Банна и три столетия спустя француз Пьер Ферма. В этом случае n=4. Третью пару – 9363584 и 9437056 (при n=7) указал в 1638 году Рене Декард. Дальнейшие попытки найти такие пары при небольшом значении n к успеху не приводят. Более того, способ Сабита ибн Куры не выявляет ни одной новой пары, если n увеличивать до 20000! В 1747-1750 годах Леонард Эйлер провел уникальные числовые «раскопки». Он придумал оригинальные методы поиска и обнаружил сразу 61 пару дружественных чисел. И среди них оказались и нечётные числа: 69615 и 11498355;  87633 и 12024045.      Сейчас известно 1427 пар дружественных чисел. Любопытно, что в 1866 году итальянский школьник Н. Паганини ( однофамилец известного скрипача) нашёл пару дружественных чисел 1184 и 1210, которую проглядели все, в том числе и выдающиеся математики. Большой вклад в отыскание дружественных чисел внесли французский учёный А.Лежандр и российский учёный П.Л.Чебышев.

           Вот пары дружественных чисел в пределах 1.000.000:

220 и 284                        10744 и 10856                  67095 и 71145

1184 и 1210                    12285 и 14595           69615 и 87633

2620 и 2924                    17296 и 18416                 79750 и 88730

5020 и 5564                   63020 и 76084

6232 и 6368                   66928 и 66992

           Дружественные числа имеют много тайн. Есть ли смешанные пары: одно число чётное, а другое нечётное? Существует ли общая формула, описывающая все дружественные числа? Конечно, или бесконечно число таких пар? На эти и другие вопросы ответы пока не найдены.

                                             2.4. Простые числа

       Человеку свойственно любопытство. Сколько игрушек переломано детьми, чтобы узнать, как они устроены, что у них внутри. Люди, сохранившие на всю жизнь это любопытство – ученые. Они установили, что все вещества состоят из молекул, молекулы из атомов, атомы из элементарных частиц электронов, позитронов. нейронов. Сейчас ученые пытаются понять, из чего состоят элементарные частицы, придуманы для этой цели частицы «кварки».

      Так же как и все вещества состоят из молекул, так и все натуральные числа, отличные от единицы, подразделяются на простые и составные. Составные числа состоят из простых чисел. Любое составное число можно разложить на простые множители, например: 18=2*32, 30= 2*3*5.

      Простым называется такое натуральное число, делителями которого являются только оно само и  единица.

       Остальные числа называются составные. Евклид определял простые числа так: «Простое число есть измеряемое единицей, составное число есть измеряемое некоторым числом». Примеры простых чисел:2,3,5,37,1987. Числа же 4, 6. 162, 2553 составные. Число 1 не относится  ни к простым, ни к составным. Простых чисел , так же как и составных бесконечно много. Можно сказать, что простые числа представляют собой как бы элементарные кирпичики, из которых строятся остальные числа.

     «Основная теорема арифметики» утверждает, что любые два разложения данного натурального числа на простые множители одинаковы, если не обращать внимание на порядок следования сомножителей.

       Способ отыскивания простых чисел был известен ещё греческому математику Эратосфену, жившему в 3 веке до н.э. Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо того чтобы числа вычёркивать, дощечку в нужном месте прокалывали. Отсюда и название способа – «решето Этатосфена».

       В разные времена математики искали формулу, которая при различных значениях входящих в неё переменных давала бы простые числа. Так, Л. Эйлер указал многочлен n2-n+41, значения которого при n=0,1,40- простые числа. Однако легко доказать, что нет многочлена от одной переменной, который при всех целых её значениях принимает простые значения.

      Издавна математиков интересовал вопрос о распределение простых чисел в натуральном ряду.    

        Рассуждение Евклида, доказывающее бесконечность числа простых чисел в натуральном ряду применимо и для доказательства бесконечности числа простых чисел некоторого специального вида, например простых чисел  вида 4n−1. Чуть видоизменяя это рассуждение, можно получить доказательство бесконечности количества простых чисел вида 4n+1, 6n+1 и некоторых других.    

Фрагмент спирали Улама - простейшей иллюстрации закономерностей в распределении простых чисел (Приложение №2)

         Решето Эратосфена- это старейший из известных способов выписывания простых чисел. В отличие от других методов, он не использует ни какой специальной функции. (Приложение №3)

         Прежде всего, цель решета - определить все положительные простые числа, меньшие некоторой верхней границы n0, которую мы предполагаем целой.    

1 СПОСОБ.

        Выписываем все нечётные целые числа между 3 и n. Чётные числа мы не выписываем, потому что среди них кроме 2, нет простых чисел.

        Теперь мы просеиваем список. Первое число в нём 3. Начиная со следующего числа (это 5),мы вычёркиваем от него каждое  третье число. Потом выберем наименьшее число из списка, превосходящее 3.Таким будет 5, а следующее за ним число 7.Вычёркиваем каждое пятое  число из нашего списка, начиная с 7. Таким образом, все числа, кратные 5, будут вычеркнуты. Потом вычёркиваем кратные числа 7, начиная с 9.

         Таким образом, в таблице останутся не вычеркнутыми, только простые числа.

Пример: n=61

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

41

43

45

47

49

51

53

55

57

59

61

(Приложение №3)

2 СПОСОБ.

           Выписываем все числа, от 1 до n, и после этого мы  вычёркиваем 1, которая не является ни  простым, ни составным числом. Потом вычёркиваем все числа кратные 2 (4, 6, 8, 10 и т.д.);  кратные 3 (6, 9, 12, 15 и т.д.); кратные  5 (10,15,20,25 и т.д.); кратные 7 (14, 21, 28, 35 и т.д.).

           Таким образом, в таблице останутся не вычеркнутыми, только простые числа.

                                                       Пример: n=60

        

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

2.5.ЧИСЛА – БЛИЗНЕЦЫ

         Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и7, 11 и 13, 17 и 19, получили образное название « близнецы». В натуральном ряду имеется даже « тройня» - 3, 5, 7. Ну ,а сколько существует близнецов – современной науке пока неизвестно.

      Числа – близнецы из заданной таблицы чисел можно просеивать, слегка «подпарив» решето Эратосфена . Если для каждого вычеркнутого способом Эратосфена числа n и вычеркнуть так же число n-2, то в таблице останутся лишь такие числа p, для которых число р+2 тоже простое.

      В пределах первой сотни близнецы – (3,5), (5,7), (11, 13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73). По мере удаления от  0 близнецов становится всё меньше, хотя исследования, проводимые « в глубоком числовом космосе», продолжают выявлять такие пары. (Приложение №6)

       Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки (5,7,11, 13) или (11, 13, 17,19). Как много таких скоплений- тоже неизвестно.

     Двое ученых утверждают, что нашли ключ к доказательству одной из самых знаменитых математических гипотез. Согласно с ней, существует бесконечное множество пар простых чисел – близнецов. Дэн Голдстон из университета Сан- Хосе (США) и Чем Ильдрим из стамбульского университета Богазичи недавно делали подобное заявление. В представленном ими  восьмеричном  доказательстве были обнаружены ошибки, которые учёные нашли возможность исправить, не меняя логики рассуждений. Гипотеза о числах- близнецах является частью более сильных утверждений. Так, 150 лет назад французский математик Полиньяк предположил, что равную двум разность в определении, можно заменить на любое другое чётное число.

2.6. Числа - палиндромы

       В книге о приключениях  Буратино строгая учительница Мальвина учила его писать. Она велела ему написать фразу « А РОЗА УПАЛА НА ЛАПУ АЗОРА»,- а потом прочитать её «наоборот». Эта фраза действительно читается справа налево так же , как и слева направо.

       Эта «волшебная» фраза – так называемый палиндром ( по –русски- перевертыш). Таковы же слова РАДАР, ТОПОТ, КОК, вообще любое слово или предложение, которое читается одинаково и сначала, и с конца.

       Среди чисел можно то же найти «числа – палиндромы», которые читаются одинаково справа налево и слева направо. И их можно получить , используя любые числа. Для этого необходимо воспользоваться следующим алгоритмом:

Возьми любое число      619

Переверни его                 916

Сложи два числа             1535

Переверни его                 5351

Сложи два полученных числа    6886

Результат – палиндром.

Возьмем другое число      69

Перевернем его                 96

Сложим два числа            165

Перевернем полученное число  561

Сложим         726

Перевернем     627

Сложим         1353

Перевернем    3531

Сложим        4884. Получили – палиндром.

     Число 95 требует трех «шагов», чтобы получить палиндром. Число 193 – восьми «шагов». Все ли двузначные и трехзначные числа рано или поздно дают палиндромы? А четырех- или пятизначные числа?

      Проверив наугад взятые числа 2465 (4 шага), 25 (3 ), 132 (3) , 154, 536 и другие можно предположить, что все числа можно привести к числу – палиндрому, но для этого необходимо провести различное число шагов.

(Приложение №4)

2.7 Исследовательская работа: «Вычисление приближенного значения пи».

Мы попытались экспериментальным путем вычислить значение числа π.

1. Возьмём любых предметов: диск в спортивном зале , цветочный горшок и кастрюлю.

2. Измерим диаметр каждого предмета и длину окружности с помощью метра и линейки

3. Вычислим для каждого случая значение числа π, округлив результат до сотых.

4. Составим таблицу по найденным нами данным :

Предмет	Длина окружности (С) см	Диаметр (d) см	Число пи
Диск	78	24,5	3,18
Кастрюля	95,5	29,5	3,21
Ведро	19	6	3.17

Итак, мы установили, что отношение длины окружности к диаметру приближается к 3.

III.Заключение.

         В своей работе  мы большое внимание уделили множеству натуральных чисел N и его «подмножествам»:совершенным, дружественным, числам-близнецам, числам - палиндромам. Тем не менее, рассказано далеко не всё. Но всё-таки стоит ещё раз подчеркнуть, что с натуральных чисел начинается вся математика; да и в любой другой науке без натуральных чисел не обойтись.

     «…Природа числа, - говорит Филолай, - познавательна, предводительна и уникальна для всех во всем непонятном и неизвестном. В самом деле, никому не была бы ясна ни одна из вещей – ни в их отношении к самим себе, ни в их отношении к другому, если бы не было числа и его сущности.». Изучая литературу, мы познакомилась с учеными, внесшими вклад в развитие теории чисел. (Приложение №7)

Число пи появляется в формулах, используемых во многих сферах. Физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому как нет конца знакам числа пи, так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, неуловимого числа пи. В современной математике число пи - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул. Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа пи. Точное значение числа π в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров. В настоящее время с числом π связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков. Проведенная работа нам была интересна. Мы хотели узнать об истории числа π, практическом применении и думаем, что достигли поставленной цели. Подводя итог работы, мы приходим к выводу, что данная тема актуальна. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению. История чисел увлекательна и загадочна. Мы хотели бы продолжить исследования других удивительных чисел в математике. Это станет объектом наших следующих исследовательских изучений.

IV. Список использованной литературы.

1. Клюйков С.Ф. Числа и познание мира. – Мариуполь:       Полиграфический центр газеты «ИнформМеню». 1997г.

2. Энциклопедический словарь юного математика «Педагогика»1985г.

3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – Москва: Государственное издательство физико-математической литературы,    1960 г.

4. Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике для техникумов. 3-е издание. – Москва, «Высшая школа», 1975г.

5. Г.И.Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1981.

6. Я познаю мир. Детская энциклопедия. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова.

7. Фигурные числа. А.Бендукидзе. Физико-математический журнал, Квант, 1974г., №6.

8. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции.

9. Энциклопедия для детей. Математика. Москва. Аванта+,2012г.

10. С математикой в путь. Н.Лэнгдон, Ч.Снейп. «Педагогика» 1987г.

11. Занимательно о физике и математике. Библиотека «Квант» 1987г.

12. Математические миниатюры . А.П.Савин «Детская литература» 1991г.

13. За страницами учебника алгебры. Л.Ф.Пичурин «Просвещение» 1990г.

14. Жуков А.В.Вездесущее число «пи». - М.: Едиториал УРСС, 2004.

15. Кымпан Ф. История числа «пи». - М.: Наука, 1971.

16. Интернет ресурсы:

- http:// crow.academy.ru/ materials_/pi/history.htm

- http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/

- http:// /ru.wikipedia.org/wiki/P

V. Приложения

Приложение №1. Рафаэль «Сикстинская Мадонна», 1515-1519гг.

Приложение №2

Приложение №3.

Решето Эратосфена

Приложение №4

 Числа – палиндромы

Приложение №5

Совершенные числа

Приложение №6

Числа-близнецы

Приложение №7.  «Ученые математики, которые внесли вклад в развитие теории чисел»

                  

     Эратосфен                        Архимед                              Евклид

 276 – 194 гг. до н.э.                  287 – 212 гг. до н.э.                                  3 в. до н.э.

                

         Пифагор                 Эйлер Леонард                 Дирихле Петер

   6 в. до н.э.                             1707 – 1783 гг.                         1805 – 1859 гг.        

                            

             Чебышев П.Л.                           Виноградов И.М.

 1821 – 1894 гг.                                              1891 – 1983 гг.

16