Исследовательские задачи
7 класс
Задачи на доказательство
№ 1.Свойство степени с натуральным показателем
?=
1.Открытие закономерности
Предлагается вычислить:
а) ?= (2?2?2)?(2?2?2?2?2)= 2?2?2?2?2?2?2?2= =256
8 множителей
б) ? = 3? (3?3?3?3)= 3? 3? 3? 3? 3 = =243
5 множителей
В процессе решения ученики замечают, что
?=, т.е. ?=
? =,т.е. ? =
Наблюдается закономерность: основания перемножаемых степеней одинаковы, при этом показатели складываются.
2.Формулировка подмеченной закономерности.
Ученик предполагает, что эта закономерность действует не только в рассмотренных случаях, но и во всех аналогичных. Открыта общая закономерность:
Теорема. Если а- любое число и n,к- натуральные числа,
то справедливо равенство ?=
3.Доказательство того, что сформулированная ( гипотетически) закономерность в общем виде на самом деле верна.
Доказательство.
- По определению = а?а?а?а?… ?а
n множителей
- По определению = а?а?а?а?… ?а
m множителей
- ?= (а?а?а?а?… ?а) ? ( а?а?а?а?… ?а)= а?а?а?а?… ?а ? а?а?а?а?… ?а=
n множителей m множителей n+ m множителей
№ 2. Возведение двучлена в степень.
1.Открытие закономерности
Ученикам известны формулы сокращенного умножения – формула квадрата суммы
= +2ab+
и формула квадрата разности
= -2ab+
Как получить формулу куба суммы и формулу куба разности?
Ученики предлагают умножить трехчлены +2ab+ и -2ab+ соответственно на a+b и a-b. Получаем
=+3b+3a+
=-3b+3a-
Чтобы подметить закономерность в формулах возведения двучлена в степень при различных значениях показателя, ученикам предлагается выписать эти формулы, начиная с n=1 до n =5:
(a+b)= a+b
(a+b)= +2ab+
=+3b+3a+
(a+b)=a+4b+6+4a +a
(a+b)=a+5 ab+10+10+5ab+b
Рассматривая эти формулы, можно заметить:
1)в правой части каждой формулы записан многочлен, расположенный по убывающим степеням переменной a и по возрастающим степеням переменной b,
2) степень каждого члена постоянна и равна степени двучлена,
3) число членов на единицу больше показателя степени двучлена.
Проблема: как вычисляются коэффициенты?
Чтобы обнаружить закономерность в образовании коэффициентов, надо их выписать друг под другом. Получаем таблицу:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Ученики исследуют следующие закономерности:
-каждая строка таблицы слева направо читается так же, как справа налево;
-ясно, как образуется первый и второй столбец;
-третий столбец: его первый элемент 1, второй получается из первого прибавление 2, третий из второго- прибавлением 3, четвертый из третьего- прибавление 4;
-четвертый столбец получается из третьего аналогично и т.д.
Такая таблица называется треугольником Паскаля.
2.Формулировка подмеченной закономерности.
(a+b)= Ca+Cab+ Ca+ …+ Cab+…+Cab+Ca b+ Cb
Это формула возведения в n-ю степень двучлена - бином Ньютона.
C - число сочетаний из n элементов по m. С вычислением числа сочетаний учащиеся знакомятся на факультативных занятиях.
3.Доказательство.
Нам нужно доказать, что после раскрытия скобок в выражении
(a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)…(a+b) и приведении подобных членов одночлен
n множителей
ab будет иметь коэффициент C.
При раскрытии скобок будут получаться произведения вида
? ? ? ? … ??, где на каждом из n мест стоит или a, или b, в зависимости от того, n множителей
что именно мы выбираем в очередной скобке.
Если в k скобках взят множитель b, а в остальных (n-k) скобках взят множитель a, то в результате такого умножения получится ab.Количество таких одночленов в точности равно количеству выборов тех k скобок из n данных, из которых в дальнейшем будет взят множитель b.Значит, после раскрытия скобок в выражении (a+b)=(a+b)(a+b)(a+b)…(a+b)
n множителей
количество одночленов ab равно числу выборов k элементов из n данных. Следовательно, числовой коэффициент одночлена ab равен C.
