Материалы для подготовки к олимпиаде по математике

Математическое образование в общеобразовательной школе в первую очередь направлено на усвоение учениками алгоритмов решения стандартных задач. Но при работе с одаренными учениками придется иметь дело с задачами, при решении которых традиционных способов недостаточно.

Относительно математических способностей учеников в образовательной среде «ходят» достаточно разные мысли. Некоторые говорят, что для развязывания олимпиадных задач необходимы исключительные способности, другие утверждают, что для этого необходимо иметь особенную, «математическую память» для запоминания формул и способов решения. Невозможно отрицать то, что есть ученики с сильно выраженными наклонностями к той или другой умственной деятельности, но иногда, найдя таких учеников, мы не замечаем рядом тех, у кого такие способности «скрыты» по тем или другим причинам. Мы, учителя, лишь помогаем нашим ученикам развиваться, достигать лучших результатов. Главное задание учебы - учить учеников мыслить.

Логические задачи

Не будем давать определения логической задачи, ведь любая задача требует четких и правильных рассуждений во время ее решения. Но рассмотренные задачи будем относить к логическим, часто они имеют интересный сюжет, а их решение сводится к построению последовательных нескольких «очевидных» выводов. Все трудности решения логической задачи и заключаются в нахождении такой «цепочки» простых рассуждений и выводов.

Задачи на переливание

Задачу на переливание называют задачей Пуассона, это знаменитый французский математик, механик и физик. Когда он был еще молодым и колебался в выборе жизненного пути, приятель, показал ему несколько задач, которые сам не смог решать. Пуассон быстро развязал все. Но особенно ему понравилась задача о двух сосудах: «Кое-кто имеет 12 пинт виноградного сока(пинта это 0,568л) и хочет подарить половину вторую, но у него лишь два пустых сосуда: одна - 8, вторая - 5 пинт. Каким образом налить в больший сосуд 6 пинт»?. «Эта задача определила мою судьбу, - говорил Пуассон. - Я решил, что обязательно стану математиком».

Задачи на переливание помогают развивать логическое мышление, пространственное воображение, выдержку, настойчивость в нахождении оптимального решения. Традиционно в задачах на переливание сосуда не имеют делений, то есть переливать можно лишь до тех пор, пока сосуд, в который наливаем, не заполнится до конца, или пока вовсе не опустеет сосуд, из которого переливаем. Просто так остановиться на середине или разлить содержимое сосуда на две равных части тоже не выйдет.

При использовании олимпиад них задач на переливание нужное средство для развития зрительной памяти, потому что поиск правильного хода решения требует контроль нескольких параметров емкостей. Если в одном из них находится вещество, то вместе с объемом налитого нужно помнить еще об объеме пустой части. А это уже целых два параметра.

Чтобы упростить счет всех возможностей по изменению состояния лучшие занести данные об объемах каждой емкости в специальную таблицу. В каждую колонку занести состояние всех емкостей после каждого измерения. От ученика требуется возможность внимательно следить за их параметрами, во избежание повторений. Если перечислить все возможные варианты, ни повторяясь, то среди них обязательно найдется искомая величина.

Задача 1 . Как с помощью 3-литрового и 5-литрового ведер набрать 1 литр воды? В нашем распоряжении есть водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение.

Решение этой задачи можно записать в виде таблицы. Сначала оба ведра пустые. Наполняем 3-литровое ведро и выливаем воду из него в 5-литровое. Опять наполняем 3-литровое ведро и выливаем ее в 5-литровое, пока оно не наполнится. В

3-литровом ведре останется 1 литр воды.

3 литры	0	3	0	3	1
5 литров	0	0	3	3	5

Задача 2 . Имеем две емкости 5 и 7 л. Как с помощью емкостей отмерять 6 л воды из крана?

Решение.

Сложим таблицу решения :

7 л	7	2	2	0	77	4	4	0	7	6
5 л	0	5	0	2	2	5	0	4	4	5

Задача 3 . Имеем три емкости: 9 л, 5 л, 3 л. Первая наполнена водой, а другие две пустые. Как с помощью этих емкостей отмерять 1 л воды? Как отмерять 4 л воды?

Решение:

3 л	0	3	3	4
5 л	0	0	5	5
9 л	9	6	1	0

Задача 4 . В трех кучках лежат 22, 14 и 12 орехов. С помощью трех переложений уравняйте количество орехов в кучках.

Решение: Поскольку орехов всего 48, то в каждой кучке должно очутиться по 16. Переводить из одной кучки в другую можно столько орехов, сколько их есть в куче, в которую перекладывают. Схематически переложение можно показать так:

(22,14,12) — (8,28,12) — (8,16,24) — (16,16,16).

Задача 5. Как отмерять 4л воды с помощью банок вместимостью 3л и 5л?

Решение

банки	Переливание
5л	0л	3л	3л	5л	0л	1л	1л	4л
3л	3л	0л	3л	1л	1л	0л	3л	0л

Задача 6. Как с помощью двух бидонов вместимостью 4л и 5л налить в ведро 3л воды, если объем ведра не меньше чем 3л?

Решение.

Сосуды	Переливание
5л	0л	4л	4л	5л	5л
4л	4л	0л	4л	3л	0л
Не меньше чем 3л	0л	0л	0л	0л	3л

Задада 7 Рядом с лабораторией протекает бурная река. Как с помощью двух сосудов объемом 3 и 5 литров отмерять ровно 4 литра речной воды?

Решение

Шаг	1	2	3	4	5	6	7
3л	0	0	3	0	2	2	3
5л	0	5	2	2	0	5	4
река

4 литра могут поместиться лишь в 5-литровый сосуд. Они могут быть получены после доливания 1 литра до 3, 2 литров до 2, 3 литров до 1, или путем отливания от 5 литров 1 литра. Чтобы можно было отлить, ровно 1 литр, нужно, чтобы в сосуде назначения было свободное место, ровно для 1 литра, то есть, чтобы в 3-литровом сосуде перед этим были 2 литра. Разницу объемов сосудов легко получить: 2 литра выходят, если набрать полный 5-литровый сосуд и отлить из нее в пустой 3-литровый сосуд. После этого их надо перелить в 3-литровый сосуд, загодя опорожнив ее обратно в реку.

Задача 8. У большого алхимика есть нерастворимая колба, в которой содержится 12 миллилитров серной кислоты, а также две нерастворимых мензурки объемом 5 и 7 миллилитров. Как ему получить две порции по 6 миллилитров серной кислоты, необходимых для опыта? (Кислота растворит любую другую посуду в лаборатории.)

Решение

шаг	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
12 мл	12	5	5	10	10	3	3	8	8	1	1	6
5мл	0	0	5	0	2	2	5	0	4	4	5	0
7 мл	0	7	2	2	0	7	4	4	0	7	6	6

Задача 9 Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По пути нарвал букет цветов, чтобы подарить пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меду, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л»! Винни-Пух долго думал, но все-таки смог развязать задачку. Как он это сделал?

Решение

шаг	1	2	3	4	5	6
5л	5	2	2	0	5	4
3л	0	3	0	2	2	3

Или

шаг	1	2	3	4	5	6	7	8
5л	0	3	3	5	0	1	1	4
3л	3	0	3	1	1	0	3	0

Задача 10. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: одна - вместимостью в 8 л, а другая - вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?

Решение

Шаг	1	2	3	4	5	6	7	8
12л	12	4	4	9	9	1	1	6
8л	0	8	3	3	0	8	6	6
5л	0	0	5	0	3	3	5	0

Задачи на соответствии между множествами

В каждой из этих задач нужно установить такие соответствия между двумя или тремя множествами, чтобы они удовлетворяли приведенные условия. Обычно задачи на соответствии между множествами решают с помощью таблиц, в строках и столбцах которых записывают элементы поданных множеств, а в соответствующих ячейках ставят знаки « -» или «+» в зависимости от того, выполняется или нет и или другое условие.

Задача 1. В бутылку, стакан, крынку и банку налито молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко - не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между крынкой и сосудом с квасом, в банке - не лимонад и не вода, стакан стоит около банки и сосуды с молоком. В который из сосудов налит каждый из напитков?

Решение.

Нужно установить соответствие между двумя множествами - сосудов и напитков. Сложим таблицу:

	Бутылка	Стакан	Крынка	Банка
Молоко
Лимонад
Квас
Вода

За условием вода и молоко - не в бутылке, а в банке - не лимонад и не вода. Следовательно, в соответствующие ячейки ставим знаки «-» :

	Бутылка	Стакан	Крынка	Банка
Молоко	-
Лимонад				-
Квас
Вода	-			-

Поскольку сосуд с лимонадом стоит между крынкой и сосудом с квасом, то в крынке - не лимонад и не квас. Поскольку стакан стоит около банки и сосуды с молоком, то в стакане и в банке - не молоко. Ставим знаки «-» в соответствующей ячейки таблицы :

	Бутылка	Стакан	Крынка	Банка
Молоко	-	-		-
Лимонад			-	-
Квас			-
Вода	-			-

Теперь очевидно, что в крынке - молоко, а в банке - квас. Тогда в крынку не может быть налитой воды, а квас не может быть налитым ни в бутылку, ни в стакан:

	Бутылка	Стакан	Крынка	Банка
Молоко	-	-		-
Лимонад			-	-
Квас	-	-	-
Вода	-		-	-

Расставив знаки «+» и «-» в соответствующие ячейки таблицы, делаем вывод, что в бутылке налит лимонад, тогда в стакане - вода.

	Бутылка	Стакан	Крынка	Банка
Молоко	-	-	+	-
Лимонад	+	-	-	-
Квас	-	-	-	+
Вода	-	+	-	-

Ответ: в бутылке - лимонад, в стакане - вода, в крынке - молоко, в банке - квас.

Задача 2. В гонках участвовали три гонщика: Иваненко, Петренко, Сидоренко. Они выступали на красном, желтом и белом автомобилях. Гонщик на красном автомобиле пришел к финишу раньше, чем Сидоренко. Гонщик на желтом автомобиле пришел к финишу не первым. Гонщик на белом автомобиле перегнал Петренка, хотя Петренко был не последним. Кто на каком автомобиле выступал?

Решение.

Нужно установить соответствие между двумя множествами - фамилиями гонщиков и цветами автомобилей. Поскольку гонщик на красном автомобиле пришел к финишу раньше, чем Сидоренко, то Сидоренко выступал не на красном автомобиле. Дальше из условия задачи делаем вывод, что Петренко пришел к финишу вторым. Поскольку Сидоренко не был первым, потому что за условием гонщик на красном автомобиле пришел к финишу раньше, чем Сидоренко, то первым пришел к финишу Иваненко, и он был на белом автомобиле, потому что за условием гонщик на белом автомобиле перегнал Петренка. Сложим таблицу и ставим «+» и «-» в соответствующих ячейках:

	Красный	Желтый	Белый
Иваненко	-	-	+
Петренко			-
Сидоренко	-		-

Теперь очевидно, что на красном автомобиле выступал Петренко, а Сидоренко выступал на желтом автомобиле:

	Красный	Желтый	Белый
Иваненко	-	-	+
Петренко	+	-	-
Сидоренко	-	+	-

Ответ: Иваненко выступал на белом автомобиле, Петренко - на красном, Сидоренко - на желтом.

Задача 3. В соревнованиях по бегу на 100м участвовали четверо друзей: Котиков, Маслов, Зайцев и Чижов. Один из них брюнет, второй, - блондин, третий, - шатен, четвертый, - рыжий. Котикову удалось перегнать рыжего, однако Маслов прибежал впереди Котикова. Зайцев прибежал раньше Чижова, но позже шатена. Маслов не шатен. Кто какое место занял?

Решение.

Нужно установить соответствие между множеством фамилий и множеством мест.

Поскольку Котикову удалось перегнать рыжего, то Котиков не мог занять последнее место. Поскольку Маслов прибежал впереди Котикова, а тот не на последнем месте, то маслов не мог занять ни третье, ни четвертое место. Поскольку Зайцев прибежал раньше Чижова, то Зайцев также не мог занять последнее место. Следовательно, последнее место занял Чижов. Сложим таблицу и ставим в соответствующие ячейки знаки «+» и «-»:

	1 место	2 место	3 место	4 место
Котиков				-
Маслов			-	-
Зайцев				-
Чижов	-	-	-	+

Поскольку Зайцев прибежал позже, по крайней мере, за шатена, то он не мог занять первое место. Поскольку Маслов не шатен, то Зайцев прибежал позже Котикова. За условием Маслов прибежал впереди Котикова. Следовательно, первое место занял Маслов:

	1 место	2 место	3 место	4 место
Котиков	-			-
Маслов	+	-	-	-
Зайцев	-			-
Чижов	-	-	-	+

Поскольку Зайцев прибежал позже за Котикова, то Котиков занял второе место, а Зайцев - третье:

	1 место	2 место	3 место	4 место
Котиков	-	+	-	-
Маслов	+	-	-	-
Зайцев	-	-	+	-
Чижов	-	-	-	+

Ответ: Котиков занял второе место, Маслов - первое, Зайцев - третье, Чижов - четвертое.

Задача 4. Белочка заготовила на зиму орехи, грибы, ягоды и шишки, положила их в разные шкатулки: красную, синюю, белую и желтую, - и поставила на полку в строку. Шкатулка с грибами не крайняя. Шкатулка с шишками стоит между шкатулкой с ягодами и желтой шкатулкой. Чтобы сварить компот, надо залезть не в синюю шкатулку, а в соседнюю с ней. Ягоды находятся не в белой шкатулке. В каких шкатулках лежат заготівки белки?

Решение.

Нужно установить соответствие между двумя множествами - цветов и заготовок. Поскольку шкатулка с шишками стоит между шкатулкой с ягодами и желтой шкатулкой, то в желтой шкатулке не могут быть ни шишек, ни ягод. Также по условию задачи ягод не может быть ни в синей, ни в белой шкатулках. Следовательно, ягоды лежат в красной шкатулке. Сложим таблицу и ставим в соответствующие ячейки знаки «+» и «-»:

	Красная	Синяя	Билла	Желтая
Орехи	-
Грибы	-
Ягоды	+	-	-	-
Шишки	-			-

Шишки могут лежать или в синей, или в белой шкатулке. Поскольку шкатулка с шишками стоит между шкатулкой с ягодами и желтой шкатулкой, то возможны такие варианты расположения шкатулок : красная, синяя, желтая, белая или красная, белая, желтая, синяя. Но за условием шкатулка из ягодам (то есть красная шкатулка) стоит рядом с синей шкатулкой. Следовательно, расположение шкатулок будет таким: красная, синяя, желтая, белая. Тогда шишки лежат в синей шкатулке:

	Красная	Синяя	Билла	Желтая
Орехи	-	-
Грибы	-	-
Ягоды	+	-	-	-
Шишки	-	+		-

По условию шкатулка с грибами не крайняя, следовательно, грибы не могут лежать в белой шкатулке:

	Красная	Синяя	Билла	Желтая
Орехи	-	-
Грибы	-	-	-
Ягоды	+	-	-	-
Шишки	-	+	-	-

Теперь очевидно, что грибы лежат в желтой шкатулке, а орехи - в белой:

	Красная	Синяя	Билла	Желтая
Орехи	-	-	+	-
Грибы	-	-	-	+
Ягоды	+	-	-	-
Шишки	-	+	-	-

Ответ: в красной шкатулке лежат ягоды, в синей - шишки, в белой - орехи, в желтой - грибы.

Задача 5. Иринка, Даринка и Маринка пришли на вечеринку в белой, зеленой и синей платьях. Их туфли также были белого, зеленого и синего цветов. Известно, что только в Иринки платье и туфли были одного цвета. Ни платье, ни туфли Даринки не были белыми, Маринка была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель каждой из девушек.

Решение.

Нужно установить соответствие между тремя множествами: именами девушек, цветами платьев и цветами туфель. Воспользуемся таблицей:

	Белый		Зеленый		Синий
	Платье	Туфли	Платье	Туфли	Платье	Туфли
Иринка
Даринка
Маринка

По условию ни платье, ни туфли Даринки не были белыми, потому в соответствующих клетках таблицы ставим знак «-». Также по условию Марина была в зеленых туфлях, потому в соответствующей ячейке ставим знак «+»:

	Белый		Зеленый		Синий
	Платье	Туфли	Платье	Туфли	Платье	Туфли
Иринка
Даринка	-	-
Маринка				+

Из этого следует, что

1) ни Иринка, ни Даринка не могли быть в зеленых туфлях;

2) Маринка не была обута ни в белые, ни в синие туфли;

3) платье Марины не зелено.

Следовательно

	Белый		Зеленый		Синий
	Платье	Туфли	Платье	Туфли	Платье	Туфли
Иринка				-
Даринка	-	-		-
Маринка			-	+		-

Теперь можем сделать вывод, что туфли, а следовательно, и платье Иринки были белыми:

	Белый		Зеленый		Синий
	Платье	Туфли	Платье	Туфли	Платье	Туфли
Иринка	+	+		-
Даринка	-	-		-
Маринка			-	+		-

Тогда платье у Маринки не белая, а в Иринки - не зеленое платье, не сини платье и туфли :

	Белый		Зеленый		Синий
	Платье	Туфли	Платье	Туфли	Платье	Туфли
Иринка	+	+	-	-	-	-
Даринка	-	-		-
Маринка	-	-	-	+		-

Теперь очевидно, что платье Маринки может быть только синим, тогда в Даринки зеленое платье и синие туфли :

	Белый		Зеленый		Синий
	Платье	Туфли	Платье	Туфли	Платье	Туфли
Иринка	+	+	-	-	-	-
Даринка	-	-	+	-	-	+
Маринка	-	-	-	+	+	-

Ответ: в Иринки белое платье и белые туфли, в Даринки зеленое платье и синие туфли, у Маринки зеленые туфли и синее платье.

Задача 6. Четыре брата Юрий, Михаил, Петр и Николай учатся в 1, 2, 3, 4 классах. Петр - отличник, младшие братья старше его берут из него пример. Михаил учится в 4 классе. Юра помогает решать задачи брату. Кто из них в каком классе учится?

Решение.

Нужно установить соответствие между двумя множествами именами и классом. За условием Михаил учится в 4 классе.

	1 класс	2 класс	3 класс	4 класс
Юра
Михаил	-	-	-	+
Петр
Николай

У Петра есть младшие братья, значит, он не может учиться ни в первом, ни во втором классе, значит, он учится в третьем классе.

	1 класс	2 класс	3 класс	4 класс
Юра
Михаил	-	-	-	+
Петр	-	-	+	-
Николай

Так как Юра помогает решать задачи брату, то он не может быть младшим, значит, он учится во втором классе. Тогда Николай учится в первом классе.

	1 класс	2 класс	3 класс	4 класс
Юра	-	+	-	-
Михаил	-	-	-	+
Петр	-	-	+	-
Николай	+	-	-	-

Ответ: Юра учится в 2 классе, Михаил - 4 классе, Петр - в 3 классе, Николай - 1 классе.

Задача 7. Татьяна сказала: « В Андрюши больше ста книг». Данила отрицала: «Нет, меньше». Марийка сказала: « Ну, хотя бы одна книга у него, наверное, есть». сколько книг может быть в Андрюши, если из этих утверждений ровно одно истинное?

Решение.

Возможны три случая: правду сказала или Татьяна, или Данилко, или Марийка. Если правду сказала Тетянка, то Марийка тоже сказала правду, что противоречит условию. Если правду сказала Марийка, то Тетянка и Данилко, за условием должны сказать неправду. Это возможно, если в Андрюши ровно 100 книг. Если правду сказал Данилко, то утверждение Тетянки неправильно, а утверждение Марийки тоже должно быть неправильным. Это возможно, если в Андрюши книг нет.

Ответ: 0 или 100.

Задача 8. На одном заводе работают три вторая: слесарь, токарь, сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и жонат на сестре Борисового. Назовите приз вещая слесаря, токаря и сварщика.

Решение.

Сложим таблицу соответствий фамилий и профессий.

	слесарь	токарь	сварщик
Борисов	-	+	-
Иванов	+	-	-
Семенов	-	-	+

Слесарь самый младший, а Семенов старше токаря, значит слесарь не Семенов и не Борисов (так как у Борисового есть сестра). Значит, слесарь - Иванов. Тогда Иванов не может быть не токарем, ни сварщиком. Борисов и Семенов не могут быть слесарями.

Ставим минусы в соответствующие клетки в случаях «невозможно» и плюсы с правильным ответом.

Семенов не токарь(он старше токаря за условием), тогда он сварщик. Остается Борисов - токарь.

Ответ: Иванов - слесарь, Борисов - токарь, Семенов - сварщик.

Задача 9. Перед соревнованием из плавания каждого из четырех участников А, Б, В, Г спросили, на какое место он рассчитывает. А сказал: «я буду первым», Б: 2 Я не буду последним«, В: » я не буду ни первым, ни останнім2, Г: « Я буду последним». После заплыву оказалось, что только один из них ошибочно сказал результат. Кто ошибся?

Решение.

Сложим таблицу, в который знаком «+» укажем ожидаемый результат.

Пловец	Города
	1	2	3	4
А		+	+
Б
В
Г				+

Допустимо, что ошибся А. тогда он смог занять 2-ге город (4-ое занял Г, так как он не ошибся. Ошибся за условием пловец лишь один).

Рассмотрим варианты распределения городов при нашем предположении:

А) А-2, Б-1, В-3, Г-4

Б) А-3, Б- 1, В - 2, Г - 4

Докажем, что ошибся А. если бы ошибся Б, то есть был на 4-ом городе, и Г - на 4-ом, противоречие. Если бы ошибся В, тогда он должен быть или первым, или последним. Но тогда ошибся бы еще один пловец -А или Г. Если бы ошибся Г, то помылся бы еще один пловец, в противном случае последнее место не занял никто. Так как за условием задачи мог ошибиться лишь один пловец, то Г не ошибся.

Ответ: ошибся пловец А.

Задача 10. Николай, Боря, вова и Юра заняли первые 4 места в соревновании, причем ни одно место не разделяется между несколькими ребятами. На вопрос, какие они заняли, трое ребят ответили:

1) Николай не первое и не последнее;

2) Боря - второе;

3)Вова - не был последним.

Какие места заняли мальчики?

Решение.

Оформим решение в виде таблицы. Как и раньше, будем ставить «+», если утверждение правильно, и знак «-», если это не так. Из условия выплывает:

	1 место	2 место	3 место	4 место
Николай	-			-
Боря		+
Вова				-
Юра

Поскольку Боря занял второе место, то его не заняли ни Николай, ни Вова, ни Юра. Обозначим это в таблице:

	1 место	2 место	3 место	4 место
Николай	-	-		-
Боря		+
Вова		-		-
Юра		-

Боря не мог занять несколько мест одновременно, следовательно, Боря не мог занять 1, 3 или 4 места.

	1 место	2 место	3 место	4 место
Николай	-	-		-
Боря	-	+	-
Вова		-		-
Юра		-

Из таблицы видно, что четвертое место не заняли ни Николай, ни Боря, ни Вова. Можно сделать вывод, что четвертое место занял Юра. Следовательно, Юра не занял 1,2 или 3 места.

	1 место	2 место	3 место	4 место
Николай	-	-		-
Боря	-	+	-
Вова		-		-
Юра	-	-	-	+

Николай не занял 1, 2 или 4 места, следовательно, Николай занял 3 место.

	1 место	2 место	3 место	4 место
Николай	-	-	+	-
Боря	-	+	-
Вова		-		-
Юра	-	-	-	+

Тогда 3 место не занял Вова. Следовательно, вова не занял 2, 3 или 4 места, потому Вова занял 1 место.

	1 место	2 место	3 место	4 место
Николай	-	-	+	-
Боря	-	+	-
Вова	+	-	-	-
Юра	-	-	-	+

Ответ: Николай занял 3 место, Боря - 2, Вова - 1, Юра - 4.

Задачи на взвешивание

Задачи на взвешивание - достаточно распространенный вид математических заданий.

В таких заданиях тот, кто решает задачу должен локализовать предмет, который отличается от других по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск развязывания в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Решая такие задачи не забывайте разобрать все варианты. Если ищете фальшивую монету, то полезно разделить все монеты на три кучки, при этом количество взвешиваний уменьшается.

Задача 1. У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, и она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гир Буратино найти фальшивую монету?

Решение

Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаше весов первую и вторую кучки; в результате этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаше весов по 1 монете - фальшивой более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части.

Задача 2 Среди 101 одинаковых за видом монет одна фальшивая, такая, которая отличается по весу. Как с помощью чашечных весов без гир за два взвешивания определить, легче или более тяжелой является фальшивая монета? Находить ее не нужно.

Решение

Взвешиваем 50 и 50 монет, могут быть два случая.

1 случай. Монеты имеют одинаковый вес. Берем монету, которая осталась, и ставим ее в левую кучку вместо одной из тех, которые есть там, :

а) левая кучка более тяжелая = фальшивая монета более тяжелая;

б) левая кучка более легкая = фальшивая монета более легкая.

2 случай. Монеты имеют разный вес. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет:

а) вес кучек одинаковая = фальшивая монета более легкая;

б) вес кучек неодинаковая = фальшивая монета более тяжелая.

Задача 3 Есть 8 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Определит за 3 взвешивания которая из монет фальшивая.

Решение

Делимо монеты на две ровных кучки - по 4 монеты в каждой. Взвешиваем. Ту кучку, какая более легкая, опять делимо на две одинаковых кучки - теперь по две монеты в каждой. Взвешиваем. Определяем, какая из них более легкая. Кладем на чаше весов по 1 монете из этой кучки. Фальшивая и, какая более легкая.

Задача 4 Лиса Алиса и Кот Базилио - фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса - легче. В Буратино есть 15 одинаковых на вид монет, но какая-то одна - фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гир Буратіно может определить, кто сделал фальшивую монету - Кот Базилио или Лиса Алиса?

Решение

Буратино может разделить свои монеты на три кучки по 7, 4, 4, или по 5, 5, 5, или по 3, 6, 6, или по 1, 7, 7 монет. При первом взвешивании он положит на весы две кучки монет одинаковой величины. Если при этом весы оказались в равновесии, значит, все монеты на весах настоящие, а бракованная монета в купцы, которая осталась. Тогда при втором взвешивании на одну чашу весов Буратіно положит кучку с бракованной монетой, а на друге - столько настоящих монет, сколько всех монет он положил на первую чашку, и тогда он сразу определит, легче фальшивая монета, чем настоящая, более тяжелая ли. Если же при первом взвешивании веса оказались не в равновесии, значит, все монеты в купцы, что осталась, настоящие. Тогда Буратино уберет из весов легкую кучку, а монеты из тяжелой кучки разделит на две равных части и положит на весы (если в купцы было 5 или 7 монет, загодя прибавит к ним одну настоящую монету). Если при втором взвешивании веса оказались в равновесии, значит, фальшивая монета более легка настоящих, а если нет, то более тяжелая.

Задача 5 Есть 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гир, определить которая из монет фальшивая?

Решение

Разделим 10 монет на 2 ровных кучки - по 5 монет. Положим на чаше весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Теперь эту кучку делим на 3 кучки - в двух из них по две монеты, в третьей одна монета. Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в купцы, которая легче. Теперь кладем на чаше весов по 1 монете из этой кучки - фальшивой более легка.

Задача 6 известно, что среди 100 монет есть ровно одна фальшивая. С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гир определить, легче или тяжелее фальшивая монета от настоящей (находить ее не нужно).

Решение

Положим сначала на каждую чашу по 50 монет. Потом возьмем более более тяжелую часть, разобьем ее на кучки по 25 монет и взвесим их. Если их массы равны, то фальшивая монета легче других, напротив - тяжелее.

Задача 7. В корзине лежат 13 яблок. Есть весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.

Решение

Пронумеруем яблоко. Взвесим первое яблоко со вторым, второе с третьим и третье с первым, потом сложим полученный вес (где-нибудь в тетради) и получим двойной вес трех яблок, а потом и вес трех яблок, значит, за три взвешивания мы узнаем суммарный вес первых трех яблок. Осталось пять взвешиваний и десять яблок, которые взвешиваем попарно и, добавляем все данные, получим вес 13 яблок

Делимость чисел.

Решение следующих задач основывается на основной теореме арифметики : каждое натуральное число, кроме единицы, раскладывается произведение простых множителей, причем единственным образом.

Если сумма остатков от деления каждого слагаемого на данное число разделяется на это число, то и вся сумма разделяется на данное число.

Если последняя цифра числа разделяется на 2 (парная) или 5 (0,5), то и все число разделяется на 2 или 5.

Если число, которое состоит из двух последних цифр данного числа, разделяется на 4 или 25, то и все число разделяется на 4 или 25.

Если последняя цифра числа 0 или 1, или 5, или 6, то в произвольной степени число заканчивается той же цифрой.

Чтобы число было полным квадратом необходимо и достаточно, чтобы в его расписании на простые множители все множители были в парной степени.

Задача 1 . Или делится 29 ∙ 3 на 6?

Решение: Так, потому что 6 = 2 ∙ 3, а числа 2 и 3 входят разложения числа 6 на простые множители.

Задача 2 . На самом ли деле, что если натуральное число, делящееся на 4 и на 3, то оно делящееся на 12?

Решение: Так. В разложении на простые множители числа, которое делящееся на 4, двойка входит дважды

Задача 3 . На самом ли деле, что если натуральное число делящееся на 4 и на 6, то оно делящееся на 24?

Решение: Нет. Например, число 12. Если число, делящееся на 4, то в его расписание двойка входит дважды; из делимости на 6 - в его расписании числа 2 и 3. Таким образом, однозначно можно утверждать, что в расписании данного числа есть две двойки и тройка, то есть число, делящееся на 12.

Задача 4. Или разделяется сумма 24+35+12+7-14 на 4?

Решение.

24:4 =0; 7;4

поділразделяется на 4.

Ответ: сумма разделяется на 4.

Задача 5. К числу 157 прибавить справа две цифры так, чтобы полученное пятизначное число разделялось на 36. Найти все такие пятизначные числа.

Решение.

Число разделяется на 36, если оно разделяется на 9 и на 4. Сумма первых трех цифр числа равняется 13. Тогда, чтобы число разделялось на 4, его последние две цифры должны образовывать двусмысленное число, кратное 4. Рассмотрим варианты:

1) сумма равняется 5:

А) 0+5. Не удовлетворяет условию задачи, так как 5 не разделяется на 4.

Б) 5+0. Не удовлетворяет условию задачи, так как 50 не разделяется на4.

В) 1+4. Не удовлетворяет условию задачи, так как 14 не разделяется на4.

Г) 4+1. Не удовлетворяет условию задачи, так как 41 не разделяется на4.

Д) 2+3. Не удовлетворяет условию задачи, так как 23 не разделяется на4.

Е) 3+2. Удовлетворяет условию задачи, так как 32 разделяется на 4.

Получим число 15732.

2) сумма равняется 14:

А) 5+9. Не удовлетворяет условию задачи, так как 59 не разделяется на4.

Б) 9+5. Не удовлетворяет условию задачи, так как 95 не разделяется на4.

В) 6+8. Удовлетворяет условию задачи, так как 68 разделяется на 4.

Получим число 15768

Г) 8+6. Не удовлетворяет условию задачи, так как 86 не разделяется на4.

Д) 7+7. Не удовлетворяет условию задачи, так как 77 не разделяется на4.

Замечание. Могут быть и другие способы решения задачи. Например, можно подобрать одно число, показать, что оно кратно 36, а другие числа искать, добавляя к искомому(или вычитая из него) кратные 36. При этом решение считается полным, если оно обдумано, что других вариантов нет.

Ответ: 15732, 15768

Задача 6.К числу 147 дописать слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное пятизначное число разделялось на 15. Найти все такие пятизначные числа.

Решение.

Число разделяется на 15 тогда и только затем, когда оно разделяется на 5 и на 3. Чтобы число делилось на 5 его последняя цифра должна быть 0 или 5. Чтобы число разделялось на 3, сумма его цифр должна разделяться на 3. Рассмотрим случаи:

1)*1470. Сумма известных цифр равняется 1+4+7+0=12, 12 кратное 3. Чтобы сумма цифр искомого числа разделялась на 3, первая цифра (отличающаяся от 0) должна разделяться на 3. То есть может принимать произвольное значение 3, 6, 9. Таким образом, получили три числа 31470, 61470, 91470;

2)*1475. Сумма известных цифр 1+4+7+5=17. Чтобы сумма цифр полученного числа разделялась на 3, первая цифра может быть: 1(17+1=18, 18 кратное 3), 4 (17+4=21, 21 кратное 3) и 7 (17+7=24, 24 кратное 3)

Ответ: 31470, 61470, 91470, 11475, 41475, 71475.

Задача 7. Делится ли сумма 1+2+3+.+2005+2006+2007 на 2007? Ответ обоснуйте.

Решение.

Да. Представим следующую сумму в виде(2+2005) +.+(1003+1004)+2007. Так как каждое слагаемое разделяется на 2007, то и вся сумма разделяется на 2007.

Ответ: так.

Задача 8. Многоцифровое число записано с помощью шести единиц и тридцати нулей. Может ли оно быть полным квадратом?

Решение.

Подсказкой служит то, что указанные цифры, из которых составленное число. Найдем сумму цифр : единиц 6 и нулей 30. Сумма цифр равняется 6. Значит, число разделяется на 3, но не разделяется на 9. Тройка входит в число в непарной (первой) степени. Значит, никакое число, составленное из 6 единиц и сколько угодно нулей, не может быть полным квадратом.

Ответ: нет.

Задача 9. Доказать, что 19831984+4 - составлено.

Решение.

Определим какой цифрой заканчивается число

1983

1984

	1	2	3	4	5	6	7	8
1984	3	9	7	1	3	9	7	1	Т =4

1984:4=496. Число 19834 заканчивается цифрой 1, значит, 19831984=(19834)496 также заканчивается цифрой 1, потому 19831984+4 заканчивается цифрой 5, то есть оно кратно 5.

Ответ: число 19831984+4 составлено

Задача 10. Доказать, что число 49104−1450 делится нацело на 5.

Решение.

Определим, какой цифрой заканчивается разница

	1	2	3	4
49	9	1	9	1	Т =2
14	4	6	4	6	Т =2

= …1-…6=…5;

104:2=52;

50:2=25.

Разница заканчивается на 5, значит, число разделяется на 5.

Ответ: число 49104−1450 делится нацело на 5.

Задачи с часами

Задача 1 1 января в 6 – ть часов утра трое часов показывали правильное время. Но правильно шли только одни часы; вторые отставали на 1 минуту за сутки; третие спешили на 1 минуту за сутки. Если часы будут так идти и дальше, то через сколько времен все трое часов опять будут показывать правильное время?

Решение.

Вторые часы будут показывать правильное время, если он отстанет на 12годин, или 720 минут. Аналогично третьей часы будут показывать правильное время, если он пойдет вперед на 12 часов, или 720 минут. Согласно условию задачи это состоится ровно через 720 суток.

Ответ: 720 суток.

Задача 2. Вчера Иванко выставил правильное время на настенных часах и на будильнике. Настенные часы отстают на 2 минуты через час, а будильник спешит на 1 минуту за 1 час. Сегодня в 7 часов настенные часы остановились. Иванко заметил это, когда будильник показывал 8-мь часов. В котором часу Иванко вчера выставил правильное время на настенных часах и на будильнике?

Решение.

Сравним с настенными часами будильник спешит на протяжении часа на 3 минуты. На 1 час, то есть на 60 минут он пойдет вперед посравнению с настенными часами в течение 20 часов. За эти 20 часов будильник пошел вперед сравнительно с правильным временем на 20 минут. Следовательно, Иванко выставил правильное время за 19часов 20минут до 7-го часа, то есть о 11ч40 мин.

Ответ:11 час. 40 мин.

Задача 3.

–Куда спешите?

• На шестичасовой поезд.

• Сколько минут осталось к отправлению?

• В 4 раза меньше, чем было 50 минут назад после третьего часа.

Что означает этот странный ответ? Который был час?

Решение.

Между третьим и шестым часами содержится 180 минут. Тогда:

1)180-50=130(мин.);

2) 130:5=26(мин.)

То есть до шестого часа осталось 26 мин. 50 минут назад до шестого часа осталось 50+26=76(мин.), а после третьей миновало 180-76=104(мин.), что в 4 раза больше, чем осталось от этого момента до шестого часа.

Ответ: было 5 год 34 мин.

Задача 4. Сейчас ровно 12-й час, и часовая и минутная стрелки совпадают. Но это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются. Через какие промежутки времени часовая и минутная стрелки часов совпадают?

Решение.

Поскольку часовая стрелка двигается в 12 раз медленнее, чем минутная, то ближайший час они встретиться не могут. Через 1 год часовая стрелка будет стоять около числа 1, а минутная - около числа 12. То есть часовая стрелка прошла 112, полного оборота, а минутная - полный оборот. Чтобы минутной стрелке догнать часовую, ей надо пройти еще 112 полного оборота. Для этого ей понадобится не целый час, а менее времени, причем в столько раз, в сколько 112 меньше от 1112, то есть в 11 раз. 111 от 1 часа представляет 5511 мин. Следовательно, часовая и минутная стрелки совпадают через промежутки времени, которые равняются 1 год 5511 мин.

Ответ: 1 год 5511 мин.

Задача 5. Ежечасно количество боев часов с боем отвечает количеству часов. Кроме того, каждые полчаса часы делают один удар. Сколько ударов за сутки делает часы?

Решение.

Наибольшее количество боев часов равняется 12. Следовательно, нужно вычислить сумму всех чисел от 1 до 12, умножить ее на 2 и к добытому результату прибавить 24 (количество ударов, которые делают часы каждые полчаса).

Достанем (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+24=180(ударов).

Ответ: 180(ударов).

Задача 6. Петра часы отстают на 10 минут, но Петр уверен, что он спешит на 5 минут. Часы его товарища Богдана спешат на 5 минут, но Богдан думает, что он отстает на 10 минут. Петр с Богданом договорились встретиться о 16год 00хв. Кто из них двух придет на встречу раньше и на сколько минут?

Решение.

Петр придет на встречу когда его часы будут показывать 16 часов 05 минут, а действительным временем будет 16 часов 15 минут. Богдан придет на встречу когда на его часах будет 15 часов 50 минут, а действительным временем будет 15 часов 45 минут.

Ответ:

Задача 7. Допустимо, что сейчас угол между часовой и минутной стрелкой такой же, которым он был два часа назад. Почему равняется этот угол?

Решение.

Через два часа минутная стрелка будет на том же месте, а часовая вернется на 600. Поэтому искомый угол 600:2=300 или 3600−600:2=1500. Первый случай возникает от 11:00 к 13:00, а второй - с 5:00 до 7:00.

Ответ: 300 или 1500

Эти загадочные криптарифмы

Криптарифмы ( от «крипто» - зашифровано и «арифметика), или криптоарифметические примеры - вид нестандартных задач. Они сводятся к решению простого арифметического приклада на добавление (меньше - на вычитание, умножение или поднесение к степени), в котором цифры зашифрованы буквами. Особенно ценят кріпторифми, в которых из букв составленные слова или фразы.

Задача 1.

Попробуем вместе развязать известный крипторифм: один

+ один

Много

Очевидно, что М=1, а О4, при этом парное, так как сумма Н+Н заканчивается О. Значит, O=6 или O=8. Если сумма 6+6 или 8+8 соответственно буква Н, ее значение может быть 2, 3, 6 или 7(учитывая переход единицы от суммы Д+Д). с другой стороны, если Н+Н заканчивается на Щ, то Н может быть 3, 4, 8 или 9. Из двух списков вариантов общее только значение 3, значит, Н=3, и тогда В=6. Таким образом, после этих обдумываний имеем следующий результат:

6..3

+ 6..3

136.6

Если сумма Д+Д заканчивается 6, то Д=3 или Д=8.Но так как уже Н=3, то Д=8. Сумма И+И=Г менее 10, так как нет перехода через десяток. Остались «свободные» цифры 0, 2, 4, 5, 7 или 9, из них подходит лишь единственный вариант 2+2=4, тогда И=2 и Г=4.

6823

Ответ: + 6823

13646

Задача 2. Расшифровать равенство _.

Решение.

Запишем равенство в виде: _, тогда __, мы видим, что _ _.

Ответ: _.

Задача 3 ветка +ветка=дерево

Ответ: 74235+74235=148470

Задача 4: книга+книга+книга=наука

Ответ: 28375+28375+28375=85125

Задача 5. Возобновить запись умножения (вместо звездочек поставить числа, чтобы запись умножения была верной) и объяснить свои рассуждения.

6 *

* * *

**

* *

* *

* * * 6

Решение

66111

Задача 6. Аист+ Аист+ Аист+ Аист=стая

Ответ: 1354+1354+1354+1354=5416

Задача 7. Охохо+ахала=ахахах

Ответ: 90909+10101=101010

Задача 8. Реши+если=силен

Ответ: 9382+3152=12534

Задача 9. Кафтан+кафтан=тришка

Відповідь:364768+364768=729536

Задача 10: булок+было=много

Ответ: 87130+8213=95343

Принцип Дирихле

У многих олимпиад них задачах применяется принцип Дирихле. Однако их содержание не отличается особенным разнообразием, потому что сюжет задачи должен повторить условие принципа.

Принцип Дирихле : если есть n клеток и n+1 кролик, и все кролики нужно рас сажать в клетки, то найдется клетка, в которой будут сидеть два кролика.

Очень важно точно подобрать слова, которые описывают процесс распределения предметов. Если в условии задачи присутствующие не предметы, а люди (как с месяцами рождения), то фраза «разложим людей по ящикам» будет звучать неправильно. Тогда придется говорить об учениках, которые чем-то отличаются один от другого.

Сущность принципа можно понять на таких простых задачах:

• Если в классе 15 парт, а учеников 16, то за какой-либо партой будут сидеть 2 ученика;

• Если в классе 15 парт, а учеников 31, то за какой-либо партой будут сидеть 3 ученика (31=15∙2+1);

• Если в классе 30 учеников, то найдутся три, в которых день рождения в одном месяце (30=12∙2+6)

Задача 1. В клетках таблицы 3×3 расставленных числа - 1, 0, 1. Рассмотрим 8 сумм: суммы трех чисел каждой строчке, в каждом стовбці и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы быть разными?

Решение.

Допустимо, что все суммы разные. Тогда они должны принимать именно менее 8 разных значений. Теперь подсчитаем, сколько разных значений на самом Дили могут принимать эти суммы:

-1-1-1=-3

1+1+1=3

0+0+0=0

-1+1+1=1

-1-1+1=-1

-1+0+0=-1

1+0+0=1

0+1+1=2

0-1-1=-2

Мы перебрали все возможные комбинации сумм трех разных чисел. Их 7: - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2,3. Они разные. А всего их должно быть 8. Тогда по принципу Дирихле хотя бы две суммы одинаковые.

Ответ: не может.

Задача 2. Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три стороны треугольника.

Решение:

Прямая делит плоскость на две

Задача 3.Грани куба окрашены в 2 цвета. Докажите, что найдутся две соседних одноцветных грани.

Решение:

Рассмотрим три грани куба, которые имеют общую вершину. Назовем их «кроликами», а эти цвета — «клетками». По принципу Дирихле, найдутся две грани, окрашенных в один цвет. Они и будут соседними.

Аналогично приходится общая формулировка принципа Дирихле : «Если n кроликов сидят в k ящиках, то найдется ящик, в котором сидят не меньше чем n / k кроликов».

Немного иначе это утверждение выглядит так: «Если nk + 1 кролика сидят в k ящиках, то найдется ящик, в котором сидит, по крайней мере, (n + 1) кроликов».

Задача 4. Есть 25 конфет 3 сортов. Верно ли, что не менее 9 из них будут какого-то одного сорта?

Решение:

Пусть «клетками» у нас будут сорта конфет, а «кроликами» -сами конфеты. По принципу Дирихле найдется «клетка», в которой не менее 25 / 3 «кроликов». Поскольку 8

Утверждение можно довести, проводя сразу рассуждение от противного. Пусть конфет каждого сорта не больше 9, то есть не превышает восьми. Тогда всего конфет не больше 3 × 8 = 24, а по условию их 25. Противоречие.

Задача 5. В классе 30 человек. Паш сделал 13 ошибок, а другие меньше. Доказать, что какие-то три ученика сделали одинаковое количество ошибок.

Решение:

По условию задания, наибольшее число ошибок, сделанных в работе 13. Значит, ученики могли сделать 0, 1, 2, .13 ошибок. Эти варианты будут «клетками», а ученики станут «кроликами». Тогда по (обобщенному) принципу Дирихле (14 клеток и 30 зайцев) найдутся три ученика, которые попали в одну «клетку», то есть ошибок, которые сделали одинаковое число.

Задача 6. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дыру (дыра — точка). Докажите, что некоторым квадратным лоскутком со стороной 20 см можно закрыть не менее трех дыр.

Решение:

Весь ковер можно накрыть такими 25-у заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих заплат накроет не менее трех дыр.

Иногда принцип Дирихле не работает «прямо», что требует дополнительных рассуждений.

Задача 7. Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турниру найдутся две команды, которые сыграли к этому моменту одинаковое число матчей.

Решение:

Пусть всего n шахматистов. Тогда каждый мог сыграть от 0 к n - 1 партии: всего n вариантов. Казалось бы, что принцип Дирихле не работает: у нас есть n разных шахматистов и n разных количеств сыгранных партий.

Заметим, однако, что если какой-то шахматист не сыграл ни одной партии, то не найдется шахматиста, который сыграл все партии. То есть не может быть ситуации, когда есть игрок, который сыграл 0 партий, и игрока, n, что сыграл, - 1 партия. Значит, разных количеств сыгранных партий в любой момент турниру может быть не больше n - 1 (от 0 к n - 2 или от 1 к n - 1). По принципу Дирихле в любой момент турниру найдется два игрока, которые сыграли одинаковое количество партий.

Задача 8. В хвойном лесу растут 800000 елей. На каждой ели - не больше 500000 игл. Доказать, что существуют хоть бы две ели с одинаковым числом игл.

Решение:

Допустимо противоположное, то есть, допустимо, что в этом лесу не существуют две ели с одинаковым числом игл. Тогда существуют не больше одной ели (одна ель или ни одной), которая имеет одну иглу. Аналогичным способом, существуют не больше одной ели с двумя иглами и так далее, не больше одной ели с 499999 иглами, не больше одной ели с 500000 иглами. Таким образом, не больше 500000 елей имеют число игл от 1 до 500000. Поскольку всего растут 800000 елей, и каждая ель имеет не дольше 500000 игл, следует, что найдутся хоть бы две ели с одинаковым числом игл.

Задача 9. Докажите, что из кого-либо 14 натуральных чисел всегда можно выбрать два числа, разница которых делящаяся на 13.

 Решение.

Для решения рассмотрим остатки от деления каждого этого числа на 13. Количество остатков равняется 14. Остаток может равняться 0, 1, 2, .12. Количество этих значений равняется 13. Следовательно, обязательно хоть бы два остатка совпадают. Но тогда разница тех, которые отвечают им двум начальным числам делящийся на 13. Задание решено.

Очевидно, что справедливо такое утверждение: Если количество некоторых натуральных чисел равно /, то из них всегда можно выбрать по крайней мере два, разница которых делящаяся на /.

 

Разные задачи

Задача1. 48 карандашей разложено в три коробки так, что количество карандашей во всех коробках разное. Если из первой коробки перевести в друге столько карандашей, сколько было во второй, потом из второй коробки перевести в третью столько, сколько было в третьей, и, наконец, из третьей коробки перевести в первую столько, сколько было в первой, то количество карандашей во всех коробках станет одинаковым. Сколько карандашей были в каждой коробке сначала?

Решение.

Эту задачу удобно решать «с конца». После последнего переложения карандашей имеем:

Первая коробка	Вторая коробка	Третья коробка
16	16	16

Третьим (последним) переложением к первой коробке было положено столько карандашей, сколько в ней было, то есть их количество удвоилось. Поэтому к последнему переложению в первой коробке было 8 карандашей. В третьей коробке, из которой эти 8 карандашей было взято, перед тем было 16+8=24 карандаша.

Теперь распределение карандашей такой:

Первая коробка	Вторая коробка	Третья коробка
8	16	24

Вторым переложением из второй коробки было переведено к третьей столько карандашей, сколько в ней было. Поэтому 24 - это удвоенное количество карандашей, которые были в третьей коробке к этому переложению. Распределение карандашей после первого переложения такой:

Первая коробка	Вторая коробка	Третья коробка
8	28	12

Первым переложением ко второй коробке положили столько карандашей, сколько в ней было, то есть 28 - это удвоенное количество карандашей во второй коробке. Поскольку28 :2=14 карандашей взяло из первой коробки, то сначала в ней было 8+14=22. Следовательно, сначала распределение карандашей было такой:

Первая коробка	Вторая коробка	Третья коробка
22	14	12

Ответ: в первой коробке 22 карандаша, во второй - 14 карандашей, в третьей - 12 карандашей.

Задача 2.трое мальчиков делили между собой 120 фантов. Сначала Петр дал Іванкові и Миколці по столько фантов, сколько у их было. Потом Іванко дал Миколці и Петру по столько фантов, сколько у их стало. И наконец, Миколка дал Петру и Іванкові по столько фантов, сколько на этот момент было. В итоге всем досталось поровну фантов. Сколько фантов были у каждого мальчика сначала?

Решение.

Эту задачу удобно решать «с конца». Выполним все описанные в условии задачи операции в обратном порядке и занесем выполнение этих операций к таблице:

Петр	Іванко	Николай
40	40	40
-20	-20	+40
20	20	80
-10	+50	-40
10	70	40
+55	-35	-20
65	35	20

Ответ: У Петра 65 фантов, в Іванка - 35, у Николая - 20.

Задача 3. Богдан задумал число. Николай умножил его то ли на 5, то ли на 6. Иван прибавил к Миколиного результат то ли 5, то ли 6. Андрей отнял от полученного числа то ли 5, то ли 6. В результате получили 73. Какое число задумал Богдан?

Решение.

Пусть задуманное число х. Николай умножил его и получил то ли 5х, то ли 6х.Іван прибавил свое число, а Андрей отнял свое. После этого можно получить такие выражения: 5х-1, 5х, 5х+1, 6х-1, 6х, 6х+1. Условию, что х - целое число, удовлетворяет лишь последнее уравнение: 6х+1=73, потому х=12

Ответ: 12.

Задача 4. Если Николай купит 11 тетрадей, то у него останется 7 гривен, а на покупку 15 тетрадей ему не хватит 5 гривен. Сколько денег у Николая?

Решение.

Пусть одна тетрадь стоит х гривен. Тогда 11х+7=15х-5

Развяжем уравнение.

4х=12

х=3

Ответ: одна тетрадь стоит 3 гривни.

Задача 5. Возраст старого Хоттабича записывается разными цифрами. Об этом числе известно, что : 1) если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то достанем двусмысленное число, которое при сумме цифр 13 является наибольшим; 2) первая цифра больше последней в 4 раза. Сколько лет старому Хоттабичу?

Решение.

Наибольшим двусмысленным числом с суммой 13 есть число 94. Пусть последняя цифра 1. Тогда первая - 4, но такая цифра уже есть. пусть последняя цифра 2, тогда первая - 8. Все цифры разные, имеем 8942. Если последняя цифра 3, или больше, то при умножении ее на 4 получим двоцифрове число, которое не является цифрой

Ответ: 8942

Задача 6. Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить за днями свою работу, если будет высаживать не меньше одного дерева в день?

Решение.

В первый день посаженое 1 дерево, то таких вариантов 8, если 2 дерева - то вариантов 7, если 3 - то 6, если 4 - то 5 вариантов, если 5 деревьев - то вариантов 4, если 6 деревьев - то вариантов 3, если 7 деревьев - то вариантов - 2, если 8 деревьев - то вариантов 1. Следовательно, всех вариантов 8+7+6+5+4+3+2+1=36

Ответ: 36

Задача 7. Одно четырехцифровое число составлено из последовательных цифр, которые расположены в порядке роста, второе число составлено из тех же цифр, но в порядке спадения, третье четырехцифровое число составлено из этих четырех цифр. Что это за числа, если их сумма равняется 12300?

Решение.

Если одно из этих чисел 1234, то второе - 4321. Тогда третье число равняется 12300 -(1234+4321)=6745.

Этот вариант не подходит, так как третье число состоит из других цифр.

Если первое число 2345, то второе 5432, а третье 12300 -(2345+5432)=4523. Этот вариант подходит.

В случае, когда первое число 3456, третье равняется 12300 -(3456+6543)=2301 - не подходит.

Если же первое число 4567, то третье 79.

В иных случаях третье число будет еще меньшим, что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 2345, 5432, 4523.

Задача 8. Вася задумал число и разделил его на 100. В итоге получил число, которое на 34,65 меньше того, которое он задумал. Какое число задумал Вася?

Решение.

Пусть х число, которое получили при делении на 100. Тогда искомое число 100х. Так как задуманное число на 34,65 больше, то сложим уравнение

100х-х=34,65

х=0,35

Тогда задуманное число 35.

Ответ: 35.

Задача 9. В озере водятся караси и окуни. Два рыбака поймали 70 рыб, причем 59 улову первого рыбака складывали караси, а 717 улова второго - окуни. Сколько рыб поймав каждый рыбак?

Решение.

Количество рыб, яки поймал второй рыбак кратное 17, значит, оно может равняться 17, 34, 51 или 68. Количество рыб, которые поймал первый, может равняться (соответственно) 53, 36, 19 или 2. Но количество рыб, которое поймал первый, должно быть кратное 9, откуда получим ответ: первый рыбак поймал 36 рыб, а второй 34.

Ответ: первый рыбак поймал 36 рыб, а второй 34.

Задание 10. Между городами Но и В по горной дороге через перевал регулярно ездит автобус. При подъеме на перевал он едет со скоростью 25 км\u1075?од, а при спуске - 50 км\u1095?ас. Время его движения от А к В - 3,5 час., а от В к А - 4 часа. Найти расстояние от А к В.

Решение.

Рейс автобусу туда и обратно длится 7,5 час., при этом, так как в гору он едет в два раза медленнее, чем под гору, то на все подъемы автобус тратит в два раза больше времени, чем на спуски. Таким образом, на спуски он тратит 2,5 час., а на подъемы 5 часов. Значит, расстояние от А к В равняется

(25 км.

Відповідь: км.