Проект "МИР НЕВОЗМОЖНЫХ ФИГУР"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 9»

Секция «Естественно-научное направление»

Проект

«МИР НЕВОЗМОЖНЫХ ФИГУР»

Выполнила: Шахраманян И.Д.

ученица 9 «а» класса

Научный руководитель: Гигилошвили Е.А.

учитель математики

г. Благодарный, 2012

Оглавление

Введение 3

1. Невозможная реальность 4

2. Оптические обманы в геометрии 5

3. Области применения невозможных фигур 7

4. «Невозможное возможно» 9

Заключение 10

Список используемых источников 10

ПРИЛОЖЕНИЕ 11

Введение

В природе существует много такого, что не может быть ни

достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано,

ни достаточно умело и надежно использовано на практике

без помощи вмешательства математики… Ф.Бэкон

В повседневной жизни, мы встречаем такие изображения, про которые можно сказать: "Что видим? Нечто странное". Достаточно вспомнить мираж в пустыне, иллюзии создаваемые светом и тенью. Все это – лишь несколько любопытных явлений, которые встречаются в природе. Когда эти явления, обманывающие зрение и ум, были впервые замечены, они стали волновать воображения людей.

С давних времен оптические иллюзии использовались, чтобы усилить воздействие произведений искусства или улучшить внешний вид архитектурных творений. Это и рисунки с искаженной перспективой, и невозможные в нашем трехмерном мире объекты, и немыслимые сочетания вполне реальных предметов. Существует огромный класс так называемых "невозможных фигур", ошибочно или умышленно нарисованных с ошибками передачи перспективы, в результате чего возникают забавные визуальные эффекты.

 Невозможные объекты заставляют наш разум сначала увидеть то, чего по нашим привычным меркам быть не должно, затем искать ответ – что же сделано не так, в чем скрыта изюминка парадокса. А ответ найти порой не так – то просто – он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков.

Поэтому изучение «невозможных фигур», на наш взгляд, является актуальным и интересным на сегодняшний день.

Проблемный вопрос – «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?»

Объектом исследования является пространственное восприятие, а соответственно предметом – невозможные фигуры.

Цель: Выяснить, как получаются несуществующие объекты, показать роль и значение невозможных фигур.

В рамках поставленной цели выдвигаются следующие задачи:

1. изучить литературу по теме «Невозможные фигуры»;

2. определить области существования невозможных фигур;

3. рассмотреть способы построения невозможных фигур.

Гипотеза: В нашей жизни нет ничего невозможного, главное знать под каким «углом» смотреть.

Источниковая база работы разнообразна по своему характеру и значимости и включает в себя монографии О. Рутерсварда, Н. Лэнгдона, Ч. Снейта, Маурица К. Эшера, справочную литературу и периодические издания, такие как журналы: «Наука и жизнь», «Квант». Таким образом, источниковая база позволяет разрешить поставленные цели и задачи работы.

Доклад состоит из введения, четырех параграфов, заключения и приложения.

1. Невозможная реальность

С давних времен оптические иллюзии использовались, чтобы усилить воздействие произведений искусства или улучшить внешний вид архитектурных творений. Древние греки прибегали к оптическим иллюзиям, чтобы довести до совершенства внешний вид своих великих храмов. В эпоху Средневековья смещенную перспективу иногда использовали в живописи. Позднее многие другие иллюзии использовались в графике. Среди них единственный в своем роде и относительно новый вид оптической иллюзии известен как "невозможные фигуры".

Невозможная фигура – это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение [3].

"Отцом" невозможных фигур считается шведский художник Оскар Реутерсвард, который нарисовал невозможный треугольник. За годы творчества он придумал и нарисовал несколько тысяч невозможных фигур.

Известны широкой публике невозможные фигуры стали лишь в 50-х годах прошлого века, после публикации статьи Роджера Пенроуза и Лайонела Пенроуза в Британском журнале психологии, в которой были описаны две базовые фигуры – невозможный треугольник (который также называют треугольником Пенроуза) и бесконечная лестница. Статья стала первой теоретической работой в этой области.

Может показаться, что невозможные фигуры действительно не могут существовать в трехмерном пространстве. Есть определенные способы, которые позволяют воспроизвести невозможные фигуры в реальном мире, правда они будут выглядеть невозможными только с одной точки обзора. С других точек обзора видны искажения и разрывы в фигуре. Наиболее известными невозможными фигурами являются: невозможный треугольник, куб Эшера и невозможный трезубец.

2. Оптические обманы в геометрии

Многие считают, что невозможные фигуры никак не могут быть построенными в реальном мире. Однако невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (двухмерные изображения), исполненные так, что у зрителя создается впечатление о невозможности существования подобной структуры в нашем реальном трехмерном мире.

Классическая, и одна из самых простых подобных фигур – невозможный треугольник. В 1934 году Оскар Реутерсвард создал первый невозможный треугольник, составленный из серии кубиков. Хотя многие художники создавали невозможные фигуры, именно Реутерсвард открыл новый мир фантазий (рис. 1 – приложение).

Позже в 1954 году Роджер Пенроуз после лекции голландского графика М. К. Эшера открыл заново невозможный треугольник и нарисовал его в более привычной форме. В отличие от треугольника Реутерсварда, треугольник Пенроуза нарисован с использованием линейной (а не параллельной, как у Реутерсварда) перспективы, что придает ему больше невозможности (рис. 1 – приложение).

Каждая часть фигуры (углы треугольника) по отдельности существует в нашем мире, но их комбинация в трехмерном пространстве невозможна. Восприятие всей фигуры как композиции неправильных соединений между ее реальными частями ведет к обманчивому эффекту невозможной структуры. Взгляд скользит по граням невозможной фигуры и не способен воспринять ее как логическое целое. В действительности взгляд пытается восстановить реальную трехмерную структуру, но наталкивается на несоответствие. С геометрической точки зрения невозможность треугольника состоит в том, что три балки, соединенные попарно одна с другой, но по трем разным осям декартовой системы координат, должны образовывать замкнутую фигуру!

Еще один пример невозможной фигуры – куб Эшера (рис. 2 – приложение).

Любой реально существующий трехмерный геометрический объект может быть представлен в качестве невозможного. Это утверждение справедливо и для совсем простой по своей форме геометрической фигуры, такой как куб.

Здесь используется перемена заднего и переднего плана, т.е. элемент заднего плана рисуется поверх элемента переднего плана в месте их пересечения на оси зрения, а по бокам от пересечения они как бы встают на место.

Среди всех невозможных фигур особое место занимает невозможный трезубец («чертова вилка», рис.3 – приложение).

Если закрыть рукой верхнюю часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину – три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину – два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных.

Таким образом, можно увидеть, что здесь также передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект  – плоские грани верхней части трезубца становятся круглыми в нижней.

3. Области применения невозможных фигур

Невозможные фигуры используются в разных сферах деятельности человека. Они широко используются в психологии, современной рекламе, промышленной графике, плакате, изобразительном искусстве, логотипах различных фирм и д.р.

Например, направление в искусстве, нацеленное на изображение невозможных фигур, называется имп-арт.

Здесь есть математическая логика и ее отсутствие, а большинство работ построены на эффекте обмана зрения. 

Самым известным художником в направлении имп-арта являлся нидерландский художник Мауриц Эшер. Работы Эшера стимулирую деятельность интеллекта в большей степени, чем любые другие из когда-либо созданных художниками. Многие из его гравюр основаны на парадоксах, иллюзиях или неоднозначности. Математики были первыми среди почитателей его таланта, и это понятно, поскольку гравюры его часто несут в себе понятия математического толка – например, симметрии.… Но в его работах всегда присутствует нечто большее, чем, скажем, просто симметрия. Они представляют собой скрытую идею, реализованную в художественной форме (рис. 4 - приложение).

Например, самая известная литография "Водопад" – основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии.

Еще одним примером, является фантастическая башня, изображённая на картине, сначала кажется обычной. Но, при пристальном рассмотрении можно увидеть, что фасад первого и второго этажа башни направлены в разные стороны. Башня Бельведер представляет собой параллелепипед, у которого ребро передней грани совпадает с ребром задней грани.

Таким образом, можно сделать вывод, что существует три ошибки изображения пространства:

• ошибка передачи глубины (когда объект изображается дальше или ближе, чем надо).

• ошибка передачи масштабов (неверно задаются размеры объекта).

• ошибка передачи подобий (неверно передаются пропорции, например, вместо квадрата получается прямоугольник).

Невозможные фигуры иногда используются в рекламных плакатах и роликах различных товаров и услуг. Также, в рамках рекламной кампании иногда создают и видеоролик с такими фигурами.

В рекламе одного из крупнейших российских операторов связи «Мегафон» была использована вариация на тему картины Сандро дель Пре «Шахматная доска». Так как реклама нацелена на корпоративный рынок, нам показан невозможный офис (рис. 5 – приложение).

Реклама автомобилей Audi A6 полностью построена на конструкциях невозможных фигур. Тем самым, делая рекламу необычной и завораживающей (рис. 5 – приложение).

Невозможные фигуры носят и прикладной характер – например, используются на логотипах фирм. Наиболее известное использование в массовой культуре — логотип автоконцерна «Рено» (рис.6 – приложение).

Это только на первый взгляд, кажется, что на логотипе простой ромбик. Если приглядеться внимательнее, то поймешь, что на самом деле это – "невозможная фигура". То есть фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, но при внимательном рассмотрении создаётся иллюзия невозможности существования.

4. «Невозможное возможно»

Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги – это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве.

Таким примером служит, созданная в 1999 год, усилиями художника Брайна Мак Кея и архитектора Ахмада Абаса, скульптура в парке «Клайзебрук» г.Перт, Австралия (рис. 7 – приложение). Скульптура сделана из алюминия, поверхность которого имеет ребристую структуру, заставляет преломлятся падающий на скульптуру солнечный свет или лучи прожекторов, создавая дополнительный зрительный эффект.

Американец Джерри Андрус тоже увлекался созданием невозможных фигур в реальности. Некоторые его поразительные иллюзии демонстрировались им на различных конференциях и семинарах по всему миру. Его оптические иллюзии показывают нам, как наш разум может быть одурачен картинами, зафиксированными сетчаткой глаза. Наиболее известная иллюзия Джерри Андруса – большой невозможный куб (рис. 8 - приложение)

Какой бы "невозможной" ни казалась бы двухмерная фигура, ее всегда можно сконструировать, пусть даже для этого потребуется усилия целой фирмы или даже корпорации. Сотрудники Немецкого Института Глазной Оптики решили задачу невозможного трезубца (рис. 9 – приложение), создав специальную установку, конструктивно состоящую из двух частей. В передней части находятся три круглых колонны и человек. За колоннами расположено полупроницаемое зеркало с двумя прямоугольными колоннами позади. Фокус заключается в правильном подборе освещения: круглые колонны освещаются снизу, прямоугольные - сверху. Накладываясь в зеркале друг на друга, они создают оптическую иллюзию. И хотя это не очень честное решение, все-таки конструкция представляет собой объект реального мира.

Заключение

Невозможные фигуры являются частью нашего визуального языка.

Невозможные фигуры нашли свое применение в жизни. Они широко используются в современной рекламе, промышленной графике, плакате, оформительском искусстве и логотипах различных фирм.

Более того, многие психологи считают, что рассматривание картин с невозможными фигурами отвлекает внимание человека от неприятных мыслей. А развешивание таких изображений в коридорах учебных заведений благотворно влияет на возбужденную психику учащихся, так как перед уроками, утверждают психологи, учащиеся пребывают в состоянии стресса.

Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение не только с точки зрения геометрии, но и с точки зрения других областей знаний.

Список используемых источников

1. Журнал «Наука и жизнь» 2005, №9

2. Лэнгдон Н., Снейт Ч. «С математикой в путь» М: «Педагогика», 1987

3. Рутерсвард О. «Невозможные фигуры» / Пер. со швед. Е Самуэльсон. – М.: Стройиздат, 1990. – 128 с.

4. http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm

5. http://www.impworld.narod.ru

6. http://www.simplex.t.u-tokyo.ac.jp/~sugihara/hobby/hobbye.html

7. http://im-possible.info/russian/articles/escher_books/escher_books.html

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рисунок 1 – невозможный треугольник.

О. Реутерсвард Р. Пенроуза

Рисунок 2 – куб Эшера.

Рисунок 3 - невозможный трезубец.

Рисунок 4 – картины М. Эшера

«Водопад» «Бельведер»

Рисунок 5 – реклама

«Мегафон» «Ауди»

Рисунок 6 – логотип автоконцерна «Рено»

Рисунок 7 – Скульптура невозможного треугольника Р. Пенроуза

(Австралия г.Перт)

Рисунок 8 – куб Эшера

Рисунок 9 – трезубец

16