Эффективная подготовка к ЕГЭ. Решение заданий № 8

Решение задачи 8

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен:
- Уметь решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2016 года они могут встретиться под номером 8 для профильного уровня и под номерами 13 и 16 для базового уровня.

Все задания можно сгруппировать по типам тел:

1. Конус.

2. Цилиндр.

3. Шар и сфера.

4. Прямоугольный параллелепипед

5. Правильная призма.

6. Правильная пирамида.

7. Многогранник.

В этих заданиях действительно рассматриваются только простейшие пространственные тела.

• Прямой круговой конус, называя его просто конусом.

Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Катет, который служит осью вращения, - высота конуса. Боковая поверхность конуса создается "следом" гипотенузы треугольника, основание - "следом" второго катета.

• Цилиндр очень простое тело. Все его сечения плоскостями, параллельными оси, прямоугольники, а сечения плоскостями, перпендикулярными оси, равные круги. Длина образующей равна длине высоты. Развертка боковой поверхности тоже является прямоугольником. Можно свернуть стандартный лист "в трубочку" или оторвать и развернуть этикетку от консервной банки, например, из-под сгущенки, чтобы убедиться, что одна сторона этого прямоугольника (развертки) равна высоте цилиндра, а другая - длине окружности основания. А если вы это сделаете буквально, то ассоциативная память поможет легче и надежнее запомнить все нужные формулы.

• если параллелепипед, то прямоугольный,

• если пирамида, то правильная.

Разобрав правильно определения этих фигур стереометрическая задача легко сводится к задаче по планиметрии.

Поэтому, как сказал Д. Пойа «Если хотите научиться плавать,

то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи,

то решайте их»

Для решения задач по стереометрии необходимо знать:

• формулы площадей фигур;

• формулы объёмов тел.

Сложных задач нет, все они решаются в 1-2 действия (редко в три действия). Важно увидеть путь решения и какую формулу необходимо применить.

Необходимая теория:

 теорема Пифагора

 теорема косинусов

 определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике

 формулы площадей фигур

 формулы объёмов тел

 отношение площадей подобных фигур

 отношение объёмов подобных тел

О чём в действительности эта задача?

• Суть задачи: определение объёмов многогранников и тел вращения, умение производить операции с объёмами (сравнение, вычитание, сложение).

Типы задач №8.

• Нахождение объёмов вписанных и описанных фигур.

• Нахождение объёмов составных фигур.

• Сравнение объёмов двух фигур по известному соотношению их элементов.

• Задача с переливанием жидкости из одного сосуда в другой.

Для решения задач будем использовать алгоритм решения задач.

Алгоритм решения задач:

1. Чертим фигуру. Не обязательно в масштабе, можно от

руки.
2. Подписываем вершины. Отмечаем на чертеже

упомянутые в условии точки. Соединяем линиями, где

это необходимо. 
3. Ставим известные (заданные) значения прямо на

чертеже. 
4. Если получился треугольник внутри тела, то выясняем

есть ли в нем прямой угол и какой именно. Для этого

пользуемся теоремами о перпендикуляре к плоскости

или о трех перпендикулярах.
5. Чертим этот треугольник на плоскости. На нем также

отмечаем заданные и искомые величины, если нужно,

перенося числа с параллельных ребер.
6. Проводим необходимые вычисления по известным

формулам. Как правило, это будут теорема Пифагора и

определения синуса и косинуса острых углов

прямоугольного треугольника.

Рассмотрим несколько задач из федерального банка заданий, сгруппировав их по типам тел. Одновременно повторим свойства этих тел.

Решения задач на слайдах 19-37 презентации

Методические рекомендации

• Внимательное построение параллельной проекции стереометрической фигуры в черновике (изображение как самой фигуры, так и её плоских сечений)

• Предварительный анализ чертежа для поиска правильного хода решения

• Пространственное мышление

• Знание формул вычисления объёмов и площадей(умение вывести нужную формулу при необходимости)

• Хорошее знание планиметрии

• Контроль результата с учётом искажений проекции тела

! При параллельном проектировании не сохраняются углы, длины отрезков и соотношения длин сторон, лежащие в разных плоскостях.

Сайт. http://mathematichka.ru