Исследовательский проект "Геометрия на практике"

Министерство образования и науки Свердловской области

управление образования администрации ГГО

МБОУ СОШ № 21

направление: научно-техническое (математика и информатика)

исследовательский проект

Геометрия на практике

исполнитель: ученица 9 класса Ельцова Анастасия Алексеевна

руководитель: учитель математики 1 кв. категории Скороходова Н.Ф.

с. Краснополье

2014

Содержание

Стр.

Введение…………………………………………………………………………… 2

1. Возникновение измерений в древности

1.1 Единицы измерений разных народов…………………………………..4

1.2 Методы измерений в Древней Руси…………………………………… 5

1.3 Геометрия в древних практических задачах………………………….. 7

1.4 Инструменты для измерения на местности……………………………7

2. Измерительные работы на местности

2.1 Построение прямой на местности (провешивание

прямой линии)…………………………………………………………... 8

2.2 Измерение средней длины шага………………………………………..9

2.3 Построение прямых углов на местности………………………………9

2.4 Построение и измерение углов с помощью астролябии……………...10

2.5 Построение окружности на местности………………………………...10

2.6 Измерение высоты деревьев……………………………………….......11

3. Результаты измерений на местности…………………………………………..

3.1 Планирование пришкольного участка

3.2 Деревья – угроза для жизни

3.3 Справка – предложение.

Заключение…………………………………………………………………………21

Литература………………………………………………………………………….22

Введение

Чтобы изготовить модель фигур, мне пришлось выполнить более 20 различных операций. И почти половина их связана с измерениями. Интересно, существуют ли профессии, в которых вообще не нужно ничего измерять с помощью приборов. Я таких не обнаружила. Не удалось мне обнаружить и школьный предмет, при изучении которого не было бы необходимости в измерениях.

«Наука начинается с тех пор,

Как начинают измерять,

Точная наука немыслима

без измерения».

Д.И. Менделеев.

Действительно, роль измерений в жизни современного человека очень велика.

В популярном энциклопедическом словаре дается определение измерению. Измерения – это действия, производимые с целью нахождения числовых значений, количественной величины в принятых единицах измерения.

Измерить величину можно с помощью приборов. В повседневной жизни мы уже не можем обойтись без часов, линейки, измерительной ленты, мерного стакана, термометра, электрического счетчика. Можно сказать, с приборами мы сталкиваемся на каждом шагу.

Цель: исследование геометрических измерений на местности.

Задачи:

• изучить историю возникновения измерений;

• ознакомиться с приборами для измерения на местности;

• произвести измерения на местности;

• сделать выводы и сформулировать свои предложения.

Гипотеза: в настоящее время измерительные работы на местности играют важную роль.

Объект исследования: измерения на местности.

Предмет исследования: способы измерений на местности.

1. Возникновение измерений в древности

В древности человеку приходилось постепенно постигать не только искусство счета, но и измерений. Когда древний человек, уже мыслящий, попытался найти для себя пещеру, он вынужден был соразмерить длину, ширину и высоту своего будущего жилища с собственным ростом. А ведь это и есть измерение. Изготовляя простейшие орудия труда, строя дома, добывая пищу, возникает необходимость измерять расстояния, а затем площади, емкости, массу, время. Наш предок располагал только собственным ростом, длиной рук и ног. Если при счете человек пользовался пальцами рук и ног, то при измерении расстояний использовались руки и ноги. Не было народа, который не изобрел бы своих единиц измерения.

1.1 Единицы измерений разных народов

Строители египетских пирамид эталоном длины считали локоть (расстояние от локтя до конца среднего пальца), древние арабы — волос из ослиной морды, англичане до сих пор пользуются королевским футом (в переводе с английского «фут» означает «нога»), равным длине ступни короля. Длина фута была уточнена с введением такой единицы, как шток. Это «длина ступней 16 человек, выходящих из храма от заутрени в воскресенье». Деля длину штока на 16 равных частей, получали среднюю длину ступни, ибо из церкви выходили люди разного роста. Длина фута стала равняться 30,48 см. Английский ярд также связан с размерами человеческого тела. Эта мера длины была введена королем Эдгаром и равнялась расстоянию от кончика носа его величества до кончика среднего пальца вытянутой в сторону руки. Как только сменился король, ярд удлинился, так как новый монарх был более крупного телосложения. Такие изменения длины вносили большую путаницу, поэтому король Генрих I узаконил постоянный ярд и приказал изготовить из вяза эталон. Этим ярдом в Англии пользуются до сих пор (длина его равна 0,9144 м). Для измерения небольших расстояний употреблялась длина сустава большого пальца (в переводе с голландского «дюйм» означает «большой палец»). Длина дюйма в Англии была уточнена и стала равняться длине трех ячменных зерен, вынутых из средней части колоса и поставленных друг к другу своими концами. Из английских повестей и рассказов известно, что крестьяне часто определяли высоту лошадей ладонями.

Для измерения больших расстояний в древности была введена мера, называемая поприще, а затем взамен ее появляется верста. Название это происходит от слова «вертеть», которое сначала означало поворот плуга, а потом — ряд, расстояние от одного до другого поворота плуга при пахоте. Длина версты в разное время была различной — от 500 до 750 саженей. Да и верст было две: путевая — ею измеряли расстояние пути и межевая — для земельных участков.

Расстояние измерялось шагами почти у всех народов, но для измерения полей и других больших расстояний шаг был слишком малой мерой, поэтому была введена трость, или двойной шаг, а затем и двойная трость, или перша. В морском деле трость называлась штоком. В Англии была и такая мера, как хорошая палка пахаря, длина которой 12 – 16 футов. В Риме вводится мера, равная тысяче двойных шагов, получившая название миля (от слова «милле», «милиа» – «тысяча»).

  У славян была такая мера длины, как «вержение камня» — бросок камнем, «перестрел» — расстояние, которое пролетала стрела, выпущенная из лука. Расстояния измерялись и так: «Печенегия отстояла от хазар на пять дней пути, от алан на шесть дней, от Руси на один день, от мадьяр на четыре дня и от болгар дунайских на полдня пути». В старинных грамотах о пожаловании земли можно прочитать: «От погоста во все стороны на бычачий рев». Это значило — на расстояние, с которого еще слышен рев быка. Подобные меры были и у других народов — «коровий крик», «петушиный крик». Мерой служило и время — «пока закипит котел воды». Эстонские моряки говорили, что до берега еще «три трубки» (время, затраченное на выкуривание трубок). «Пушечный выстрел» — тоже мера расстояния. Когда в Японии еще не знали подков для лошадей и обували их соломенными подошвами, появилась мера «соломенный башмак» — расстояние, на котором этот башмак изнашивался. В Испании известна мера расстояния «сигара» — путь, который может пройти человек, куря сигару. В Сибири в стародавние времена употреблялась мера расстояния «бука» — это расстояние, на котором человек перестает видеть раздельно рога быка.

Единица аптекарского веса до последнего времени называлась граном, что обозначает зерно. Единицей массы драгоценных камней и жемчуга является карат — вес семени одного из видов бобов, равный 0,2 г.

У римлян мерой земляных участков был югер (от «югум» — «ярмо»). Это участок земли, вспахиваемый за день двумя волами, впряженными в деревянное ярмо.

У многих народов в старину мера веса часто совпадала с мерой стоимости товара, так как деньги выражались в весе серебра и золота. Так, в Вавилоне денежная единица шекель, а в Риме асс — были и единицами веса. Таково же происхождение и английской денежной единицы фунт стерлингов.

1.2 Методы измерений Древней Руси

В Древней Руси существовали свои измерения. Древнейшими мерами длины являются локоть и сажень. Локтем являлась длина от локтя до переднего сустава среднего пальца, которая равнялась половине английского ярда. Название сажень происходит от славянского слова «сяг» — «шаг». Сначала оно означало расстояние, на которое можно шагнуть. Затем стали различать сажени маховую, косую, казенную, мерную, большую, греческую, церковную, царскую, морскую, трубную. Этой мерили только длину труб на соляных промыслах. Маховая или мерная сажень — расстояние между вытянутыми пальцами раскинутых рук (176 см). Сажень простая (152 см) — расстояние между размахом вытянутых рук человека от большого пальца одной руки до большого пальца другой. Сажень косая (248 см) — расстояние между подошвой левой ноги и концом среднего пальца вытянутой вверх правой руки.

Небольшие расстояния на Руси измерялись четвертями, пядями и аршинами. Четверть — расстояние между раздвинутыми большим и указательным пальцами, пядь — расстояние от конца большого пальца до конца мизинца при наибольшем возможном их раздвижении. Четыре четверти составляли аршин, который, в свою очередь, трижды вмещался в косую сажень. Мера длины, равная 0,1 дюйма, называлась линией (очевидно, потому, что ее можно было отложить при помощи линейки). К наиболее мелким старинным русским мерам длины относится точка, равная 0,1 линии. Возможно, отсюда появилось слово «точность».

Человеку требовалось измерять не только расстояния и длину. Существовали также меры жидкости, сыпучих веществ, единицы массы, денежные единицы. Из мер жидких тел Древней Руси известны: бочка, ведро, корчага, насадка, кружка, чарка… Основной мерой жидкости было ведро. Корчагами (12 кг) мерили мед и воск. Насадка — 2,5 ведра. Бочка равнялась 4 насадкам или 10 ведрам. Бочка могла равняться и 40 ведрам. Более мелкие меры: штоф — десятая часть ведра, чарка — сотая часть ведра, шкалик — две чарки.

Для измерения сыпучих тел использовались бочка и кадь (оков). Кадь была хлебной мерой, которая вмещала 14 пудов ржи (около 230 кг). Делилась она на две половины или восемь осьмин (четвериков). Позже появился гарнец, равный 1/8 четверика. Название гарнец идет от глагола «загребать» и означает деревянную или железную посудину для зерна. Существовало много и местных мер: коробья, пуз, рогожа, лукно и другие.

Древнейшей единицей массы (веса) была гривна, или гривенка, позже получившая название фунт. Русский фунт (400 г) был меньше английского (454 г). Фунт, как и пуд, происходит от латинского корня и обозначает «вес, тяжесть». Фунт подразделялся на 96 золотников, а золотник — на 96 долей.

Кроме торгового фунта, употреблялся аптекарский фунт, который делился на 12 унций. Более крупными единицами веса был пуд, равный 40 фунтам, и берковец, равный 10 пудам. Берковец происходит от слова «беркун» — «большая плетеная корзина, короб для подноски корма скоту, для переноски сена, соломы». Сходное происхождение имеет слово «тонна», оно происходит от английского «тун» — «бочка».

Древнейшей единицей веса и денежного счета на Руси, видимо, была гривна. Ее вес был 409,5 г. Предполагают, что гривна произошла от слова «грива»: по количеству серебра гривна равнялась стоимости коня. Различались гривны кунные, серебряные и золотые. Кунные готовились из низкопробного серебра и стоили в четверо дешевле настоящих серебряных. Золотая гривна была в 12,5 раз дороже серебряной. Позднее гривну стали рубить пополам на гривенки, и новый слиток в половину денежной гривны назвали рублем. Рубль (очевидно, от слова «рубить») стал основной денежной единицей на Руси.

Слово «деньга» произошло, видимо, от названия индийской серебряной монеты «танка», упоминание о которой встречается в летописях. Шесть денег составляли алтын (от татарского «алты» — «шесть»). Алтын приравнивался к трем копейкам. Название «копейка» происходит от маленьких монет, выпущенных при Иване Грозном, с изображением всадника с копьем. При Петре I появились гривенники (10-копеечные монеты) и полтинники (50-копеечные монеты).

1.3 Геометрия в древних практических задачах.

На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков спустя учеными Древней Греции была создана теоретическая основа геометрии.

В древнейшие времена египтяне, приступая к постройке пирамиды, дворца или обыкновенного дома, сначала отмечали направления сторон горизонта (это очень важно, так как освещенность в строении зависит от положения его окон и дверей по отношению к Солнцу). Действовали они так. Втыкали вертикально палку и следили за ее тенью. Когда эта тень становилась кратчайшей, тогда ее конец указывал точное направление на север.

1.4 Инструменты для измерения на местности

Для измерения расстояний на местности в старину применяли землемерный циркуль.

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.

Астролябия состоит из двух частей: диска (лимб), разделённого на градусы, и вращающейся вокруг центра линейки (алидады). При измерении угла на местности она наводится на предметы, лежащие на его сторонах. Наведение алидады называется визированием. Для визирования служат диоптры. Это металлические пластинки с прорезами. Диоптров два: один с прорезом в виде узкой щели, другой с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. При визировании к узкому прорезу прикладывается глаз наблюдателя, поэтому диоптр с таким прорезом называется глазным. Диоптр с волоском направляется к предмету, лежащему на стороне измеряемого; он называется предметным. В середине алидады прикреплён к ней компас.

2. Измерительные работы на местности

2.1 Построение прямой на местности (провешивание прямой линии)

Отрезки на местности обозначают с помощью вех. Чтобы вешка стояла прямо, применяют отвес (какой – либо грузик, подвешенный на нитке). Ряд вбитых в землю вех и обозначает отрезок прямой линии на местности. В выбранном направлении ставят две вехи на расстоянии друг от друга, между ними другие вехи, так, чтобы глядя через одну, другие прикрывались друг другом.

Практическая работа: построение прямой на местности.

Задание: отметьте на ней отрезок в 20 м, 36 м, 42 м.

2.2 Измерение средней длины шага

Считается некоторое число шагов (например, 50), измеряется данное расстояние и вычисляется средняя длина шага. Опыт удобнее провести несколько раз и сосчитать среднее арифметическое.

Практическая работа: измерение средней длины шага.

Задание: зная среднюю длину шага, отложите на местности отрезок 20 м, проверьте с помощью рулетки.

2.3 Построение прямых углов на местности

Чтобы построить на местности прямой угол АОВ с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (ОВ).

Практическая работа: построение прямого угла на местности, прямоугольника, квадрата.

Задание: измерьте периметр и площадь прямоугольника, квадрата.

2.4 Построение и измерение углов с помощью астролябии

Астролябию устанавливают в вершине измерительного угла так, чтобы лимб её был расположен в горизонтальной плоскости, а отвес, подвешенный под центром лимба, проектировался бы в точку, принимаемую за вершину угла на поверхности земли. Затем визируют алидадой по направлению одной стороны измеряемого угла и отсчитывают на лимбе градусные деления против метки предметного диоптра. Повёртывают алидаду по ходу часовой стрелки в направлении второй стороны угла и делают второй отсчёт. Искомый угол равен разности показаний при втором и первом отсчётах.

Практическая работа:

• измерение заданных углов,

• построение углов заданной градусной меры,

• построение треугольника по трём элементам – по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу между ними.

Задание: измерить градусные меры заданных углов.

2.5 Построение окружности на местности

На местности устанавливается колышек, к которому привязывается верёвка. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, можно описать окружность.

Практическая работа: построение окружности.

Задание: измерение радиуса, диаметра; вычисление площади круга, длины окружности.

2.6 Измерение высоты деревьев

а) С помощью вращающейся планки.

Предположим, что нам нужно определить высоту какого-нибудь предмета, например высоту столба А₁С₁ (задача № 579). Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку С₁ столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А₁А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А₁С₁В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников ( угол А₁ = углу А = 90^о, угол В – общий). Из подобия треугольников следует;

, откуда м.

Измерив расстояния ВА₁ и ВА (расстояние от точки В до основания столба и расстояние до шеста с вращающейся планкой), зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А₁С₁ столба.

б) С помощью тени.

Измерение следует проводить в солнечную погоду. Измерим длину тени дерева и длину тени человека. Построим два прямоугольных треугольника, они подобны. Используя подобие треугольников составим пропорцию (отношение соответственных сторон), из которой и найдём высоту дерева. Можно таким образом определить высоту дерева, используя построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе.

в) С помощью зеркала.

Для определения высоты предмета можно использовать зеркало, расположенное на земле горизонтально. Луч света, отражаясь от зеркала попадает в глаз человека. Используя подобие треугольников можно найти высоту предмета, зная рост человека (до глаз), расстояние от глаз до макушки человека и измеряя расстояние от человека до зеркала, расстояние от зеркала до предмета (учитывая, что угол падения луча равен углу отражения).

∆АВD ~∆DFC (2 признак подобия

треугольников), из определения получаем

, следовательно

м.

г) С помощью чертёжного прямоугольного треугольника.

На уровне глаз расположим прямоугольный треугольник, направив один катет горизонтально поверхности земли, другой катет направив на предмет, высоту которого измеряем. Отходим от предмета на такое расстояние, чтобы второй катет “прикрыл” дерево. Если треугольник ещё и равнобедренный, то высота предмета равна расстоянию от человека до основания предмета (прибавив рост человека). Если треугольник не равнобедренный, то используется снова подобие треугольников, измеряя катеты треугольника и расстояние от человека до предмета (используется и построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе). Если треугольник имеет угол в 30⁰, то используется свойство прямоугольного треугольника: против угла в 30⁰ лежит катет вдвое меньше гипотенузы.

д) Во время игры “ Зарница” учащимся не разрешается использовать измерительные приборы, поэтому можно предложить следующий способ:

один ложится на землю и направляет глаза на макушку другого, находящегося от него на расстоянии своего роста, так чтобы прямая проходила через макушку товарища и верхушку предмета. Тогда треугольник получается равнобедренным и высота предмета равна расстоянию от лежавшего до основания предмета, которое измеряется, зная среднюю длину шага учащегося. Если же треугольник не равнобедренный, то зная среднюю длину шага измеряется расстояние от лежавшего на земле до стоявшего и до предмета, рост стоявшего заведомо известен. А далее по признаку подобия треугольников вычисляется высота предмета (или построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе).

Рассматриваются задачи с конкретными данными, решая которые можно увидеть различные способы нахождения и высоты предмета и определить расстояние до недоступной точки, что можно применить в будущем практически.

Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим угол АВН. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = НВ tgАВН. Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: угол АВН = a , угол АСВ = b, угол ВАС = a – b. Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ:

АВ = sin (a – b). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ sin a.

1) Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 10⁰ к горизонту, а вершину – под углом 45⁰ к горизонту. Какова высота башни?

Решение

Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный, т.к угол СВА =45⁰, то и угол ВСА =45⁰, значит СА=50м.

Рассмотрим треугольник АВН – прямоугольный, tg (АВН) = АН/ АВ, отсюда

АН = АВ tg (АВН), т.е АН = 50tg 10⁰, отсюда АН =9м. СН= СА+АН =50+9 = 59(м)

2) На горе находится башня, высота которой равна 100м. Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60⁰ к горизонту, а потом с её основания С под углом 30⁰. Найдите высоту Н горы.

Дано:

СВ = 100 м

угол ЕВА = 60⁰

угол КСА =30⁰

Найти СР.

Решение:

Угол СВК = 30⁰, т.к. угол ЕВС =90⁰ и угол ЕВА =60⁰,

отсюда угол СКА=60⁰, значит ∟СКА=180⁰–60⁰ = 120⁰.

В треугольнике СКА видим, что угол АСК = 30⁰,

угол СКА = 120⁰, то угол САК = 30⁰, получим, что треугольник ВСА равнобедренный с основанием АВ, т.к. угол СВК = 30⁰ и угол ВАС = 30⁰, значит АС = 100м (ВС = АС).

Рассмотрим треугольник АСР, прямоугольный с острым углом в 30⁰ (РАС = АСК, накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых СК и АР секущей АС), а против угла в 30⁰ лежит катет вдвое меньше гипотенузы, поэтому РС= 50м.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем реферате рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими измерениями на местности – провешиванием прямых, делением отрезков и углов, измерение высоты деревьев, зданий. Приведено необходимое количество задач и даны их решения. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.

Таким образом, цель проекта считаю достигнута, поставленные задачи выполнены.

Литература

1. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.Т. «За страницами учебника
математики» – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.
2.Ганьшин В.Н. «Простейшие измерения на местности», М., 1973
3. Я.И. Перельман. « Занимательная алгебра. Занимательная геометрия»
Ростов н/Д: ЗАО «Книга», 2005.
4.Атанасян и др. « Геометрия 7-9 кл.», М. 2009г.

17