Методические рекомендации по решению иррациональных уравнений и неравенств.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ

«КАНДАЛАКШСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГАПОУ МО «КИК»)

Методические рекомендации к практическим работам по теме «Решение иррациональных уравнений и неравенств»

Разработала преподаватель математики

1категории Гашимова А.Н.

2017

Пояснительная записка.

Практические занятия - один из видов практического обучения, имеющий целью закрепление теоретических знаний и формирование практических умений и навыков.

Практическая работа по математике заключается в выполнении студентами под руководством преподавателя комплекса учебных заданий, направленных на усвоение основ учебной дисциплины «Математика», приобретение практических навыков решения примеров и задач. Выполнение практической работы студенты производят в письменном виде, оформляя отчеты в тетради. Отчет предоставляется преподавателю для проверки.

Практические занятия способствуют более глубокому пониманию теоретического материала учебного курса, а также развитию, формированию и становлению различных уровней составляющих профессиональной компетентности студентов, пониманию межпредметных связей. Основой практикума выступают типовые задачи, которые должен уметь решать студент, изучающий дисциплину «Математика».

Для лучшего усвоения студентами изучаемого материала и получения уверенных навыков решения примеров и задач при проведении практических занятий целесообразно использовать различные методы и приемы:

- рассмотрение решения типовых примеров;

- исследовательская работа при решении примеров и практических задач;

- работа в группах;

Содержанием практических занятий являются

— Выполнение вычислений, расчетов;

— Работа со справочниками, таблицами.

Необходимые структурные элементы практического занятия:

— Инструктаж, проводимый преподавателем;

— Самостоятельная деятельность студентов;

— Анализ и оценка выполненных работ и степени овладения студентами запланированных умений.

Перед выполнением практического занятия проводится проверка знаний студентов на предмет их готовности к выполнению задания.

Оценки за выполнение являются показателями текущей успеваемости студентов по дисциплине «Математика».

Критерии оценки практических заданий.

Отметка «5» ставится, если:

• работа выполнена полностью;

• в логических  рассуждениях и обосновании решения нет пробе­лов и ошибок; 

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточ­ность, описка, не являющаяся следствием незнания или непо­нимания учебного материала).

 Отметка «4» ставится, если:

работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущена одна существенная ошибка или два-три несущественных ошибки.

 Отметка «3» ставится, если:

допущены более одной существенной ошибки или более двух-трех

несущественных ошибок, но студент владеет обязательными

умениями по проверяемой теме; при этом правильно выполнено не

менее половины работы. 

Отметка «2» ставится, если:

      допущены существенные ошибки, показавшие, что студент не владеет

      обязательными умениями по данной теме в полной мере. 

Отметка «1» ставится, если:

работа показала полное отсутствие у студента обязательных знаний и

умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена

не самостоятельно.

К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, связанные с незнанием, непониманием студентом основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов решения практических заданий, предусмотренных программой.

К категории несущественных ошибок следует отнести погрешности, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к искажению смысла задания и его выполнения.

При наличии существенной ошибки задание считается невыполненным.

Цель практических занятий: познакомить студентов с решением некоторых типов иррациональных уравнений; способствовать развитию навыка решения иррациональных уравнений и неравенств.

Теоретические сведения.

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. При решении иррациональных уравнений применяют метод возведения в степень обоих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.

При возведении уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. В связи с этим возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение.

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или "метод замены". Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно.

Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область допустимых значений и используя равносильные переходы.

Рассмотрим применение данных методов решения иррациональных уравнений.

Пример 1. Решите уравнение = х

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим: 7х-6= х² . Решаем квадратное уравнение: х²- 7х+ 6 =0

Д=25, х₁=6, х₂=1.

Проверяем полученные результаты, подставляя в начальное условие:

=6

=1

Ответ: 6 и 1

Пример 2. Решить уравнение =

Решение. Возведем обе части в квадрат: ²= ²

2х-3=х-2

2х-х= 3-2

х=1

Проверка: = не сеществует, следовательно х=1 посторонний корень. Данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет

Пример 3. Решить уравнение =

Решение: ³=³

2х+7=3х-3

2х-3х=-3-7

х=10

В даннам случае проверка необязательна, так как использовался метод возведения обеих частей в нечётную степень, при которой посторонние корни не появляются.

Ответ: х=10

Пример 4. Решить уравнение = х+3

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат ²= ²;

(х+6) · (13-3х) = (х+3)²;

13х- 3х ²+78 -18х = х² + 6х +9;

4х² +11х -69 =0;

х₁= 3; х₂=- .

Проверка: х₁= 3: · =3+3; 6 = 6

х₂=- : ; посторонний корень.

Ответ: х=3

Пример 5. Решить уравнение + =12

Решение. Введем новую переменную. Пусть =, тогда =у².

Получаем новое уравнение: у² +у -12=0; у₁=3; у₂=- 4.

1) =3 ;

2х +1= 3⁴;

х=40.

2) = - 4. Уравнение не имеет корней, так как ≥ 0, а число -4

Ответ: х=40.

Пример 6. Решить уравнение + - 2= 0.

Решение. Пусть = у, = у².

Получим у² + у - 2 =0; у₁=- 2; у₂=1.

1) = 1, х =1

2) = -2, не имеет корней, т.к. ≥0.

Ответ: х=1.

Пример 7. Решить уравнение + =6.

Решение. Область допустимых значений неизвестного (ОДЗ) определяется системой неравенств которая решений не имеет. Уравнение не определено в множестве действительных чисел.

Ответ: нет решений.

Задания для индивидуальной и групповой работы.

1. =

2. = х-1

3. –х – 5=

4. - =1

5. + =20

6. + =3

7. – – = 0

8. - =1

9. - 2= х

10. = 12 -

11. =4

12. = 2x + 6.

13 = 5 + 2x.

14. 7 – =2

15. · =х

16. · =2

17.18- = 12

18. 5 + =3

19. -3 =х

20. 6 + =2

21. = -2

22. ·=0

Решения иррациональных неравенств

Под иррациональным неравенством понимают неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня.

Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.

Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь исключена возможность проверки, в связи с этим необходимо стараться делать все преобразования равносильными.

При решении иррациональных неравенств нужно запомнить правило:

при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству;

если обе части неравенства возводят в чётную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться.

Иррациональное неравенство g_(х) или ≤ g_(х) равносильно системе неравенств:

или

Иррациональное неравенство g_(х) или ≥ g_(х) равносильно совокупности двух систем неравенств:
или

В связи с этим основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство 4.

Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при котоҏыҳ она определена. В связи с этим неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство 4.

Решение. Область определения данного неравенства 5х-9≥0, х≥9/5.

Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: 5х-9

Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства, получим 9/5≤х

Ответ : 9/5≤х

Пример 3. Решить неравенство ≥ 7.

Решение. Область определения данного неравенства 3-х ≥0, х≤3.

Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: 3-х≥ 49, -х ≥ 46, х ≤ -46.

Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства, т.е. решение системы: . Имеем два неравенства с одинаковым знаком, вспомним: «меньше меньшего», итак.

Ответ: .

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Найдем решения каждого из неравенств:

1) 6х + 3 ≥0, х≥-0,5.

2) 3х ≥ 0, х≥0.

3) 6х+3², -9х²+6х+3²-2х-10, решаем квадратное уравнение, находим х₁=1, х₂=-1/3. Применим метод интервалов: х1.

Запишем решения системы: Получаем х1.

Ответ: х1.

Задание для групповой и самостоятельной работы.

Решить неравенства.

1. х-1,

2. 3,

3. 

4. ≤ 5,

5. ≤ 4,

6. ≤ -6,

7. х-1,

8. 

9. 5 + ≤ 3,

10. - 2≥ х

11. 

12. ≥6.

Контрольные вопросы.

1. Что такое арифметический корень п-й степени?

2. Свойство корней?

3. Какие уравнения называются иррациональными?

4. Какие существуют способы решения иррациональных уравнений?

5. Почему при возведении в четную степень необходимо делать проверку?

6. Когда иррациональное уравнение не имеет решений?

7. Какие неравенства называются иррациональными?

8. Как решаются иррациональные неравенства?

Литература.

1. Колмогоров А.Н. Алгебра. Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2005.

2. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену по математике. Ростов-на-Дону «Феникс», 2009.

3. Мордкович А.Г., Смирнова И.М., Математика 11 класс, М. Мнемозина, 2011.