Исследовательский проект по математике «Сложные проценты в нашей жизни»

Тихонова Ольга Владимировна,

учитель математики МОУ-СОШ №9

города Аткарска саратовской области

В рамках проектной технологии работаю в тесном сотрудничестве с учителями-предметниками. Поскольку учащиеся к середине 9 класса уже определились в своих предпочтениях, то им предлагаю выполнить проектную работу информационного, исследовательского, творческого характера в выбранной ими области. Некоторые работы были связаны с содержанием элективных курсов, другие стали результатом самостоятельного углубленного и дополнительного изучения материалов предметных курсов. Лучшие работы были представлены на школьных научных конференциях и региональных конференциях.

Исследовательский проект по математике

«Сложные проценты в нашей жизни»

Данная работа несёт за собой значительную практическую значимость, которая в будущем поможет более разумно размещать свои средства. Данный проект могу рекомендовать учащимся 9-11 классов на математических кружках и занятиях по подготовке к ЕГЭ с целью подготовки к экзаменам при решении задач на проценты. А так же данная работа облегчит вкладчикам поиск более выгодных условий для вложения своих временно свободных средств, поможет разобраться в непростых финансовых механизмах и выбрать для себя оптимальную стратегию управления собственными денежными средствами.

Сложные проценты   окружают   нас   в   современной   жизни,   и   в большей   степени распространены   в   таких   глобальных   структурах,   как банковская.   В настоящее время банковская система  играет значительную роль  в  экономике  нашей страны.  Процентные вычисления представляютинтерес не только для будущих финансистов, но и для каждого человека. Многие жизненные ситуации требуют знания вычисления процентов:

1. Получение кредитов в банке; 

2. ­Банковские вклады;

3. ­Покупка товара в кредит;  ­

4. Расчёт налогообложения. 

Из   выше   перечисленных   жизненных   ситуаций   я   выбрала   банковские вклады   в качестве применения сложных процентов. Новизна  исследования

состоит   в   том,   что   в   работе   рассматриваются   сведения, которые   не   изучаются   в   школьном   курсе   математики   и   впервые   тема   обобщается   на местном материале.

Цели проекта:

1. Сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач;

2. Научиться применять знания о процентах в повседневной жизни;

3. Создать буклет

Задачи проекта:

1. Рассмотреть понятие сложных процентов;

2. Научиться решать задачи на сложные проценты;

3. Показать, что формула сложных процентов – это ни что иное,как геометрическая прогрессия;

4. Провести исследование пяти банков Аткарска и сделать вывод, куда наиболее выгодно вкладывать деньги.

Почему я решила выбрать именно эту тему для своего проекта:

Я уже делала проект на подобную тему в 8 классе: «Кредит. За и против», где я определила, в каких банках нашего города наиболее выгодно взять кредит на образование. Я решила продолжить свою работу над процентами и кредитами, но на этот раз я решила рассмотреть, в какой банк Аткарска выгоднее вкладывать деньги.Также, работа с процентами встречается в задаче номер 17 в ЕГЭ по профильной математике. Поэтому, я считаю, что данная тема будет актуальна также и среди будущих или нынешних одиннадцатиклассников.

2.Основная часть

2.1 История возникновения процентов:

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни.

Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий в том числе – особой записи десятичных дробей.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

2.2Понятия «простые проценты» и «сложные проценты»:

Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада (долга).

Простыми процентами можно считать вклад (долг) только в том случае, если происходит однократная выплата процентов и всей суммы вклада(долга) одновременно, при этом полностью отсутствует возможность досрочной частичной или полной выплаты вклада (долга) и/или полностью отсутствует возможность продления вклада (долга).

При досрочной выплате процентов происходит увеличение суммы вклада (долга), значит первоначальная сумма вклада (долга) изменилась, следовательно, применение простых процентов в этом случае бессмысленно, поскольку это уже не простые проценты, а сложные.

Сложные проценты – форма расчета дохода, основанная на присоединении к сумме долга начисленных, но невыплаченных процентов, начисление процентов на проценты, расчет процентов на два или большее число периодов, проводимый таким образом, что процент начисляется не только на исходную сумму, но и на процент, начисленный в предыдущем периоде. При расчетах применяют сложные дискретные проценты, начисляемые за фиксированные интервалы времени.

В истории есть немало примеров, доказывающих магическую силу сложных процентов. Например, можно вспомнить о примечательном поступке Бенджамина Франклина. Франклин, который умер в 1790 году, завещал по $5 000 долларов двум своим любимым городам, Бостону и Филадельфии.

По условию завещания города могли получить эти деньги в два приема, через 100 и 200 лет после вступления завещания в силу. Через 100 лет каждый город мог взять для финансирования общественных работ по $500 000, а еще через 100 лет – все деньги со счета.

Через 200 лет, в 1990 году, города получили примерно по $20 000 000. Франклин очень наглядно показал, выгоду сложных процентов.

Для начисления процентов по вкладам (депозитам) и кредитам, применяются следующие формулы процентов:

Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т. е. полученную прибыль в размере рублей, либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Какой доход вы получите в том и другом случаях?

2.3 Формула простых процентов:

В первом случае при t = 1 вы получите t = 2 ваша итоговая сумма составит при t = 3 – рублей и т. д. Математическая модель ситуации — конечная арифметическая прогрессия

Итак, при первой стратегии поведения за t лет вы получите р. — это так называемая фopмyла простых процентов.

2.4 Формула сложных процентов:

Если вы решили прийти в банк только в конце срока хранения вклада, то при t = 1 получаемая сумма составит, как и в первом случае, , т. е. р.; сумма вклада увеличилась в раз. Во столько же раз она увеличится и кконцу второго года хранения, и к концу третьего года хранения и т. д. Математическая модель ситуации — конечная геометрическая прогрессия

Итак, при второй стратегии поведения за t лет вы получите р. — это так называемая формула сложных процентов.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть вклад составляет 10 000 р., банк дает 10% годовых, срок хранения вклада — 5 лет. Если вы выбрали стратегию простых процентов, то к концу срока хранения вы получите в итоге сумму, равную , т. е. 15 000 р. Если же вы выбрали стратегию сложных процентов, то к концу срока хранения вы получите в итоге сумму, равную , т. е. 16 105,1 р. Как говорится водном рекламном слогане, почувствуйте разницу

2.5 Исследование банковских вкладов:

Банковский вклад (или банковский депозит) — сумма денег, переданная лицом кредитному учреждению с целью получить доход в виде процентов, образующихся в ходе финансовых операций с вкладом.

Обычно банки предлагают простое начисление процентов. Что это значит? Это значит, что проценты будут начислены на ваш вклад только в конце срока. Т.е. допустим вы открыли вклад под 10% годовых и вложили 10 000 рублей. Через год вам будет начислено в виде процентов 1 000 рублей. Если вы оставите вклад на второй год, то по истечении этого срока вам будет начислена еще 1 000 рублей. За 2 года, при простом начислении процентов ваша итоговая сумма составит: 12 000 рублей.

Если бы было сложное начисление процентов, то картина немного меняется. Через 1 год, на вашем счету также было бы 11 000 рублей (10 000 — ваш вклад + 1 000 рублей в виде процентов). Однако, эта начисленная тысяча, в конце первого периода присоединилась бы к основному телу депозиту. И все проценты уже начислялись бы на эту общую сумму. Т.е. вы на второй год получили бы 10%, только уже не с 10 000 рублей, а с 11 тысяч. В деньгах это получается — 1 100 рублей. Итого, за 2 года при сложном начислении ваша сумма составит: 12 100 рублей

Я решила провести исследование, в какой из Аткарских банков выгоднее вкладывать деньги. Для этого я рассмотрела 5 банков: Сбербанк, ВТБ, Почта банк, Россельхозбанк и Совкомбанк.

Первоначальная сумма 100 000 рублей, срок – 3 года. Начисление процентов – ежегодное.

1. СБЕРБАНК (Саратовская область, г. Аткарск, ул. Советская,115)

Вклад «Сохраняй»

= 100 000 рублей

= 3 года

= 4,24%

По формуле простых процентов доход составит:

По формуле сложных процентов доход составит:

1. ВТБ (Саратовская область, г. Аткарск, ул. Чапаева, 110)

Вклад «Выгодный»

= 100 000 рублей

= 3 года

= 5,09%

По формуле простых процентов доход составит:

По формуле сложных процентов доход составит:

1. СОВКОМБАНК (Саратовская область, г. Аткарск, ул. Коммунистическая,2)

Вклад «Удобный»

= 100 000 рублей

= 3 года

= 6,9%

По формуле простых процентов доход составит:

По формуле сложных процентов доход составит:

1. РОССЕЛЬХОЗБАНК (Саратовская область, г. Аткарск, ул.Пушкина,87)

Вклад «Пополняемый»

= 100 000 рублей = 3 года = 5,91%

По формуле простых процентов доход составит:

По формуле сложных процентов доход составит:

1. ПОЧТА БАНК (Саратовская область, г. Аткарск, ул. Советская, 62)

Вклад «Капитальный»

= 100 000 рублей

= 3 года

= 4,7%

По формуле простых процентов доход составит:

По формуле сложных процентов доход составит:

Я пришла к выводу, что вклад выгоднее делать в Совкомбанке.

Задача.

В следующем году я заканчиваю школу и у меня цель поступать в один из ВУЗов г. Саратова. Уже сейчас родители планируют приобрести мне собственную квартиру. Можно рассмотреть следующие варианты: приобретение вторичного жилья, квартира в новостройке или в строящемся доме. Стоимость жилья значительно отличается, поэтому мои родители выбирают самый выгодный вариант – приобретение жилья в новостройке. C 1 июля 2019 года принципиально трансформируется схема продаж жилья в строящихся домах: деньги дольщиков будут храниться в банке до ввода жилого комплекса в эксплуатацию. В конце прошлого года власти придумали новую схему финансирования жилищного строительства. Теперь девелоперы будут строить новое жилье только на кредиты банков или собственные деньги. Получать средства покупателей напрямую им нельзя.

Однако это не значит, что россияне потеряют возможность приобрести квартиру в строящемся доме, покупатель сможет выбрать понравившийся объект и заключить договор с застройщиком, но расплачиваться будет не с ним напрямую, а через банк, который выдал кредит на строительство.

Родители планируют приобрести квартиру в строящемся доме фирмы «N». Первоначальный взнос в момент закладки фундамента составляет 500 тыс. рублей. Я решила рассчитать, какую сумму нужно вложить в банк под 6,9% годовых, чтобы купить эту квартиру, если дом строится 5 лет, а стоимость квартиры по договору составляет 1,5 млн рублей?

Так как в практической жизни используются простые проценты, а задачи ЕГЭ решаются по формуле сложных процентов, то я провела расчеты по обеим формулам.

По формуле простых процентов сумма, которую нужно вложить в банк для того, чтобы по истечению 5 лет получить 1 млн рублей, составляет:

А по формуле сложных процентов:

Также, по формуле простых процентов рассчитаем процент, под который нужно вложить данную сумму на 7 лет, чтобы также получить 1 млн рублей:

И по формуле сложных процентов:

3.Заключение:

В процессе работы я исследовала простые и сложные проценты, а именно, рассмотрела понятие сложных процентов, провела анализ вкладов пяти банков Аткарска, научилась решать задачи на сложные проценты. Таким образом, цель моей работы достигнута.