Максимальное количество баллов, которое может получить экзаменуемый за выполнение всей экзаменационной работы, – 32 баллов. Из них – за модуль «Алгебра» – 14 баллов, за модуль «Геометрия» – 11 баллов, за модуль «Реальная математика» – 7 баллов.
Рекомендуемый минимальный результат выполнения экзаменационной работы, свидетельствующий об освоении федерального компонента образовательного стандарта в предметной области «Математика», – 8 баллов, набранные в сумме за выполнение заданий всех трёх модулей, при условии, что из них не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная математика». Преодоление этого минимального результата даёт выпускнику право на получение, в соответствии с учебным планом образовательного учреждения, итоговой отметки по математике или по алгебре и геометрии.
Рекомендованные шкалы пересчёта первичного балла в экзаменационную отметку по пятибалльной шкале:
суммарного балла за выполнение работы в целом - в экзаменационную отметку по математике (табл. 2);
суммарного балла за выполнение заданий, относящихся к разделу «Алгебра» (все задания модуля «Алгебра» и задания 14, 15, 16, 18, 19, 20 модуля «Реальная математика»), - в экзаменационную отметку по алгебре (табл. 3);
суммарного балла за выполнение заданий, относящихся к разделу «Геометрия» (все задания модуля «Геометрия» и задание 17 модуля «Реальная математика»), - в экзаменационную отметку по геометрии (табл. 4).
Таблица 2
Шкала пересчета суммарного балла за выполнение экзаменационной работы в целом в отметку по математике
| Отметка по пятибалльной шкале | «2» | «3» | «4» | «5» |
| Суммарный балл за работу в целом | 0 - 7 | 8 - 14 | 15 - 21 | 22 - 32 |
Таблица 3
Шкала пересчета суммарного балла за выполнение заданий, относящихся к разделу «Алгебра» в отметку по алгебре
| Отметка по пятибалльной шкале | «2» | «3» | «4» | «5» |
| Суммарный балл по алгебраическим заданиям | 0 - 4 | 5 - 10 | 11 - 15 | 16 - 20 |
Таблица 4
Шкала пересчета суммарного балла за выполнение заданий, относящихся к разделу «Геометрия» в отметку по геометрии
| Отметка по пятибалльной шкале | «2» | «3» | «4» | «5» |
| Суммарный балл по геометрическим заданиям | 0 - 2 | 3 - 4 | 5 - 7 | 8 - 12 |
Результаты экзамена могут быть использованы при приеме обучающихся в профильные классы средней школы. Ориентиром при отборе в профильные классы могут быть показатели, примеры нижних границ которых приведены ниже:
для естественнонаучного профиля: 18 баллам, из них не менее 10 по алгебре, и не менее 6 по геометрии;
для экономического профиля: 18 баллам, из них не менее 9 по алгебре, 3 по геометрии, 5 по реальной математике;
для физико-математического профиля: 19 баллам, из них не менее 11 по алгебре, 7 по геометрии.
Ответы к тренировочной работе по математике в 9 классе 5.11.2015 год
Часть 1
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1вариант | 0,5 | 2 | 1 | 8 | 3 | 5,8 | 0 | 2 | 155 | 15 | 42 | 0,75 | 13 | 2 | 1 | 48125000 | 20 | 2 | 0,7 | 260 |
| 2 вариант | 7 | 4 | 2 | 6 | 2 | 8,3 | 706,4 | 3 | 118 | 44 | 8 | 4 | 1 | 2 | 4 | 50625000 | 8 | 3 | 0,1 | 0,88 |
| 3 вариант | 1,5 | 2 | 1 | 5 | 4 | 11 | 0,64 | 4 | 129 | 52 | 30 | 1,5 | 3 | 2 | 12 | 25000000 | 40 | 3 | 0,4 | 315 |
| 4 вариант | 1,8 | 3 | 2 | 7 | 2 | 10,6 | -498,4 | 4 | 105 | 61 | 32 | 5 | 23 | 2 | 20 | 11250000 | 30 | 14 | 0,76 | 18 |
| 5 вариант | 2 | 2 | 3 | 7 | 1 | 4,4 | 24 | 1 | 157 | 36 | 192 | 0,6 | 13 | 3 | 20 | 48000000 | 36 | 3 | 0,2 | 0,72 |
Часть 2
Задание 21
Задание 22
Задание 23
Задание 24
Задание 25
Задание 26
Вариант 1
Задание 21. Один из корней уравнения 
равен 
. Найдите второй корень.
Решение.
Подставим известный корень в уравнение: 
. Получим уравнение относительно 
. Решим его: 
. Подставим уравнение: 
, откуда
Ответ: 
Задание 22. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?
Решение.
Предположим, что ученик делает 
деталей в час. Тогда мастер делает 
детали в час.
На изготовление 231 детали ученик потратит 
ч, а мастер тратит 
ч на изготовление 462 деталей.
Составим уравнение по условию задачи:
.
Решим уравнение:
.
Корни полученного квадратного уравнения: −28 и 3. Отбрасывая отрицательный корень, находим, что ученик делает в час 3 детали.
Ответ: 3.
Задание 23 . Парабола проходит через точки K(0; –5), L(3; 10), M( –3; –2). Найдите координаты её вершины.
Решение.
Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: 
Координата вершины параболы находится по формуле 
Координату 
вершины параболы найдётся подстановкой 
в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов 
и 
Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы и получим систему из трёх уравнений:
Найдём координаты вершины:
Ответ: (−1; −6).
Задание 24. В треугольнике 
угол 
равен 72°, угол 
равен 63°, 
. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение.
Угол 
треугольника равен 
= 180° − 
− 
= 45°.
Радиус описанной окружности равен 
.
Ответ: 2.
Задание 25. Докажите, что у равных треугольников и 
биссектрисы, проведённые из вершины 
и 
, равны.
Решение.
Пусть 
и 
— биссектрисы треугольников и . В треугольниках 
и 
соответственно равны стороны 
и 
, а также углы 
и 
, 
и 
. Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Значит, , что и требовалось доказать.
Задание 26. Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK.
Решение.
Пусть AK=KC=3x, тогда AB=2x, так как по свойству биссектрисы. Значит,
Пусть S - площадь треугольника ABC, тогда
Таким образом,
Ответ: 36.
Вариант 2
Задание 21. Решите уравнение:
Решение.
Раскладывая на множители левую часть уравнения, получаем Таким образом, корни уравнения
Ответ: 
Задание 22. Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?
Решение.
Пусть за минуту в бак накачивается литров воды. Тогда за минуту выкачивается 
л воды.
По условию задачи составим уравнение:
,откуда
Получаем квадратное уравнение
,имеющее корни: 
и 
.
Отбрасывая отрицательный корень, находим, что за минуту в бак накачивается 9 л воды.
Ответ: 9.
Задание 23. Парабола проходит через точки A(0; 6), B(6; –6), C(1; 9). Найдите координаты её вершины.
Решение.
Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: Координата вершины параболы находится по формуле Координату вершины параболы найдётся подстановкой в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов и Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы и получим систему из трёх уравнений:
Найдём координаты вершины:
Ответ: (2; 10).
Задание 24 Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.
Решение.
Пусть DC = x. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем:
откуда 
Ответ: 16.
Задание 25. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
Решение.
Имеем:
Докажем, что 
.
1) по стороне и двум прилежащим к ней углам:
а) 
— общая;
б) по свойству углов равнобедренного треугольника;
в) по определению биссектрисы и равенству углов при основании равнобедренного треугольника.
2) 
как соответствующие элементы равных треугольников.
Задание 26. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BCравно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Продолжим биссектрису до пересечения с прямой 
в точке 
Углы 
и 
равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, следовательно, треугольник — равнобедренный: Найдём Углы 
и 
равны как вертикальные. Рассмотрим треугольники и 
стороны 
и 
равны, углы и равны как вертикальные, углы 
и 
равны как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники равны, откуда Проведём прямую 
параллельную 
Прямая параллельна прямая 
параллельна 
следовательно, четырёхугольник 
— параллелограмм, откуда Найдём Рассмотрим треугольник 
заметим, что
Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник 
— прямоугольный, следовательно, 
— высота трапеции. Найдём площадь трапеции:
Ответ: 250.
Вариант 3
Задание 21. Решите уравнение:
Решение.
Сделаем замену 
Получаем уравнение
Корни: 
Если 
, то 
или 
Если 
, то 
или 
Ответ: 
Задание 22. Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша — на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Решение.
Пусть x — количество вопросов теста через. Тогда получаем:
откуда находим x = 33 .
Ответ: 33
Задание 23. Парабола проходит через точки K(0; –2), L(4; 6), M(1; 3). Найдите координаты её вершины.
Решение.
Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: Координата вершины параболы находится по формуле Координату вершины параболы найдётся подстановкой в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов и Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы и получим систему из трёх уравнений:
Найдём координаты вершины:
Ответ: (3; 7).
Задание 24. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B . Найдите диаметр окружности, если AB =15, AC = 25.
Решение.
Пусть DC = x. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем:
AB2 = AC(AC − x); 225 = 25(25 − x), откуда x = 16.
Ответ: 16.
Задание 25. На медиане KF треугольника MKP отмечена точка E. Докажите, что если EM = EP, то KM = KP.
Решение.
Поскольку треугольник 
— равнобедренный, получаем, что его медиана 
также является высотой. Значит, в треугольнике 
отрезок 
является высотой и медианой. Поэтому треугольник — равнобедренный, то есть 
.
Задание 26. Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, равен среднему гармоническому её оснований. Пусть 
тогда 
и Поскольку треугольники 
и 
подобны, их высоты 
и 
, проведенные соответственно к сторонам и относятся как 3:1. Тем самым, для отношения искомого отношения площадей трапеций 
и 
имеем:
Ответ: 5:27.
Вариант 4
Задание 21. Решите уравнение: 
Решение.
Перенесем все члены в левую часть и разложим ее на множители:
при всех значениях 
поэтому 
Значит,
Ответ: 1.
Задание 22. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 130 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 136 литров?
Решение.
Пусть вторая труба пропускает литров воды в минуту, тогда первая труба пропускает 
литра в минуту. Вторая труба заполняет резервуар объёмом 130 литров за 
минут. Поскольку первая труба заполняет резервуар объёмом 136 литров за 
минут, что по условию задачи на 4 минуты больше, чем 
получаем уравнение:
Решим уравнение:
или 
Отбрасывая постороннее решение −6,5, получаем, что вторая труба пропускает 10 литров в минуту.
Ответ: 10 литров в минуту.
Задание 23. Парабола проходит через точки K(0; 2), L( – 5; – 3), M(1; 9). Найдите координаты её вершины.
Решение.
Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: Координата вершины параболы находится по формуле Координату вершины параболы найдётся подстановкой в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов и Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы и получим систему из трёх уравнений:
Найдём координаты вершины:
Ответ: (−3; −7).
Задание 24. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 7,5, а AB = 2.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Радиус окружности, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому треугольник 
— прямоугольный. Найдём 
по теореме Пифагора:
Следовательно, длина стороны равна
Ответ: 8.
Задание 25. На стороне АС треугольника АВС отмечены точки D и E так, что AD = CE. Докажите, что если BD = BE , то АВ = ВС.
Решение.Треугольник 
— равнобедренный, поэтому . Значит, и треугольники 
и 
равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, 
.
Задание 26. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Угол 
и 
равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы и равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам: Получаем:
Из прямоугольного треугольника используя теорему Пифагора найдём 
Ответ: 20.
-----------
Приведем другое решение:
Вариант 5
Задание 21. Решите уравнение
Решение.
Преобразуем уравнение:
Ответ: −4; −3; 3.
Задание 22. Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Решение.
Пусть — число деталей, изготавливаемых первым рабочим за час, тогда 
— число деталей, изготавливаемых вторым рабочим за час. Заказ, состоящий из 60 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй, составим уравнение:
Корень −10 не подходит по условию задачи, следовательно, первый рабочий изготавливает 20 деталей в час. Значит, второй рабочий изготавливает 10 деталей в час.
Ответ: 10.
Задание 23. Парабола проходит через точки A(0; – 6), B( – 5; – 1), C(1; – 1). Найдите координаты её вершины.
Решение.
Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: Координата вершины параболы находится по формуле Координату вершины параболы найдётся подстановкой в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов и Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы и получим систему из трёх уравнений:
Найдём координаты вершины:
Ответ: (−2; −10).
Задание 24. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.
Решение.
Пусть A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Радиус вписанной окружности обозначим r. Тогда AC1 = AB1 и CA1 = CB1 = r. Периметр треугольника ABC равен 2AC1 + 2BC1 + 2CA1 = 2AB + 2r. Полупериметр p равен AB + r.
По формуле площади треугольника находим
Ответ: 28.
Задание 25. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторонАВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
Решение.
Так как точки M, N, K - середины сторон и треугольник ABC- равносторонний, то отрезки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В равностороннем треугольнике все углы равны, таким образом, треугольники AMK, NMB, CNK равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда MN=MK=KN, значит треугольник MNK- равносторонний.
Задание 26. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB иCD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14, CF:DF = 4:3.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники 
и 
угол C — общий, углы 
и 
равны друг другу как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, треугольники и 
подобны. Откуда поэтому Аналогично, из треугольников 
и получаем, что Таким образом, Ответ: 30.
2) 4
3) 12 4) 2
2) 
3)
4) 
2) 
3) 
4) 
?
2) 
3)
4) 
?
2) 
3) 
4) 
?
2) 
3)
4) 
, где 
?
2) 
3) 
4) 
?
2) 
3)
4) 
м. Чему равен крутящий момент (в Н
