Традиционно считается, что воспринимать и представлять четырехмерные фигуры человек не может, так как он трехмерное существо. Субъект воспринимает трехмерные фигуры с помощью сетчатки глаза, которая двумерна. Для восприятия четырехмерных фигур необходима трехмерная сетчатка, но у человека такой возможности нет.
Актуальность: в современном мире люди часто хотят узнать что-то нереальное в их жизни. У этих людей богатое воображение и они хотят некоторые предметы из своих мыслей воплотить в реальность. Но, люди не только хотят узнавать и представлять себе четырехмерные объекты, они еще хотят увидеть их собственными глазами. Полностью увидеть такие предметы невозможно, но можно рассмотреть их проекции с разных видов, и, с помощью пространственного воображения, представить себе четырехмерные предметы. Один из таких «нереальных» предметов – гиперкуб.
Цель: познакомиться с четырехмерным пространством на примере одной из фигур – гиперкуба.
Задачи:
Изучить проблему восприятия объемных предметов человеческим глазом.
Изучить литературу о гиперкубе и четырехмерном пространстве.
Сделать модель гиперкуба.
Гипотеза: может ли существовать гиперкуб в реальном мире?
Идея проекта: после того, как я посмотрел фильм «Тессеракт», мне понравился главный объект в этом фильме – гиперкуб.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
3.Представление гиперкуба при помощи его проекций на плоскость и пространство. 8
3.1.ПРОЕКЦИЯ ГИПЕРКУБА НА ПЛОСКОСТЬ. 8
3.2.ПРОЕКЦИЯ ГИПЕРКУБА НА ПРОСТРАНСТВО. 8
4.Гиперкуб в искусстве. 9
5.Интересные факты. 10
Заключение. 12
ГИПЕРКУБ.
Введение.
Традиционно считается, что воспринимать и представлять четырехмерные фигуры человек не может, так как он трехмерное существо. Субъект воспринимает трехмерные фигуры с помощью сетчатки глаза, которая двумерна. Для восприятия четырехмерных фигур необходима трехмерная сетчатка, но у человека такой возможности нет.
Актуальность: в современном мире люди часто хотят узнать что-то нереальное в их жизни. У этих людей богатое воображение и они хотят некоторые предметы из своих мыслей воплотить в реальность. Но, люди не только хотят узнавать и представлять себе четырехмерные объекты, они еще хотят увидеть их собственными глазами. Полностью увидеть такие предметы невозможно, но можно рассмотреть их проекции с разных видов, и, с помощью пространственного воображения, представить себе четырехмерные предметы. Один из таких «нереальных» предметов – гиперкуб.
Цель: познакомиться с четырехмерным пространством на примере одной из фигур – гиперкуба.
Задачи:
Изучить проблему восприятия объемных предметов человеческим глазом.
Изучить литературу о гиперкубе и четырехмерном пространстве.
Сделать модель гиперкуба.
Гипотеза: может ли существовать гиперкуб в реальном мире?
Идея проекта: после того, как я посмотрел фильм «Тессеракт», мне понравился главный объект в этом фильме – гиперкуб.
1.Появление термина «гиперкуб».
Понятие гиперкуба появилось в результате публикации книги Р. Хайнлайна «Дом, который построил Тил».
В этой книге говорится о том, что Тил задумал воплотить гиперкуб в реальность с помощью его развертки. Он решил построить дом в виде развертки гиперкуба, где комнаты дома являются кубами-гранями гиперкуба. Этот дом был неустойчив, поэтому в результате землетрясения, он «сложился» и стал выглядеть снаружи как обычный куб. Но внутри это был отнюдь не куб. Из любой комнаты можно было переходить в любую, чего раньше нельзя было сделать. Потом люди, вошедшие в дом, услышали какие-то странные звуки. Это оказались голоса других людей, которые чудом оказались в доме. Через некоторое время все поняли, что развертка исходного дома свернулась в нереальный объект. Позже, когда все успокоились и смогли выйти из дома, он «исчез» в четырехмерном пространстве и стал выглядеть как куб и снаружи, и внутри. [8]
Что такое гиперкуб?
Гиперкуб — это аналог куба в четырёхмерном пространстве, четырехмерный куб. Такой предмет пока еще не существует в реальности, но его легко можно представить себе в виде его проекций на плоскость и пространство, благодаря воображению.
Гиперкубом называется правильный политоп, ячейкой которого является куб.
Политоп – это четырехмерная фигура, граница которой состоит из многогранников. Аналогом ячейки политопа является грань многогранника.[12]
Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из реального мира.
Как выглядит гиперкуб в нашем мире?
Для начала выясним, как выглядит куб на плоскости.(приложение №2)
Возьмем пустой куб, такой, который представлен на рисунке, и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать 2 квадрата: переднюю и заднюю грани данного куба, соединенные четырьмя линиями – боковыми гранями.
Аналогичным образом будет выглядеть гиперкуб в нашем реальном пространстве. Он будет выглядеть как 2 куба, вставленных друг в друга и соединенных восемью ребрами. При этом сами кубы будут проецироваться на наше пространство, а линии, соединяющие их, протянутся в направлении четвертой оси.
Можно представить себе гиперкуб не в проекциях, а в пространственном воображении.
Подобно тому, как куб образуется из квадрата, сдвинутого на длину грани; куб, сдвинутый в четвертое измерение, сформирует гиперкуб.[1]
2.Способы построения гиперкуба.
Построить гиперкуб можно двумя способами: путем сдвига точек(приложение №1) или при помощи развертки. (приложение №5)
2.1.Построение гиперкуба методом сдвига точек.
На линии выделим отрезок АВ некоторой длины. На плоскости на заданном расстоянии от отрезка АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получился квадрат CDBA. На заданном расстоянии нарисуем квадратGHFE, параллельный квадрату CDBA и соединим соответствующие вершины этих квадратов. Получим куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвертое измерение, которое перпендикулярно первым трем, на заданное расстояние, получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.(приложение №1)
Данное изображение гиперкуба в процессе его построения выглядит довольно сложно, но, если тщательно посмотреть, то на нем можно отчетливо увидеть все 8 кубов-граней гиперкуба.[3]
Представим построение гиперкуба более наглядным, выделяя линии, при помощи которых происходит сдвиг фигуры в следующее измерение, разными цветами:
0-мерный куб (точка)
Начнём с начала — с 0-мерного куба. Этот куб содержит 0 взаимно перпендикулярных граней, то есть это просто точка.(приложение №6, рисунок 1)
1-мерный куб (отрезок)
В одномерном пространстве у нас есть только одно направление. Сдвигаем точку в этом направление и получаем отрезок.(приложение №6, рисунок 2)
Это одномерный куб.
2-мерный куб (квадрат)
У нас появляется второе измерение, сдвигаем наш отрезок в направлении второго измерения и получаем квадрат.(приложение №6, рисунок 3)
Это куб в двумерном пространстве.
3-мерный куб (куб)
С появлением третьего измерения поступаем аналогично: сдвигаем квадрат и получаем обычный трёхмерный куб.(приложение №6, рисунок 4)
4-мерный куб (гиперкуб)
Теперь у нас появилось четвёртое измерение. То есть в нашем распоряжении имеется направление, перпендикулярное всем трём предыдущим. Воспользуемся им точно так же. Четырёхмерный куб будет выглядеть вот так.(приложение №6, рисунок 5)
Естественно, трёхмерный и четырёхмерный кубы нельзя изобразить на двумерной плоскости экрана. То, что нарисовано на рис. 9 и 10 – это проекции кубов на плоскость. О проекциях чуть позже, а сейчас немного характеристики и цифр.[9]
Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат — четыре вершины, куб — восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра — по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани — 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.(приложение №1)[5]
Таблица кубов разной размерности от точки до гиперпространства.(приложение №9)[9]
2.3.Построение гиперкуба с помощью развертки.
Гиперкуб может быть развернут в восемь кубов, подобно тому как куб может быть развернут в шесть квадратов. Многогранник-развертка гиперкуба называется сетью. Существует 261 различных вариантов сетей. Одна из них показана в приложении №5.
Развертка простого куба состоит из 6 квадратов, соединенных определенным образом. Многие люди уже знают, как выглядит развертка куба и его «сборка» с помощью развертки. Развертка гиперкуба будет выглядеть аналогично. Она состоит из исходного куба, шести кубов, выходящих из него в разные стороны, плюс еще одного куба – конечной грани, которая будет присоединена в любом направлении к одному из шести «вырастающих» кубов.[4]
Развертка гиперкуба представляет собой обычную трехмерную фигуру; подобно тому, как развертка простого куба выглядит как плоская фигура. Можно сделать вывод, что развертка фигуры – это ее аналог в пространстве, таком, что оно меньше на одно измерение того пространства, в котором существует данная фигура.
3.Представление гиперкуба при помощи его проекций на плоскость и пространство.
3.1.ПРОЕКЦИЯ ГИПЕРКУБА НА ПЛОСКОСТЬ.
Такая проекция уже была видна в результате построения гиперкуба, указанного выше. Она легко позволяет понять расположение вершин гиперкуба. Таким образом, можно получить изображения, которые не отражают пространственные отношения в пределах четырехмерного гиперкуба, но показывают структуру связи вершин.(приложение №1)[6]
3.2.ПРОЕКЦИЯ ГИПЕРКУБА НА ПРОСТРАНСТВО.
Эта проекция представляет собой 2 вложенных куба, соответствующие вершины которых соединены отрезками. Она позволяет представить гиперкуб в реальном мире.(приложение №3)
Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трёхмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это равные кубы.
Шесть усечённых пирамид по краям гиперкуба — это изображения равных шести кубов. Однако эти кубы для четырехмерного куба имеют такое же отношение, как квадраты для куба. Грани гиперкуба – кубы, а гранями самих кубов являются плоские квадраты.[1]
Как передать глубину гиперкуба при помощи проекций на плоскость и пространство?
Глубину гиперкуба можно выразить с помощью стереопары – двух проекций переднего и заднего вида на любое пространство.Стереопара — пара плоских изображений одного и того же объекта (сюжета), имеющая различия между изображениями, призванные создать эффект объёма.Стереопара рассматривается так, чтобы каждый глаз видел только одно из изображений, возникает стереоскопическая картина, воспроизводящая глубину любого предмета в разных измерениях.[7]
Пример стереопары гиперкуба. (приложение №4, рисунок 1)
Данная стереопара позволяет понять очертания гиперкуба в пространстве. А объемная стереопара (приложение №4, рисунок 2) позволяет увидеть гиперкуб в четырехмерном пространстве, т.е. там, где он теоретически существует.
4.Гиперкуб в искусстве.
Роберт Хайнлайн. Дом, который построил Тил.
Роберт Шекли. Мисс Мышка и четвертое измерение.
Эдвин Эбботт. Флатландия.[10]
РассказГенри Каттнера«Mimsy» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.
В романе Алекса Гарленда (1999), термин «тессеракт» используется для трехмерной развёртки четырехмерного гиперкуба, а не гиперкуба непосредственно. Это метафора призваная показать, что познающая система должна быть шире познаваемой.
Сюжет фильма «Куб 2: Гиперкуб» сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в «гиперкубе», или сети связанных кубов.
Телесериал «Андромеда» использует тессеракт-генераторы как устройство заговора. Они прежде всего предназначены, чтобы управлять пространством и временем.
Картина «Распятие на кресте» (CorpusHypercubus) Сальвадора Дали (1954)
Комиксы «Nextwavecomicbook» изображают средство передвижения, включающее в себя 5 зон тессеракта.
В альбоме Voivod Nothingface одна из композиций названа «В моём гиперкубе».
В романе Энтони Пирса «Маршрут Куба» одна из орбитальных лун Международной ассоциации развития называется тессерактом, который был сжат в 3 измерения.[2]
5.Интересные факты
1. Все книги, фильмы, где говорится о гиперкубе, были сотворены благодаря богатому воображению создателей.
2. При проецировании гиперкуба или любой другой фигуры на одномерное пространство, получится линия; на 0-мерное пространство – точка.
3. В реальном мире мы можем управлять плоскостью: что-то изменить, убрать или добавить. Если бы люди жили в гиперпространстве (так называется четырехмерное пространство), то они бы спокойно управляли тем, что находится в трехмерном пространстве.
4. Люди по-разному воспринимают четвертое измерение: одни думают, что это время; другие представляют его в пространственном воображении; третьи вообще отрицают его.
5. Если бы время было четвертым измерением, то можно представить себе следующую картину. Например, куб стоит на вершине наклонной плоскости. Толкнем его и отсчитаем время после толчка. Он начнет скатываться. Где-нибудь на середине пути остановим его. Естественно, начальное и конечное положения куба будут различны. Теперь соответствующие вершины начального куба попытаемся соединить с соответствующими вершинами конечного положения куба. Получится фигура, которая образуется в результате построения проекции гиперкуба на плоскость.
6. Опираясь на предыдущий факт, можно утверждать, что четвертое измерение – это время. Только не мы управляем временем, а оно управляет нами.
7. На сегодняшний момент нет достоверных сведений о существовании четвертого измерения.
8. При вращении гиперкуба по одной из его осей, можно увидеть, как усеченные пирамиды «превращаются» в кубы.
9. Мы привыкли видеть куб на плоскости так, как указано в приложении №2. Но существует и другая проекция куба на плоскость. (приложение № 7). Это проекция связана с перспективой. Она помогает понять такую проекцию гиперкуба, которая указана в приложении №8.[11]
Другие названия гиперкуба.
Тессеракт.
4-куб.
Тетракуб.
Четырехмерный куб.[1]
Заключение.
В данной работе ставилась цель дать первоначальное знакомство с четырехмерным пространством. Сделано это было на примере самой простой фигуры – гиперкуба. Таким образом, я узнал, что такое гиперкуб, откуда он появился и как он выглядит в реальном мире.Я понял структуру развертки гиперкуба и научился строить его проекции. Я сделал модель проекции гиперкуба на пространство и модель развертки гиперкуба в пространстве.
В доказательстве гипотезы проводилось проецирование гиперкуба на реальный мир, так как в чистом виде он не может существовать в трехмерном пространстве.
