Математическая регата

Задания для

Конкурс-игры «Математическая регата»

Задачи для 5 класса

5.1.1. Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда идут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона? (3 балла)

Ответ. В момент встречи они будут на одинаковом расстоянии от Бостона.

5.1.2. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, потом сосчитал, сколько всего ног, их оказалось 84. Можете ли вы узнать, сколько гусей и сколько поросят было на скотном дворе? (4 балла)

Решение. Если бы на скоростном дворе гуляли бы одни гуси, то всего было бы 60 ног, «лишние» ноги, а их 24, принадлежат поросятам – по две на каждого. Следовательно, поросят было 12, а гусей – 18.

Ответ. 12 поросят, 18 гусей.

5.1.3. Есть 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. Как в 3 приема отвесить 2 кг крупы? (5 баллов)

Решение. С помощью операции деления пополам за два взвешивания отвесим 2 кг 250 г. и с помощью гирь 50 г и 200 г уберём «лишние» 250 г.

5.2.1. На прямолинейном участке пути каждое колесо двухколесного велосипеда проехало 5 км. Сколько км проехал велосипед? (3 балла)

Ответ. 5 км.

5.2.2. Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого языка, ни французского, 75 знали немецкий язык и 83 знали французс­кий. Сколько туристов знали и французский, и немецкий языки? (5 баллов)

Решение. Если тех, кто знает немецкий язык, и тех, кто не знает ни немецкого, ни французского, отделить от других, то останутся те, кто знает только французский язык. Таких будет: 100 – (75 + 10) ₌ 15 человек. Если из числа 83 всех знающих французский язык отнять число 15 тех, кто знает только французский язык, то получим число тех, кто знает оба языка:
83 – 15 ₌ 68 человек.

Ответ. 68 человек.

5.2.3. Сколько концов у трех палок? У четырех с половиной палок? (4 балла)

Ответ. 6 и 10.

5.3.1. Требуется распилить бревно на 6 частей. Каждый распил занимает 2 мин. Сколько минут потребуется на эту работу? (3 балла)

Решение. 2  5 ₌ 10 мин.

5.3.2. Три курицы снесли за три дня три яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней? (5 баллов)

Решение. 3 курицы снесли за 3 дня 3 яйца, следовательно, 3 курицы снесут за 12 дней в 4 раза больше яиц, а 12 кур за 12 дней ещё в 4 раза больше, т.е. 48 яиц. Решение задачи удобно записывать в виде таблицы:

Куры	Дни	Яйца
3	3	3
3	12	3  4 = 12
12	12	12  4 = 48

5.3.3. Человек разглядывает портрет. «Чей это портрет вы рассматриваете?» – спрашивают у него, и человек отвечает: «В семье я рос один, как перст, один. И все же отец того, кто на портрете, – сын моего отца». Чей портрет разглядывает человек? (5 баллов)

Ответ. Ответ получается легко, если вам удастся переформулировать условие задачи, опустив лишние слова и заменив словосочетание «сын моего отца» словом «я».

5.4.1. Алеша, Боря, Вася и Гена - лучшие математики класса. На школьную олимпиаду нужно выставить команду из 3 человек. Сколькими способами это можно сделать? (5 баллов)

Ответ. Четырьмя способами – без Алёши, без Бори, без Васи или без Гены.

5.4.2. В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан был заполнен на половину? (5 баллов)

Ответ. Через 59 секунд.

5.4.3. Два Муравья отправились в гости к стрекозе. Один всю дорогу прополз, а второй – одну половину пути ехал на Гусенице, что было в 2 раза медленнее, чем ползти, а вторую половину скакал на Кузнечике, что было в 10 раз быстрее. Какой Муравей первым придет в гости, если они вышли одновременно? (4 балла)

Ответ. Пока второй Муравей ехал на Гусенице, первый уже добрался до места! Второй проехал на Гусенице полпути, а первый это время полз в два раза быстрее, и, следовательно, прополз весь путь.

Задачи для 6 класса

6.1.1. В классе 36 учеников. Мальчиков на три больше, чем девочек. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? (6 баллов)

Ответ. Задача не имеет решения.

6.1.2. Канал шириной 3,5 метра имеет поворот (рис. 1). Как организо­вать переправу через него, если имеются две доски, но длина каждой из них только три метра? (6 баллов)

Ответ. Рис. 2.

6.1.3. Если Аня идет пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она затрачивает полтора часа. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь занимает у нее 30 минут. Сколько времени тратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она идет пешком? (6 баллов)

Решение. На путь из школы на автобусе Аня затрачивает 15 мин (30 : 2 ₌ 15), поэтому на путь из дома в школу пешком – 1 ч 15 мин, а искомое время – 2 ч 30 мин (1 ч 15 мин  2).

6.2.1. На одном древе сидело 40 сорок. Проходил охотник, выстрелил и убил 6 сорок. Сколько сорок осталось на дереве? (3 балла)

Ответ. Нисколько, они улетели.

6.2.2. Укажите на каком рисунке верно изображены точки:

Ответ обосновать. (6 баллов)

Решение.

О твет. в).

6.2.3. Лифт поднимается с первого этажа на третий за 6 с. За сколько секунд он поднимется с первого этажа на пятый? (4 балла)

Ответ. 12 секунд (6 : 2  4 ₌ 12).

6.3.1. Вдоль дороги от дома до школы посажено 20 деревьев. Расстояние между двумя соседними деревьями 2 метра. Миша вычислил расстояние от школы до дома следующим образом: 20  2 ₌ 40 (м) Верно ли это решение? Если нет, то решите задачу правильно. (4 балла)

Ответ. Нет. 19  2 ₌ 38 (м).

6.3.2. Цифры зашифрованы буквами. Одинаковые буквы означают одинаковые цифры. Узнайте, какая буква какую цифру заменяет по записям (4 балла):

П О Д А Й

В О Д Ы

П А Ш А

Ответ. 10652 – 9067 ₌ 1585.

6.3.3. Кошка весит 0,5 кг и еще 0,8 всего своего веса. Сколько весит кошка? (5 баллов)

Ответ. 0,5 кг составляет 0,2 веса кошки. Значит, кошка весит 2,5 кг.

6.4.1. Мальчик каждую букву своего имени заменил порядковым номером этой буквы в русском алфавите. Получилось число 510141. Как звали мальчика? (5 баллов)

Ответ. Дима.

6.4.2. Сеня купил 3 пакета орехов, а Саша – 2 таких пакета. К ним присоединился Костя, и они разделили все орехи поровну. При расчете оказалось, что Костя должен уплатить товарищам 25 р. Сколько денег из этой суммы должен получить Сеня и сколько Саша? Сколько стоит 1 пакет орехов? (5 баллов)

Решение. 1) 3 + 2 ₌ 5 пакетов куплено всего;

2) 25  3 ₌ 75 р. стоят 5 пакетов, т.к. 25 р. Костя должен заплатить за третью часть орехов;

3) 75 : 5 ₌ 15 р. стоит 1 пакет;

4) 15  3 ₌ 45 р. заплатил Сеня;

5) 45 – 25 ₌ 20 р. даст Костя Сене;

6) 25 – 20 ₌ 5 р. даст Костя Саше.

6.4.3. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб? (3 балла)

Ответ. Ничего не произойдёт, т.к. всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб не могут существовать одновременно. Существование одного из них исключает существование другого.

Задачи для 7 класса

7.1.1. Если дома на улице пронумеровать от 1 до 100, то сколько раз в числах встретится цифра «4».

Ответ. 4, 14, 24, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 54, 64, 74, 84, 94. Всего 20 (по 10 раз в разряде единиц и десятков).

7.1.2. Нарисуйте, как разрезать квадрат на два равных:

а) пятиугольника

б) шестиугольника

Ответ. См. рис (ломаные проходят через центр квадрата).

7.1.3. К новогоднему празднику школа покупает каждому ученику по шоколадке. Известно, что если покупать шоколад в упаковке по 20 шоколадок в каждой, то понадобится на 5 упаковок больше, чем упаковок по 24 шоколадки. Сколько учеников в школе?

Решение. Если х – число упаковок по 20 шоколадок, то:

20х ₌ 24(х – 5);

х ₌ 30 упаковок;

20  30 ₌ 600 учеников в школе.

7.2.1. Почему парикмахер в Женеве охотнее пострижет двух французов, чем одного немца? (3 балла)

Ответ. Потому, что больше заработает.

7.2.2. Игра «Кто последний положит монету».

Двое по очереди кладут пятикопеечные монеты на круглый стол. Монеты можно класть только так, чтобы они даже отчасти не покрывали друг друга.

Выигравшим считается тот, кто последним сможет положить монету на свободное место (предполагается, что монет у обоих играющих имеется достаточно много).

Указать план игры, при котором игрок, делающий «первый ход», может обеспечить себе выигрыш. (6 баллов)

Ответ: Начинающий игру должен положить монету в центр стола, а затем каждый раз класть свою монету так, чтобы она оказалась симметричной с монетой партнера относительно центра стола.

7.2.3. 500 рублей были изъяты из сберкассы в 4 срока

	Взято	Осталось
1-й раз 2-й раз 3-й раз 4-й раз	200 150 90 60	300 150 60 –
Всего	500	510

Откуда взялись лишние 10 рублей? (6 баллов)

Ответ. См. стр. 44. Постановкой вопроса внушается ложная мысль, что сумма изъятия равна сумме остатков; если, например, 10 р. будут изъяты в 10 приемов по одному рублю в каждый, то сумма изъятий составит, конечно, 10 р.; сумма же остатков будет 9 + 8 + … + 2 + 1 ₌ 45 р.

7.3.1. Решите ребус (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, различным буквам – различные цифры) (6 баллов):

Б + БЕЕЕ ₌ МУУУ.

Решение. Так как при сложении данных чисел цифра Е в разряде десятков поменялась на цифру У, то суммой однозначных чисел Б и Е является двузначное число, начинающееся с единицы, т.к. помимо увеличения на единицу цифры в разряде десятков, также изменилась и цифра в разряде сотен, то Е ₌ 9, Б ₌ 1, У ₌ 0. Поэтому ответ: 1 + 1999 ₌ 2000.

7.3.2. Малыш может съесть банку варенья за 6 минут, а Карлсон – в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе? (4 балла)

Решение. Вопрос задачи можно сформулировать иначе: «За какое время могли бы съесть варенье три Малыша? (Карлсона, в соответствии с условием задачи можно приравнять к двум Малышам)». Понятно, что три Малыша справятся с вареньем за 2 минуты.

7.3.3. Какое из двух чисел больше: или ? (5 баллов)

Ответ. Будем сравнивать не сами числа, а их дополнения до 1. Так как то

7.4.1. Нарисуйте 8 точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались и через каждую точку проходило ровно 4 отрезка. (6 баллов)

Ответ.

7.4.2. В карманах денег поровну. Из одного в другой переложили один рубль. На сколько больше там стало? (3 балла)

Ответ. На 2 рубля.

7.4.3. Как разместить 45 кроликов в 9 клетках так, чтобы в каждой их было разное количество? (5 баллов)

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ₌ 45)