kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Проект НПК

Нажмите, чтобы узнать подробности

ГИПЕРКУБ.

Традиционно считается, что воспринимать и представлять четырехмерные фигуры человек не может, так как он трехмерное существо. Субъект воспринимает трехмерные фигуры с помощью сетчатки глаза, которая двумерна. Для восприятия четырехмерных фигур необходима трехмерная сетчатка, но у человека такой возможности нет.

Актуальность: в современном мире люди часто хотят узнать что-то нереальное в их жизни. У этих людей богатое воображение и они хотят некоторые предметы из своих мыслей воплотить в реальность. Но, люди не только хотят узнавать и представлять себе четырехмерные объекты, они еще хотят увидеть их собственными глазами. Полностью увидеть такие предметы невозможно, но можно рассмотреть их проекции с разных видов, и, с помощью пространственного воображения, представить себе четырехмерные предметы. Один из таких «нереальных» предметов – гиперкуб.

Цель: познакомиться с четырехмерным пространством на примере одной из фигур – гиперкуба.

Задачи:

  1. Изучить проблему восприятия объемных предметов человеческим глазом.
  2. Изучить литературу о гиперкубе и четырехмерном пространстве.
  3. Сделать модель гиперкуба.

Гипотеза: может ли существовать гиперкуб в реальном мире?

Идея проекта: после того, как я посмотрел фильм «Тессеракт», мне понравился главный объект в этом фильме – гиперкуб.

Просмотр содержимого документа
«Проект НПК»

Министерство общего и профессионального образования

Свердловской области

Березовское муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №9».





Направление: естественно-научное.


Тема:

Гиперкуб.






Исполнитель:

ученик 10 класса БМАОУ СОШ № 9

Пьянков Александр Дмитриевич.

Научный руководитель:

учитель математики БМАОУ СОШ № 9

Бердникова Наталья Юрьевна.





г. Березовский, 2016г.


Оглавление.

Введение. 3

1.Появление термина «гиперкуб». 4

2.Способы построения гиперкуба. 5

2.1.Построение гиперкуба методом сдвига точек.. 5

2.2.Краткая характеристика кубов разной размерности. 7

2.3.Построение гиперкуба с помощью развертки.. 7

3.Представление гиперкуба при помощи его проекций на плоскость и пространство. 8

3.1.ПРОЕКЦИЯ ГИПЕРКУБА НА ПЛОСКОСТЬ. 8

3.2.ПРОЕКЦИЯ ГИПЕРКУБА НА ПРОСТРАНСТВО. 8

4.Гиперкуб в искусстве. 9

5.Интересные факты. 10

Заключение. 12




ГИПЕРКУБ.

Введение.

Традиционно считается, что воспринимать и представлять четырехмерные фигуры человек не может, так как он трехмерное существо. Субъект воспринимает трехмерные фигуры с помощью сетчатки глаза, которая двумерна. Для восприятия четырехмерных фигур необходима трехмерная сетчатка, но у человека такой возможности нет.

Актуальность: в современном мире люди часто хотят узнать что-то нереальное в их жизни. У этих людей богатое воображение и они хотят некоторые предметы из своих мыслей воплотить в реальность. Но, люди не только хотят узнавать и представлять себе четырехмерные объекты, они еще хотят увидеть их собственными глазами. Полностью увидеть такие предметы невозможно, но можно рассмотреть их проекции с разных видов, и, с помощью пространственного воображения, представить себе четырехмерные предметы. Один из таких «нереальных» предметов – гиперкуб.

Цель: познакомиться с четырехмерным пространством на примере одной из фигур – гиперкуба.

Задачи:

  1. Изучить проблему восприятия объемных предметов человеческим глазом.

  2. Изучить литературу о гиперкубе и четырехмерном пространстве.

  3. Сделать модель гиперкуба.

Гипотеза: может ли существовать гиперкуб в реальном мире?

Идея проекта: после того, как я посмотрел фильм «Тессеракт», мне понравился главный объект в этом фильме – гиперкуб.



1.Появление термина «гиперкуб».

Понятие гиперкуба появилось в результате публикации книги Р. Хайнлайна «Дом, который построил Тил».

В этой книге говорится о том, что Тил задумал воплотить гиперкуб в реальность с помощью его развертки. Он решил построить дом в виде развертки гиперкуба, где комнаты дома являются кубами-гранями гиперкуба. Этот дом был неустойчив, поэтому в результате землетрясения, он «сложился» и стал выглядеть снаружи как обычный куб. Но внутри это был отнюдь не куб. Из любой комнаты можно было переходить в любую, чего раньше нельзя было сделать. Потом люди, вошедшие в дом, услышали какие-то странные звуки. Это оказались голоса других людей, которые чудом оказались в доме. Через некоторое время все поняли, что развертка исходного дома свернулась в нереальный объект. Позже, когда все успокоились и смогли выйти из дома, он «исчез» в четырехмерном пространстве и стал выглядеть как куб и снаружи, и внутри. [8]

Что такое гиперкуб?

Гиперкуб — это аналог куба в четырёхмерном пространстве, четырехмерный куб. Такой предмет пока еще не существует в реальности, но его легко можно представить себе в виде его проекций на плоскость и пространство, благодаря воображению.

Гиперкубом называется правильный политоп, ячейкой которого является куб.

Политоп – это четырехмерная фигура, граница которой состоит из многогранников. Аналогом ячейки политопа является грань многогранника.[12]

Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из реального мира.



Как выглядит гиперкуб в нашем мире?

Для начала выясним, как выглядит куб на плоскости.(приложение №2)

Возьмем пустой куб, такой, который представлен на рисунке, и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать 2 квадрата: переднюю и заднюю грани данного куба, соединенные четырьмя линиями – боковыми гранями.

Аналогичным образом будет выглядеть гиперкуб в нашем реальном пространстве. Он будет выглядеть как 2 куба, вставленных друг в друга и соединенных восемью ребрами. При этом сами кубы будут проецироваться на наше пространство, а линии, соединяющие их, протянутся в направлении четвертой оси.

Можно представить себе гиперкуб не в проекциях, а в пространственном воображении.

Подобно тому, как куб образуется из квадрата, сдвинутого на длину грани; куб, сдвинутый в четвертое измерение, сформирует гиперкуб.[1]

2.Способы построения гиперкуба.

Построить гиперкуб можно двумя способами: путем сдвига точек(приложение №1) или при помощи развертки. (приложение №5)

2.1.Построение гиперкуба методом сдвига точек.

На линии выделим отрезок АВ некоторой длины. На плоскости на заданном расстоянии от отрезка АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получился квадрат CDBA. На заданном расстоянии нарисуем квадратGHFE, параллельный квадрату CDBA и соединим соответствующие вершины этих квадратов. Получим куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвертое измерение, которое перпендикулярно первым трем, на заданное расстояние, получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.(приложение №1)

Данное изображение гиперкуба в процессе его построения выглядит довольно сложно, но, если тщательно посмотреть, то на нем можно отчетливо увидеть все 8 кубов-граней гиперкуба.[3]

Представим построение гиперкуба более наглядным, выделяя линии, при помощи которых происходит сдвиг фигуры в следующее измерение, разными цветами:

0-мерный куб (точка)

Начнём с начала — с 0-мерного куба. Этот куб содержит 0 взаимно перпендикулярных граней, то есть это просто точка.(приложение №6, рисунок 1)

1-мерный куб (отрезок)

В одномерном пространстве у нас есть только одно направление. Сдвигаем точку в этом направление и получаем отрезок.(приложение №6, рисунок 2)

Это одномерный куб.

2-мерный куб (квадрат)

У нас появляется второе измерение, сдвигаем наш отрезок в направлении второго измерения и получаем квадрат.(приложение №6, рисунок 3)

Это куб в двумерном пространстве.

3-мерный куб (куб)

С появлением третьего измерения поступаем аналогично: сдвигаем квадрат и получаем обычный трёхмерный куб.(приложение №6, рисунок 4)

4-мерный куб (гиперкуб)

Теперь у нас появилось четвёртое измерение. То есть в нашем распоряжении имеется направление, перпендикулярное всем трём предыдущим. Воспользуемся им точно так же. Четырёхмерный куб будет выглядеть вот так.(приложение №6, рисунок 5)

Естественно, трёхмерный и четырёхмерный кубы нельзя изобразить на двумерной плоскости экрана. То, что нарисовано на рис. 9 и 10 – это проекции кубов на плоскость. О проекциях чуть позже, а сейчас немного характеристики и цифр.[9]

2.2.Краткая характеристика кубов разной размерности

Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат — четыре вершины, куб — восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра — по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани — 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.(приложение №1)[5]

Таблица кубов разной размерности от точки до гиперпространства.(приложение №9)[9]

2.3.Построение гиперкуба с помощью развертки.

Гиперкуб может быть развернут в восемь кубов, подобно тому как куб может быть развернут в шесть квадратов. Многогранник-развертка гиперкуба называется сетью. Существует 261 различных вариантов сетей. Одна из них показана в приложении №5.

Развертка простого куба состоит из 6 квадратов, соединенных определенным образом. Многие люди уже знают, как выглядит развертка куба и его «сборка» с помощью развертки. Развертка гиперкуба будет выглядеть аналогично. Она состоит из исходного куба, шести кубов, выходящих из него в разные стороны, плюс еще одного куба – конечной грани, которая будет присоединена в любом направлении к одному из шести «вырастающих» кубов.[4]

Развертка гиперкуба представляет собой обычную трехмерную фигуру; подобно тому, как развертка простого куба выглядит как плоская фигура. Можно сделать вывод, что развертка фигуры – это ее аналог в пространстве, таком, что оно меньше на одно измерение того пространства, в котором существует данная фигура.

3.Представление гиперкуба при помощи его проекций на плоскость и пространство.

3.1.ПРОЕКЦИЯ ГИПЕРКУБА НА ПЛОСКОСТЬ.

Такая проекция уже была видна в результате построения гиперкуба, указанного выше. Она легко позволяет понять расположение вершин гиперкуба. Таким образом, можно получить изображения, которые не отражают пространственные отношения в пределах четырехмерного гиперкуба, но показывают структуру связи вершин.(приложение №1)[6]

3.2.ПРОЕКЦИЯ ГИПЕРКУБА НА ПРОСТРАНСТВО.

Эта проекция представляет собой 2 вложенных куба, соответствующие вершины которых соединены отрезками. Она позволяет представить гиперкуб в реальном мире.(приложение №3)

Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трёхмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это равные кубы.

Шесть усечённых пирамид по краям гиперкуба — это изображения равных шести кубов. Однако эти кубы для четырехмерного куба имеют такое же отношение, как квадраты для куба. Грани гиперкуба – кубы, а гранями самих кубов являются плоские квадраты.[1]

Как передать глубину гиперкуба при помощи проекций на плоскость и пространство?

Глубину гиперкуба можно выразить с помощью стереопары – двух проекций переднего и заднего вида на любое пространство.Стереопара — пара плоских изображений одного и того же объекта (сюжета), имеющая различия между изображениями, призванные создать эффект объёма.Стереопара рассматривается так, чтобы каждый глаз видел только одно из изображений, возникает стереоскопическая картина, воспроизводящая глубину любого предмета в разных измерениях.[7]

Пример стереопары гиперкуба. (приложение №4, рисунок 1)

Данная стереопара позволяет понять очертания гиперкуба в пространстве. А объемная стереопара (приложение №4, рисунок 2) позволяет увидеть гиперкуб в четырехмерном пространстве, т.е. там, где он теоретически существует.

4.Гиперкуб в искусстве.

Роберт Хайнлайн. Дом, который построил Тил.

Роберт Шекли. Мисс Мышка и четвертое измерение.

Эдвин Эбботт. Флатландия.[10]

РассказГенри Каттнера«Mimsy» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.

В романе Алекса Гарленда (1999), термин «тессеракт» используется для трехмерной развёртки четырехмерного гиперкуба, а не гиперкуба непосредственно. Это метафора призваная показать, что познающая система должна быть шире познаваемой.

Сюжет фильма «Куб 2: Гиперкуб» сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в «гиперкубе», или сети связанных кубов.

Телесериал «Андромеда» использует тессеракт-генераторы как устройство заговора. Они прежде всего предназначены, чтобы управлять пространством и временем.

Картина «Распятие на кресте» (CorpusHypercubus) Сальвадора Дали (1954)

Комиксы «Nextwavecomicbook» изображают средство передвижения, включающее в себя 5 зон тессеракта.

В альбоме Voivod Nothingface одна из композиций названа «В моём гиперкубе».

В романе Энтони Пирса «Маршрут Куба» одна из орбитальных лун Международной ассоциации развития называется тессерактом, который был сжат в 3 измерения.[2]

5.Интересные факты

1. Все книги, фильмы, где говорится о гиперкубе, были сотворены благодаря богатому воображению создателей.

2. При проецировании гиперкуба или любой другой фигуры на одномерное пространство, получится линия; на 0-мерное пространство – точка.

3. В реальном мире мы можем управлять плоскостью: что-то изменить, убрать или добавить. Если бы люди жили в гиперпространстве (так называется четырехмерное пространство), то они бы спокойно управляли тем, что находится в трехмерном пространстве.

4. Люди по-разному воспринимают четвертое измерение: одни думают, что это время; другие представляют его в пространственном воображении; третьи вообще отрицают его.

5. Если бы время было четвертым измерением, то можно представить себе следующую картину. Например, куб стоит на вершине наклонной плоскости. Толкнем его и отсчитаем время после толчка. Он начнет скатываться. Где-нибудь на середине пути остановим его. Естественно, начальное и конечное положения куба будут различны. Теперь соответствующие вершины начального куба попытаемся соединить с соответствующими вершинами конечного положения куба. Получится фигура, которая образуется в результате построения проекции гиперкуба на плоскость.

6. Опираясь на предыдущий факт, можно утверждать, что четвертое измерение – это время. Только не мы управляем временем, а оно управляет нами.

7. На сегодняшний момент нет достоверных сведений о существовании четвертого измерения.

8. При вращении гиперкуба по одной из его осей, можно увидеть, как усеченные пирамиды «превращаются» в кубы.

9. Мы привыкли видеть куб на плоскости так, как указано в приложении №2. Но существует и другая проекция куба на плоскость. (приложение № 7). Это проекция связана с перспективой. Она помогает понять такую проекцию гиперкуба, которая указана в приложении №8.[11]

Другие названия гиперкуба.

  1. Тессеракт.

  2. 4-куб.

  3. Тетракуб.

  4. Четырехмерный куб.[1]

Заключение.

В данной работе ставилась цель дать первоначальное знакомство с четырехмерным пространством. Сделано это было на примере самой простой фигуры – гиперкуба. Таким образом, я узнал, что такое гиперкуб, откуда он появился и как он выглядит в реальном мире.Я понял структуру развертки гиперкуба и научился строить его проекции. Я сделал модель проекции гиперкуба на пространство и модель развертки гиперкуба в пространстве.

В доказательстве гипотезы проводилось проецирование гиперкуба на реальный мир, так как в чистом виде он не может существовать в трехмерном пространстве.

Список литературы.

1) https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперкуб

2)http://ru.science.wikia.com/wiki/Тессеракт

3) http://joy4mind.com/?p=11440

4) http://im-possible.info/russian/articles/hypercube/

5) http://fishki.net/1249990-tesserakt.html

6) http://www.spospk.ru/48-tesserakt.html

7) http://3dtor.net/horizont.html

8) http://tululu.org/read22245/

9) http://www.michurin.net/tetracub/

10)http://dic.academic.ru/dic.nsf/ru/27190

11)http://oko-planet.su/science/sciencehypothesis/185848-giperkub-pervyy-shag-v-chetvertoe-izmerenie.html

12)www.distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/1999/no44_1.htm

Приложение №1

















Приложение №2









Приложение №3







Приложение №4





Рисунок 1



Рисунок 2





Приложение №5

Приложение №6

Рисунок 1

.

Рисунок 2



Рисунок 3



Рисунок 4



Рисунок 5

Приложение №7











Приложение №8










Приложение №9













Характеристики кубов различной размерности

Размерность
пространства

Количество
вершин (точек)

Количество
рёбер (отрезков)

Количество
плоских граней (квадратов)

Количество объёмных граней (ячеек)

0 (точка)

1

0

-

-

1 (отрезок)

2

1

-

-

2 (квадрат)

4

4

1

-

3 (куб)

8

12

6

1

4 (гиперкуб)

16

32

24

8







13



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Внеурочная работа

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Проект НПК

Автор: Пьянков Александр Дмитриевич

Дата: 06.03.2016

Номер свидетельства: 302730

Похожие файлы

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(87) "Сценарий НПК "Калейдоскоп творческих проектов" "
    ["seo_title"] => string(51) "stsienarii-npk-kalieidoskop-tvorchieskikh-proiektov"
    ["file_id"] => string(6) "213670"
    ["category_seo"] => string(7) "prochee"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1432117302"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(66) "Проект "Сотрудничество школы и ВУЗА""
    ["seo_title"] => string(38) "proiekt-sotrudnichiestvo-shkoly-i-vuza"
    ["file_id"] => string(6) "277821"
    ["category_seo"] => string(7) "zavuchu"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1452975394"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(86) "Проект "Путеводитель по памятникам г. Якутска". "
    ["seo_title"] => string(48) "proiekt-putievoditiel-po-pamiatnikam-gh-iakutska"
    ["file_id"] => string(6) "188706"
    ["category_seo"] => string(8) "istoriya"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1426725856"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(154) "Проект "Определение теплопроводности и изоляционных свойств волокон разных типов"" "
    ["seo_title"] => string(89) "proiekt-opriedielieniie-tieploprovodnosti-i-izoliatsionnykh-svoistv-volokon-raznykh-tipov"
    ["file_id"] => string(6) "121078"
    ["category_seo"] => string(6) "himiya"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1413880968"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(155) "Проект и презентация "Определение теплопроводности и изоляционных свойств волокон" "
    ["seo_title"] => string(93) "proiekt-i-priezientatsiia-opriedielieniie-tieploprovodnosti-i-izoliatsionnykh-svoistv-volokon"
    ["file_id"] => string(6) "128201"
    ["category_seo"] => string(7) "prochee"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1415455594"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства